2022高中數學 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數學歸納法學案 理 蘇教版選修2-2

2022高中數學 第2章 推理與證明 第3節(jié) 數學歸納法學案 理 蘇教版選修2-2一、學習目標：了解數學歸納法的原理，會用數學歸納法證明與自然數有關的命題。 二、重點、難點能運用數學歸納法證明和自然數有關的命題。三、考點分析：數學歸納法中的歸納思想是比較常見的數學思想，因此要重視。數學歸納法在考試中時隱時現，且較隱蔽，因此在復習中應引起重視。只要與自然數有關，都可考慮使用數學歸納法，當然主要是恒等式、等式、不等式、整除問題、幾何問題、三角問題、數列問題等聯系得更多一些。一、數學歸納法的定義：由歸納法得到的與自然數有關的數學命題常采用下面的證明方法：（1）先證明當nn0（n0是使命題成立的最小自然數）時命題成立；（2）假設當nk（kN*， kn0）時命題成立，再證明當nk1時命題也成立，那么就證明這個命題成立，這種證明方法叫數學歸納法。二、數學歸納法的應用：（1）證恒等式；（2）整除性的證明；（3）探求平面幾何中的問題；（4）探求數列的通項；（5）不等式的證明。特別提示（1）用數學歸納法證題時，兩步缺一不可;（2）證題時要注意兩湊：一湊歸納假設；二湊目標。例1 已知，則的值為（ ）A. B. C. - D. -思路分析：是從n1開始的n個連續(xù)自然數的倒數和，故是從n2開始的n1個連續(xù)自然數的倒數和，即- 故選D。解題后反思：用數學歸納法證明問題的過程實質上是一個遞推的過程，（1）是遞推的基礎，（2）是遞推的條件；二者缺一不可。例2 用數學歸納法證明等。思路分析：和自然數有關的命題的證明可以選用數學歸納法。證明：（1）當n1時，左邊右邊，等式成立 （2）假設當nk時等式成立，即 則，當nk1時，等式也成立，綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立解題后反思：（1）用數學歸納法證題時，兩步缺一不可；（2）證題時要注意兩湊：一湊歸納假設；二湊目標。例3 在數列an中，a11，當n2時，an,Sn,Sn成等比數列。（1）求a2,a3,a4，并推出an的表達式；（2）用數學歸納法證明所得的結論。思路分析：本題考查了數列、數學歸納法，可以依托等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟，采用的方法是歸納、猜想、證明。求通項可先證明是以為首項，為公差的等差數列，進而求得通項公式 解題過程：an,Sn,Sn成等比數列，Sn2an·（Sn）（n2） （*）（1）由a11,S2a1a21a2,代入（*）式得a2由a11，a2,S3a3代入（*）式得a3同理可得a4,由此可推出an（2）當n1,2,3,4時，由（*）知猜想成立假設nk（k2）時，ak成立故Sk2·（Sk）（2k3）（2k1）Sk22Sk10Sk（舍）由Sk12ak1·（Sk1）,得（Skak1）2ak1（ak1Sk）由知，an對一切nN*成立 解題后反思：（2）中，Sk應舍去，這一點往往容易被忽視。例4 是否存在常數a、b、c使等式1·（n212）2（n222）n（n2n2）an4bn2c對一切正整數n成立?證明你的結論。思路分析：先取n1，2，3探求a、b、c的值，然后用數學歸納法證明對一切nN*，a、b、c所確定的等式都成立。解題過程：分別用n1，2，3代入解方程組下面用數學歸納法證明。（1）當n1時，由上可知等式成立;（2）假設當nk時，等式成立，則當nk1時，左邊1·（k1）2122（k1）222k（k1）2k2（k1）（k1）2（k1）21·（k212）2（k222）k（k2k2）1·（2k1）2（2k1）k（2k1）k4（）k2（2k1）2（2k1）k（2k1）（k1）4（k1）2。當nk1時，等式成立。由（1）（2）得等式對一切的均成立。解題后反思：本題是探索性命題，它通過觀察歸納猜想證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現問題，并證明所得結論的正確性，這是非常重要的一種思維能力。（全國高考）已知數列中，。（1）設，求數列的通項公式；（2）求使不等式成立的的取值范圍。思路分析：（1）將代入到中整理，并替換，得到關系式，進而可得到是首項為，公比為4的等比數列，先得到的通項公式，即可得到數列的通項公式。（2）先求出時的的取值范圍，然后用數學歸納法分3步進行證明，當時，然后當時，令，由，可發(fā)現時不能滿足條件，進而可確定的取值范圍。解題過程：（1），即。，又a11,故，所以是首項為，公比為4的等比數列，。（2）,由a2>a1得c>2。用數學歸納法證明：當c>2時，an<an1。（i）當n1時，命題成立；（ii）設當nk時，,則當nk1時，ak2。故由（i）（ii）知當c>2時，an<an1。當c>2時，令，由得an<。當2<c時，an<3。當c>時，>3，且1an<,于是,。當n<log3時，an1<3, an1>3。因此不符合要求。所以c的取值范圍是。解題后反思：本題主要考查了數列的通項公式、遞推數列、不等式等知識，在解題過程中滲透了函數與方程、歸納與轉化思想，屬于難題，考查學生分析、歸納、探究和推理論證問題的能力。用數學歸納法證明：錯解：（1）當n1時，左右，等式成立（2）假設當nk時等式成立，那么當nk1時，綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立點撥：錯誤原因在于只有數學歸納法的形式，沒有數學歸納法的“實質”。正解：（1）當n1時，左右，等式成立（2）假設當nk時等式成立，即那么當nk1時， 數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n1（或n0）時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或nn0且）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。運用數學歸納法證明問題時，關鍵是對nk1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標、完成解題。運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。用數學歸納法證明問題應注意：（1）第一步驗證nn0時，n0并不一定是1。（2）第二步證明的關鍵是要運用歸納假設，特別要弄清由k到k1時命題的變化。（3）由假設nk時命題成立，證nk1時命題也成立，要充分利用歸納假設，要恰當地“湊”出目標。歸納、猜想、論證是培養(yǎng)學生觀察能力、歸納能力以及推理論證能力的方式之一。 下節(jié)課我們開始學習數系的擴充與復數的引入，請大家閱讀課本思考：1. 為什么要進行數系的擴充？2. 數系擴充的原則是什么？3. 復數能滿足哪些運算？