2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決冪的大小比較和圖象識(shí)別等問題.2.考查二次函數(shù)的解析式求法、圖象特征及最值.3.運(yùn)用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系去分析和解決問題一、二次函數(shù)1二次函數(shù)的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)2二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)圖象定義域R值域單調(diào)性在減在增在減在增對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱函數(shù)yf(x)對(duì)稱軸的判斷方法(1)對(duì)于函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱(2)對(duì)于函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(a為常數(shù))二、冪函數(shù)1定義：形如yx(R)的函數(shù)叫冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)2冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇/奇單調(diào)性增在(0，)上增在(，0)上減增增在(0，)上減在(，0)上減定點(diǎn)(1,1)1當(dāng)0,1時(shí)，冪函數(shù)yx在第一象限的圖象特征(如圖所示)：(1)1，圖象過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，下凸遞增，如yx2；(2)01，圖象過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，上凸遞增，如yx；(3)0，圖象過點(diǎn)(1,1)，單調(diào)遞減，且以兩坐標(biāo)軸為漸近線，如yx1，yx.2冪函數(shù)的圖象一定不會(huì)經(jīng)過第四象限1已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x【解析】設(shè)f(x)x，則有3，即33，1，2，f(x)x2，故選B.【答案】B2圖241中C1，C2，C3為三個(gè)冪函數(shù)yxk在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)k的值依次可以是()圖241A1，3 B1,3，C.，1,3 D.，3，1【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象知，選A.【答案】A3函數(shù)f(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(5，3)上()A先減后增 B先增后減C單調(diào)遞減 D單調(diào)遞增【解析】f(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)，2m0，m0.則f(x)x23在(5，3)上是增函數(shù)【答案】D4函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x1a，由題意知1a3，a2.【答案】(，25(2011·陜西高考)函數(shù)yx的圖象是()【解析】已知函數(shù)解析式和圖象，可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷【答案】B6(xx·浙江高考)已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)>f(1)，則()Aa>0,4ab0 Ba<0,4ab0Ca>0,2ab0 Da<0,2ab0【解析】因?yàn)閒(0)f(4)>f(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即a>0，且其對(duì)稱軸為x2，即2，所以4ab0，故選A.【答案】A考向一 019二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間【思路點(diǎn)撥】解答(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象或單調(diào)性直接求解，對(duì)于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間【嘗試解答】(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，則函數(shù)在4,2)上為減函數(shù)，在(2,6上為增函數(shù)，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)(4)24×(4)335.(2)函數(shù)f(x)x22ax3的對(duì)稱軸為xa，要使f(x)在4,6上為單調(diào)函數(shù)，只需a4或a6，解得a4或a6.(3)當(dāng)a1時(shí)，f(|x|)x22|x|3其圖象如圖所示：又x4,6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1,0)和1,6上為增函數(shù)規(guī)律方法11.研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.2. 求二次函數(shù)最值的類型及解法,(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)常畫出圖象結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性求解，最值一般在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知函數(shù)yax2bxc，如果abc，且abc0，則它的圖象是()(2)設(shè)f(x)x22ax(0x1)的最大值為M(a)，最小值為m(a)試求M(a)及m(a)的表達(dá)式【解析】(1)abc，abc0，a0，c0，yax2bxc的開口向上，且與y軸的交點(diǎn)(0，c)在負(fù)半軸上D項(xiàng)正確【答案】D(2)f(x)x22ax(xa)2a2，x0,1當(dāng)a0時(shí)，M(a)f(1)12a，m(a)f(0)0；當(dāng)0a時(shí)，M(a)f(1)12a，m(a)a2；當(dāng)a1時(shí)，M(a)f(0)0，m(a)a2；當(dāng)a1時(shí)，M(a)f(0)0，m(a)f(1)12a.綜上，M(a)m(a)考向二 020二次函數(shù)的綜合應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對(duì)于滿足1x4的一切x值都有f(x)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】法一分a0，a0，a0三種情況求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min0求解法二分離參數(shù)a得a，然后求g(x)的最大值即可【嘗試解答】法一當(dāng)a0時(shí)，f(x)a22，由f(x)0，x(1,4)得：或或或或，a1或a1或，即a，當(dāng)a0時(shí)，解得a；當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合題意綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a.法二由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可規(guī)律方法21.本例中二次項(xiàng)系數(shù)不確定，因此使用方法一時(shí)需分三種情況討論.2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，一般有兩個(gè)解題思路：(1)分離參數(shù)；(2)不分離參數(shù)，二者都將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解】(1)由f(0)1，得c1.因此f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x.2axab2x.xR.因此所以f(x)x2x1.(2)由題意，x2x12xm在1,1上恒成立則mx23x1在1,1上恒成立，令g(x)x23x1，x1,1，易知g(x)在x1,1上是減函數(shù)，g(x)ming(1)1，應(yīng)有m1.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)考向三 021冪函數(shù)及其性質(zhì)(1)函數(shù)f(x)(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)，且在x(0，)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A2B3C4D5(2)若a0，則下列不等式成立的是()A2aa(0.2)a B(0.2)aa2aC.a(0.2)a2a D2a(0.2)aa【思路點(diǎn)撥】(1)m2m11求m的值驗(yàn)證單調(diào)性對(duì)m的值取舍(2)構(gòu)造函數(shù)yx比較a與(0.2)a的大小進(jìn)而比較2a與a、(0.2)a的大小【嘗試解答】(1)由題意知m2m11，解得m2或m1，當(dāng)m2時(shí)，m22m33，f(x)x3符合題意，當(dāng)m1時(shí)，m22m30，f(x)x0不合題意綜上知m2.(2)a0，yxa在(0，)上是減函數(shù)，0.2aa2a，故選B.【答案】(1)A(2)B規(guī)律方法31.熟知冪函數(shù)的定義和單調(diào)性是解答此類問題的關(guān)鍵2冪的大小比較的常用方法分類考查對(duì)象方法底數(shù)相同，指數(shù)不同ax1與ax2利用指數(shù)函數(shù)yax的單調(diào)性指數(shù)相同，底數(shù)不同x與x利用冪函數(shù)yx的單調(diào)性底數(shù)、指數(shù)都不同ax1與bx2尋找中間變量0,1或bx1或ax2思想方法之四數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的妙用二次函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的完美載體，利用二次函數(shù)圖象可以較直觀形象地解決以下幾方面問題：(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；(3)借助二次函數(shù)求參數(shù)的范圍；(4)與二次函數(shù)相關(guān)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決以上問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設(shè)H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()A16B16Ca22a16 Da22a16【解析】f(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a2，4a4)，g(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)(a2，4a12)，并且f(x)與g(x)的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上，圖象如圖，由題意知，A、B分別為兩個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以AB(4a4)(4a12)16.(xx·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是()A當(dāng)a<0時(shí)，x1x2<0，y1y2>0B當(dāng)a<0時(shí)，x1x2>0，y1y2<0C當(dāng)a>0時(shí)，x1x2<0，y1y2<0D當(dāng)a>0時(shí)，x1x2>0，y1y2>0【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)及g(x)x2bx的草圖如圖所示，其中點(diǎn)A(x1，y1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C也在函數(shù)y的圖象上，坐標(biāo)為(x1，y1)，而點(diǎn)B的坐標(biāo)(x2，y2)在圖象上也明顯的顯示出來由圖象可知，x1x20，y1y20.【答案】B