2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè)

2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè)1已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.B3C.m D3m解析：雙曲線方程為1，焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為.選A.答案：A2已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2 BC. D1解析：因?yàn)殡p曲線的方程為1，所以e214，因此a21，a1.選D.答案：D3雙曲線x24y21的漸近線方程為()Ax±2y0 By±2x0Cx±4y0 Dy±4x0解析：依題意，題中的雙曲線即x21，因此其漸近線方程是x20，即x±2y0，選A.答案：A4已知雙曲線y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A1 BC. D解析：在雙曲線y21中，a，b1，c2.不防設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則有|PF1|PF2|2a2，又|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|.又|F1F2|2c4，而|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2×|PF1|×|PF2|×()×()1.故選A.答案：A5已知雙曲線C：1(a>0，b>0)，直線l：y2x2.若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A1 B2C. D4解析：根據(jù)題意，雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，其焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y±x，又由直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，可知2，直線l：y2x2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，即雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，即a1，則b2a2，故雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，故選B.答案：B6已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為()A. B2C. D2解析：不妨設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，因?yàn)榻裹c(diǎn)F(c,0)到漸近線bxay0的距離為a，所以a，即a，所以1，所以該雙曲線的離心率e ，故選C.答案：C7已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：由題意得e，又右焦點(diǎn)為F2(5,0)，a2b2c2，所以a216，b29，故雙曲線C的方程為1.答案：C8已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21 Bx21C.1 D1解析：由題意得c，則a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.答案：A9(2018·山西八校聯(lián)考)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，直線y(xc)與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)P滿足PF2F12PF1F2，則雙曲線的離心率e為()A. BC21 D1解析：直線y(xc)過(guò)左焦點(diǎn)F1，且其傾斜角為30°，PF1F230°，PF2F160°，F(xiàn)2PF190°，即F1PF2P.|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|sin 60°c，由雙曲線的定義得2a|PF1|PF2|cc，雙曲線C的離心率e1，選D.答案：D10已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.x±y0 Bx±y0C2x±y0 Dx±2y0解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則所以|PF1|4a，|PF2|2a，且|F1F2|2c，即|PF2|為最小邊，即PF1F230°，則PF1F2為直角三角形，所以2c2a，所以ba，即漸近線方程為y±x，故選A.答案：A11已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：依題意，解得，雙曲線C的方程為1.答案：A12已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：法一：因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4，)且漸近線方程為y±x，故點(diǎn)(4，)在直線yx的下方設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，所以，解得故雙曲線方程為y21.法二：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，故可設(shè)雙曲線為y2(0)，又雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，所以()2，所以1，故雙曲線方程為y21.答案：y2113雙曲線：1(a>0，b>0)的焦距為10，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則的實(shí)軸長(zhǎng)等于_解析：雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線yx，即axby0的距離為b3，所以a4,2a8.答案：814已知雙曲線C：1(a>0，b>0)與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線C的漸近線方程為y±2x，則雙曲線C的方程為_(kāi)解析：易得橢圓的焦點(diǎn)為(，0)，(，0)，a21，b24，雙曲線C的方程為x21.答案：x2115(2018·合肥市質(zhì)檢)雙曲線M：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線xa與雙曲線M的漸近線交于點(diǎn)P，若sinPF1F2，則該雙曲線的離心率為_(kāi)解析：不妨設(shè)P為直線xa與雙曲線M的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)閟inPF1F2，所以|PF1|3b，所以(ac)2b29b2，即9a22ac7c20,7e22e90，又e>1，解得e.答案：B組能力提升練1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A(1， B(1,2C，) D2，)解析：2|4|2c|，又|a，a，即c2a，e2.故選D.答案：D2若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的()A離心率相等 B虛半軸長(zhǎng)相等C實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D焦距相等解析：由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由，得兩雙曲線的焦距相等答案：D3(2018·云南五市聯(lián)考)設(shè)P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，設(shè)|PM|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|mn|()A4 B5C6 D7解析：易知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，恰為兩個(gè)圓的圓心，兩個(gè)圓的半徑分別為2,1，所以|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)35，同理|PM|PN|的最小值為(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)31，所以|mn|6，故選C.答案：C4(2018·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C的左、右焦點(diǎn)，若·0，則點(diǎn)P到x軸的距離為()A. BC2 D解析：由題意知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為yx，點(diǎn)P(x0，x0)，由·(x0，x0)·(x0，x0)3x60，得x0±，故點(diǎn)P到x軸的距離為|x0|2，故選C.答案：C5已知雙曲線1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：根據(jù)圓和雙曲線的對(duì)稱性，可知四邊形ABCD為矩形雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四邊形ABCD的面積為4xAyA2b，解得b212，故所求的雙曲線方程為1，選D.答案：D6已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，則此雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1解析：因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以此雙曲線的方程為1.答案：C7過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若2，則此雙曲線的離心率為()A. BC2 D解析：不妨設(shè)B(x，x)，|OB|c，可取B(a，b)，由題意可知點(diǎn)A為BF的中點(diǎn)，所以A(，)，又點(diǎn)A在直線yx上，則·，c2a，e2.答案：C8若直線l1和直線l2相交于一點(diǎn)，將直線l1繞該點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為，則角就稱為l1到l2的角，tan ，其中k1，k2分別是l1，l2的斜率，已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，A是右頂點(diǎn)，P是直線x上的一點(diǎn)，e是雙曲線的離心率，直線PA到PF的角為，則tan 的最大值為()A. BC. D解析：設(shè)PA，PF的斜率分別為k3，k4，由題意可知tan ，不妨設(shè)P(，y)(y>0)，則k3，k4.令ma，nc，則tan ，由mnca>0，得當(dāng)y取得最小值時(shí)tan 取最大值，又y>0，m<0，n<0，所以y2，當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)tan ，故選C.答案：C9(2018·淄博模擬)過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F1，作圓x2y2a2的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)P，切點(diǎn)為T(mén)，PF1的中點(diǎn)M在第一象限，則以下結(jié)論正確的是()Aba|MO|MT|Bba>|MO|MT|Cba<|MO|MT|Dba|MO|MT|解析：如圖，連接OT，則OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b，連接PF2，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，|OM|PF2|，|MO|MT|PF2|(|PF2|PF1|)b×(2a)bba，故選A.答案：A10(2018·昆明市檢測(cè))已知點(diǎn)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心的圓與C的漸近線相切，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若AFx軸，則C的離心率為_(kāi)解析：不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，則F(c,0)，易知雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的焦點(diǎn)F到漸近線的距離db，所以圓F的半徑為b.在雙曲線方程中，令xc，得y±，所以A(c，±)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓F上，所以b，即ab，所以ca，所以e.答案：11雙曲線1(a>0，b>0)上一點(diǎn)M(3,4)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)F2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：不妨設(shè)雙曲線1的右焦點(diǎn)F2(c,0)關(guān)于漸近線yx對(duì)稱的點(diǎn)在雙曲線上，則過(guò)焦點(diǎn)F2且垂直于該漸近線的直線方程為y0(xc)，即y(xc)聯(lián)立可得方程組解得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得F2關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(c，)，將其代入雙曲線的方程可得1，化簡(jiǎn)可得c25a2，c2a2b25a2，所以b24a2.因?yàn)镸(3,4)在雙曲線1上，所以1，1，所以a25，b220，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：112設(shè)雙曲線x21的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析：由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2x軸時(shí)，|PF1|PF2|有最大值8；當(dāng)P為直角時(shí)，|PF1|PF2|有最小值2.因?yàn)镕1PF2為銳角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2，8)答案：(2，8)13(2018·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知P是雙曲線y21上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，則·的值是_解析：設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線分別是y0，y0，所以可取|PA|，|PB|，又cosAPBcosAOBcos2AOxcos ，所以·|·|·cosAPB·()×().答案：