2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究4 圓錐曲線中的探索性問題練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究4 圓錐曲線中的探索性問題練習(xí) 理1(2018·重慶一中期中)當(dāng)曲線y與直線kxy2k40有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(0，)B(，C(，1 D(，)答案C解析曲線y表示圓x2y24的下半部分，直線kxy2k40過定點(diǎn)(2，4)由2，解得k，所以過點(diǎn)(2，4)且斜率k的直線yx與曲線y相切，如圖所示過點(diǎn)(2，4)與點(diǎn)(2，0)的直線的斜率為1.所以曲線y與直線kxy2k0有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，1故選C.2設(shè)拋物線x22py(p>0)，M為直線y2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，記A，B，M的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，xM，則()AxAxB2xM BxA·xBxM2C. D以上都不對答案A解析由x22py得y，所以y，所以直線MA的方程為y2p(xxM)，直線MB的方程為y2p(xxM)，所以2p(xAxM)，2p(xBxM)，由可得xAxB2xM，故選A.3(2016·浙江，文)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_答案(2，8)解析由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2x軸時，|PF1|PF2|有最大值8；當(dāng)P為直角時，|PF1|PF2|有最小值2.因?yàn)镕1PF2為銳角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2，8)4已知圓C的半徑為2，圓心在直線yx2上，E(1，1)，F(xiàn)(1，3)，若圓上存在點(diǎn)Q，使|QF|2|QE|232，則圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍為_答案3，1解析根據(jù)題意，可設(shè)圓C的方程為(xa)2(ya2)24，設(shè)Q(x，y)，由|QF|2|QE|232，得到(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232，得y3，故點(diǎn)Q在直線y3上，又點(diǎn)Q在圓(xa)2(ya2)24上，所以圓C與直線y3必須有公共點(diǎn)因?yàn)閳A心的縱坐標(biāo)為a2，半徑為2，所以圓C與直線y3有公共點(diǎn)的充分條件是1a25，即3a1.所以圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是3，15(2018·江西紅色七校二模)已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|3.(1)求橢圓的方程；(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，則F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時直線l的方程；若不存在，請說明理由答案(1)1(2)存在，最大值為解析(1)設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c1，由|PQ|3，可得3.又a2b21，解得a2，b，故橢圓方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨設(shè)y1>0，y2<0.設(shè)F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R.則F1MN的周長為4a8，SF1MN(|MN|F1M|F1N|)R4R.因此，SF1MN最大，R就最大，F(xiàn)1MN的內(nèi)切圓的面積就最大由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為xmy1.由得(3m24)y26my90，則y1，y2，則SF1MN|F1F2|(y1y2)y1y2.令t，t1，則SF1MN.令f(t)3t，則f(t)3，當(dāng)t1時，f(t)0，f(t)在1，)上單調(diào)遞增，則f(t)f(1)4，SF1MN3，且當(dāng)t1，即m0時，(SF1MN)max3.SF1MN4R，Rmax，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為.故直線l的方程為x1時，F(xiàn)1MN內(nèi)切圓的面積取得最大值.6(2018·安徽六安二模)設(shè)點(diǎn)P是圓x2y24上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，動點(diǎn)M滿足 2，過定點(diǎn)Q(0，2)的直線l與動點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)E(0，t)，使|EA|EB|？若存在，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由答案(1)1(2)存在，t(，0解析(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp，yp)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xp，0)，由 2，得點(diǎn)P在圓上，x2(y)24，即1，點(diǎn)M的軌跡方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x0，當(dāng)E與原點(diǎn)重合，即t0時，滿足|EA|EB|.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx2，代入1，消去y，得(34k2)x216kx40，則由(16k)216(34k2)>0，得|k|>.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|EA|EB|，()·0.又(x1x2，k(x1x2)42t)，(x2x1，k(x2x1)，(x2x1，k(x2x1)·(x1x2，k(x1x2)42t)0，展開化簡，得(1k2)·(x1x2)4k2kt0，將x1x2代入化簡，得t，又|k|>，t(，0)綜上，存在符合題意的點(diǎn)E，且實(shí)數(shù)t的取值范圍為(，07(2018·貴州貴陽考試)已知拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P且斜率為k的直線m交拋物線于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若|AF|BF|8，求線段AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離；(2)E上是否存在一點(diǎn)M，滿足？若存在，求出直線m的斜率；若不存在，請說明理由答案(1)4(2)不存在解析(1)由拋物線E的方程為y24x，可得F(1，0)，準(zhǔn)線l：x1，P(1，0)過點(diǎn)A作AAl，過點(diǎn)B作BBl，垂足分別為A，B.由拋物線的定義得|AF|AA|，|BF|BB|，由|AF|BF|8得|AA|BB|8.過AB的中點(diǎn)Q作QQl，垂足為Q，故QQ是直角梯形AABB的中位線，|QQ|4，即線段AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，則(x11，y1)(x21，y2)(x1x22，y1y2)(x1，y)，故即設(shè)直線m的方程為yk(x1)，聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k41616k2>0，x1x2.x1，x.y1y2k(x1x2)2kk·2k.y.M(，)點(diǎn)M在拋物線上，()24·，即4，此方程無解不存在滿足條件的點(diǎn)M.8(2018·吉林普通中學(xué)第一次調(diào)研)如圖，已知橢圓E：1(0<b<2)，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且·2.(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由答案(1)1e(2)1時，定值為3解析(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，且·2，于是解得c1，b.所以橢圓E的方程為1.因?yàn)閏1，a2，所以離心率e.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(4k23)x28kx80.其判別式>0，所以x1x2，x1x2.從而··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)123.所以當(dāng)2時，237，即··7為定值當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB即直線CD.此時···2·347.故存在常數(shù)2，使得··為定值7.1已知拋物線y22px(p>0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)，則使得POF是直角三角形的點(diǎn)P共有()A0個 B2個C4個 D6個答案B解析當(dāng)OFP為直角時，作出圖形如圖所示，過焦點(diǎn)F作PFx軸，交拋物線于點(diǎn)P，P，則OFP，OFP都是直角三角形顯然POF不可能為直角若OPF90°，易知F(，0)，設(shè)P(，y)，可得(，y)，(，y)，·()y2.>0，>0，·>0，cosOPF>0，OPF為銳角，不可能為直角綜上，使得POF是直角三角形的點(diǎn)P有且有2個2(2018·江蘇鹽城中學(xué)摸底)命題p：已知橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個動點(diǎn)，過F2作F1PF2外角的平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為定值類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一個動點(diǎn)，過F2作F1PF2的_的垂線，垂足為M，則OM的長為定值_答案內(nèi)角平分線a解析F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個動點(diǎn)，過F2作F1PF2外角的平分線的垂線，垂足為M，點(diǎn)F2關(guān)于F1PF2的外角平分線PM的對稱點(diǎn)Q在F1P的延長線上，|F1Q|PF1|PF2|2a(橢圓長軸長)，又OM是F2F1Q的中位線，故|OM|a.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上，當(dāng)過F2作F1PF2的內(nèi)角平分線的垂線，垂足為M時，點(diǎn)F2關(guān)于F1PF2的內(nèi)角平分線PM的對稱點(diǎn)Q在PF1上，|F1Q|PF1|PF2|2a，又OM是F2F1Q的中位線，故|OM|a.3(2018·海南?？谌?已知橢圓C：y21(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且·的最小值為0.(1)求橢圓C的方程；(2 )若動直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1l2，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，使得點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案(1)y21(2)略解析(1)設(shè)P(x，y)，則有(xc，y)，(xc，y)，·x2y2c21c2，xa，a，由·的最小值為0，得1c20，c1，a22，橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線l1，l2斜率存在時，設(shè)其方程分別為ykxm，ykxn，把l1的方程代入橢圓方程得(12k2)x24mkx2m220.直線l1與橢圓C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0，化簡得m212k2，同理，n212k2，m2n2.若mn，則l1，l2重合，不合題意，mn.設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B(t，0)，點(diǎn)B到直線l1，l2的距離之積為1，則·1，即|k2t2m2|k21，把12k2m2代入并去絕對值，整理得k2(t23)2或k2(t21)0，前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的kR恒成立，則t210，解得t±1.當(dāng)直線l1，l2斜率不存在時，其方程為x和x，定點(diǎn)(1，0)或(1，0)到直線l1，l2的距離之積為(1)·(1)1，綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)B為(1，0)和(1，0)4(2018·吉林一中二模)已知拋物線C：y22px(p>0)與直線xy40相切(1)求該拋物線的方程；(2)在x軸的正半軸上，是否存在某個確定的點(diǎn)M，過該點(diǎn)的動直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由答案(1)y28x(2)略解析(1)聯(lián)立方程，有消去x，得y22py8p0，由直線與拋物線相切，得8p232p0，解得p4.所以拋物線的方程為y28x.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M(m，0)(m>0)直線l：xtym，由得y28ty8m0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m.|AM|2(x1m)2y12(t21)y12，|BM|2(x2m)2y22(t21)y22.··，當(dāng)m4時，為定值，所以M(4，0)5(2018·浙江溫州第一次考試)如圖，動圓C過點(diǎn)F(1，0)，且與直線x1相切于點(diǎn)P.(1)求圓C的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)F任作一直線交軌跡于A，B兩點(diǎn)，設(shè)PA，PF，PB的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由答案(1)y24x(2)定值為2解析(1)由題意，圓心C到點(diǎn)F(1，0)的距離與到直線x1的距離相等由拋物線的定義，可知圓心C的軌跡是以F(1，0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，其中1，所以p2.故圓心C的軌跡的方程是y24x.(2)設(shè)直線AB的方程為xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立方程，得整理得y24my40，則y1y24m，y1y24.設(shè)P(1，t)，則k1，k3，k2.k1k3t，則2，故為定值，定值為2.