2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理1設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()A(a3)2<2a26a11Ba2aC|ab|2D.<答案C解析(a3)2(2a26a11)a22<0，故A恒成立；在B項(xiàng)中不等式的兩側(cè)同時(shí)乘以a2，得a41a3a(a4a3)(1a)0a3(a1)(a1)0(a1)2(a2a1)0，所以B項(xiàng)中的不等式恒成立；對(duì)C項(xiàng)中的不等式，當(dāng)a>b時(shí)，恒成立，當(dāng)a<b時(shí)，不恒成立；由不等式<恒成立，知D項(xiàng)中的不等式恒成立故選C.2已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_答案2解析(ambn)(bman)abm2(a2b2)mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a22abb2)2(ab)22(當(dāng)且僅當(dāng)mm時(shí)等號(hào)成立)3(2018·滄州七校聯(lián)考)若logxy2，則xy的最小值為_答案解析由logxy2，得y.而xyx33，當(dāng)且僅當(dāng)即x時(shí)取等號(hào)所以xy的最小值為.4若a，b，cR，且abc1，則的最大值為_答案解析方法一：()2abc222abc(ab)(bc)(ca)3.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)成立方法二：柯西不等式：()2(1×1×1×)2(121212)(abc)3.5已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_答案12解析由柯西不等式，得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即a24b29c212，當(dāng)a2b3c2時(shí)等號(hào)成立，所以a24b29c2的最小值為12.6(2018·江蘇南通聯(lián)考)已知x>0，y>0，aR，bR.求證：()2.答案略證明因?yàn)閤>0，y>0，所以xy>0.所以要證()2，即證(axby)2(xy)(a2xb2y)，即證xy(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立故()2.7(2014·江蘇)已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.答案略證明因?yàn)閤>0，y>0，所以1xy23>0，1x2y3>0.故(1xy2)(1x2y)3·39xy.8(2018·福建質(zhì)量檢查)若a，b，cR，且滿足abc2.(1)求abc的最大值；(2)證明：.答案(1)(2)略解析(1)因?yàn)閍，b，cR，所以2abc3，故abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立所以abc的最大值為.(2)證明：因?yàn)閍，b，cR，且abc2，所以根據(jù)柯西不等式，可得(abc)·()()2()2()2×()2()2()2(×××)2.所以.9(2016·課標(biāo)全國(guó)，理)已知函數(shù)f(x)|x|x|，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|<|1ab|.答案(1)x|1<x<1(2)略解析(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>1；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0.因此|ab|<|1ab|.10(2015·湖南理)設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立答案(1)略(2)略解析由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時(shí)成立，則由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立11(2018·廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)<3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a1，xR，求證：f(x)2.答案(1)(，)(2)見解析解析(1)因?yàn)閒(1)<3，所以|a|12a|<3.當(dāng)a0時(shí)，得a(12a)<3，解得a>，所以<a0；當(dāng)0<a<時(shí)，得a(12a)<3，解得a>2，所以0<a<；當(dāng)a時(shí)，得a(12a)<3，解得a<，所以a<.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，)(2)f(x)|xa1|x2a|(xa1)(x2a)|3a1|，因?yàn)閍1，所以f(x)3a12.12(2018·福州五校二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|2x1|2x1|.(1)若不等式f(x)a22a1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)m>0，n>0，且mn1，求證：2.答案(1)1，3(2)略解析(1)方法一：依題意，f(x)f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3(2)由(1)知f(x)2，22.()22(mn)224(2m1)(2n1)8，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立2，2.1(2017·武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab，求證：1.答案(1)x|7x(2)略解析(1)當(dāng)x時(shí)，x52x31，解得x7，7x；當(dāng)<x<5時(shí)，x52x31，解得x，<x；當(dāng)x5時(shí)，x5(2x3)1，解得x9，舍去綜上，7x.故原不等式的解集為x|7x(2)要證1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立，原不等式成立2已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.答案(1)1(2)略解析(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1，1，故m1.(2)證明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)()(···)29.