2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》
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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn):掌握確定圓的幾何要素及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;2.教學(xué)難點(diǎn):學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二:考綱傳真:1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.真題再現(xiàn);1.(xx·全國(guó),14)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).解析由題意知圓過(guò)(4,0),(0,2),(0,2)三點(diǎn),(4,0),(0,2)兩點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)方程為y12(x2),令y0,解得x,圓心為,半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.答案y22.(xx·全國(guó),4)圓x2y22x8y130的圓心到直線(xiàn)axy10的距離為1,則a()A. B. C. D.2解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1,4),由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得d1,解之得a. 答案A3.(xx·全國(guó),7)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn),則|MN|()A.2 B.8 C.4 D.10解析由已知,得(3,1),(3,9),則·3×(3)(1)×(9)0,所以,即ABBC,故過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑,得其方程為(x1)2(y2)225,令x0得(y2)224,解得y122,y222,所以|MN|y1y2|4,選C. 答案C知識(shí)梳理:知識(shí)點(diǎn)圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心(a,b)半徑為r一般x2y2DxEyF0充要條件:D2E24F>0圓心坐標(biāo):半徑r1必會(huì)結(jié)論點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0a)2(y0b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0a)2(y0b)2<r2.2必清誤區(qū)方程x2y2DxEyF0,當(dāng)D2E24F<0時(shí),不表示任何圖形,當(dāng)D2E24F0時(shí),表示點(diǎn),當(dāng)D2E24F>0時(shí),表示圓,因此在求參數(shù)的值或范圍時(shí),應(yīng)注意條件的使用考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一:求圓的方程1若圓C經(jīng)過(guò)(1,0),(3,0)兩點(diǎn),且與y軸相切,則圓C的方程為()A(x2)2(y±2)23 B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24【解析】因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)(1,0),(3,0)兩點(diǎn),所以圓心在直線(xiàn)x2上,又圓C與y軸相切,所以圓的半徑r2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,b),則(12)2b24,b23,b±.故選D.【答案】D2(xx·山東高考)圓心在直線(xiàn)x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【解析】因圓C的圓心在直線(xiàn)x2y0上,且與y軸的正半軸相切,所以設(shè)圓心C(2b,b)(b>0),半徑r2b.又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2,圓心C到x軸的距離為b,所以由勾股定理,解得b1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)243圓心在直線(xiàn)y4x上,且與直線(xiàn)l:xy10相切于點(diǎn)P(3,2)的圓的方程為_(kāi)【解析】由題意設(shè)圓的方程為(xa)2(y4a)2r2(r>0),由圓與直線(xiàn)l:xy10相切于點(diǎn)P(3,2)得解得故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.【答案】(x1)2(y4)28歸納;1求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值2確定圓心位置的方法(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線(xiàn)上(3)兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn)考點(diǎn)二: 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題(1)已知點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(2,0),動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足|AC|AB|,則點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)(2)(xx·全國(guó)卷)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2y28y0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)求M的軌跡方程;當(dāng)|OP|OM|時(shí),求l的方程及POM的面積【解析】(1)由題意|AC|AB|3,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y29,設(shè)C(x0,y0),M(x,y),則即又(x01)2y9,所以4x2(2y4)29.即x2(y2)2.【答案】x2(y2)2(2)圓C的方程可化為x2(y4)216,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則(x,y4),(2x,2y)由題設(shè)知·0,故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.由可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓由于|OP|OM|,故O在線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)上又P在圓N上,從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為,故l的方程為yx.又|OM|OP|2,O到l的距離為,|PM|,所以POM的面積為.跟蹤訓(xùn)練:1.設(shè)定點(diǎn)M(3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)P的軌跡【解】設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則(x,y),(x0,y0),(3,4),由得;(x,y)(3,4)(x0,y0),所以所以又xy4,所以(x3)2(y4)24.所以點(diǎn)P的軌跡是以(3,4)為圓心,2為半徑的圓,因?yàn)镺,M,P三點(diǎn)不共線(xiàn),所以應(yīng)除去兩點(diǎn)和.歸納:求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法| |考點(diǎn)三: 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足方程x2y24x10.求:(1)的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最小值【解】(1)如圖,方程x2y24x10表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,以為半徑的圓設(shè)k,即ykx,則圓心(2,0)到直線(xiàn)ykx的距離為半徑時(shí)直線(xiàn)與圓相切,斜率取得最大、最小值由,解得k23,kmax,kmin.(2)設(shè)yxb,則yxb,僅當(dāng)直線(xiàn)yxb與圓切于第四象限時(shí),截距b取最小值,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,得,即b2±,故(yx)min2.(3)x2y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,故連接OC,與圓交于B點(diǎn),并延長(zhǎng)交圓于C,則(x2y2)max|OC|2(2)274,(x2y2)min|OB|2(2)274.跟蹤訓(xùn)練:1設(shè)P(x,y)是圓(x2)2y21上的任意一點(diǎn),則(x5)2(y4)2的最大值為()A6 B25 C26 D36【解析】(x5)2(y4)2表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(5,4)的距離的平方點(diǎn)(5,4)到圓心(2,0)的距離d5.則點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(5,4)的距離最大值為6,從而(x5)2(y4)2的最大值為36,故選D.【答案】D2已知兩點(diǎn)A(1,0),B(0,2),點(diǎn)P是圓(x1)2y21上任意一點(diǎn),則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2,(4) B.(4),(4)C.,4 D.(2),(2)【解析】直線(xiàn)AB的方程為1,即2xy20,圓心(1,0)到直線(xiàn)AB的距離d,則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離最大值為1,最小值為1,又|AB|,則PAB面積的最大值Smax××(4),PAB面積的最小值Smin××(4),故選B.【答案】B歸納:與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)解法1形如形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題2形如taxby形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題3形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決,感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描,來(lái)澄清概念,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問(wèn)題,教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過(guò)對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢由常見(jiàn)問(wèn)題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。環(huán)節(jié)三:課堂小結(jié):1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.學(xué)生回顧,總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四:課后作業(yè):學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過(guò)思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。