（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 第一章 集合、常用邏輯用語 第1講 集合及其運算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、 第一章 集合、常用邏輯用語 [知識體系p1] 第1講　集合及其運算 【課程要求】 1．了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)來描述不同的具體問題，理解集合中元素的互異性． 2．理解集合之間包含和相等的含義，能識別給定集合的子集，了解在具體情境中全集與空集的含義． 3．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集，理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集． 4．能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的關(guān)系與運算． 對應(yīng)學(xué)生用書p1 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括

2、號中打“√”或“×”) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)任何一個集合都至少有兩個子集．(　　) (2){x|y＝＋1}＝{y|y＝＋1}＝{(x，y)|y＝＋1}．(　　) (3)若{，1}＝{0，1}，則x＝0或x＝1.(　　) (4){x|x≤2}＝{a|a≤2}．(　　) (5)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　) (6)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) [答案] (1)×　(2) ×　(3)×　(4) √　(5)√　(6)× 2．[必修1p44A組T4]已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A?B，則

3、a的值為(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 [解析] 因為{0，1}?{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2. [答案] A 3．[必修1p11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________． [答案] {x|x是直角} 4．[必修1p44A組T5]已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為________． [解析] 集合A表示拋物線y＝x2上的點的集合，集合B表示直線y＝x上的點的集合，拋物線y＝x2與直線y＝x相交于兩點(0，0

4、)，(1，1)，則A∩B中有兩個元素． [答案] 2 5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{1，2，3，4}，則Venn圖中陰影部分所表示的集合是(　　) A．{1，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} [解析] 由題意A＝{x|－2

5、 8 【知識要點】 1．集合與元素 (1)集合中元素的三個特征：__確定性__、__互異性__、__無序性__． (2)元素與集合的關(guān)系是__屬于__或__不屬于__，用符號__∈__或__?__表示． (3)集合的表示法：__列舉法__、__描述法__、__圖示法__． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合間的基本關(guān)系 關(guān)系 自然語言 符號語言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B) __A?B(或B?A)__ 真子

6、 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中 __AB(或BA)__ 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集 __A＝B__ 　　3.集合的基本運算 運算 自然語言 符號語言 Venn圖 交集 由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 補集 由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 ?UA＝{x|x∈U且x?A} 【知識拓展】 1．若有限集合A中有n個元素，則集合A的子集個

7、數(shù)為__2n__，真子集的個數(shù)為__2n－1__． 2．A?B?A∩B＝__A__?A∪B＝__B__． 3．A∩(?UA)＝__?__；A∪(?UA)＝__U__；?U(?UA)＝__A__． 對應(yīng)學(xué)生用書p2 集合的基本概念 例1　(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．2 C．1 D．0 [解析] 因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2. [

8、答案] B (2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為__________． [解析] 由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－，當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－時，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－. [答案] － [小結(jié)](1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合． (2)集合中元素的互異性常常容易被忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題． 1．(多選)若集合A＝{x|mx2＋2x＋

9、m＝0，m∈R}中有且只有一個元素，則m的值可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．0 C. D．1 [解析] 當m＝0時，A＝{x|2x＝0}＝{0}，滿足題意；當m≠0時，Δ＝4－4m2＝0，m＝±1. [答案] ABD 2．設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 [解析] 當a＝0時，a＋b＝1，2，6；當a＝2時，a＋b＝3，4，8；當a＝5時，a＋b＝6，7，11.由集合中元素的互異性知，P

10、＋Q中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8個元素． [答案] B 集合間的基本關(guān)系 例2　(1)(多選)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的值可以為(　　) A. B．－ C. D．0 [解析] 由題意知，A＝{2，－3}． 當a＝0時，B＝?，滿足B?A； 當a≠0時，ax－1＝0的解為x＝，由B?A，可得＝－3或＝2，∴a＝－或a＝. 綜上可知，a的值可以為－或或0. [答案] BCD (2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

11、) A．[－1，2) B．[－1，3] C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞) [解析] 由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B?A. ①當B＝?時，有m＋1≤2m－1，解得m≥2； ②當B≠?時，有解得－1≤m<2. 綜上，m的取值范圍是[－1，＋∞)． [答案] D [小結(jié)] (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解． (2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直

12、觀解決這類問題． 3．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 [解析] 因為{1，a＋b，a}＝，所以a≠0，a＋b＝0，則＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. [答案] C 4．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}，若A?B，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析] 因為y＝＋，x∈，所以y∈.又因為A?B，所以1－m2≤， 解得m≥或m≤－. [答案] ∪ 集合的基本運算 例3　(1)設(shè)全集為R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則A∩(?RB)＝________

13、． [解析] 由題意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}， ∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴?RB＝{x|x≤－1或x＞5}． ∴A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5} ＝{x|－3＜x≤－1}． [答案] {x|－3＜x≤－1} (2)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2，3]，則a＋b＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 [解析] P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2，3]，得Q＝[－1，3]，所以－a＝－1＋3，

14、b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故選A. [答案] A (3)設(shè)全集U＝{x|－2≤x<5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{－1，0，1，2}，則圖中陰影部分所表示的集合為(　　) A．{0，2} B．{3，4} C．{0，3，4} D．{－2，－1，0，1，2} [解析] 陰影部分所表示的集合為A∩(?UB)，集合A＝{0，2，3，4}，?UB＝{－2，3，4}，則A∩(?UB)＝{3，4}．故選B. [答案] B [小結(jié)] (1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．

15、 (2)運算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運算簡化． (3)進行集合基本運算時要注意對應(yīng)不等式端點值的處理，尤其是求解集合補集的運算，一定要注意端點值的取舍． 5．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，則A∩B＝(　　) A．(1，2) B．[1，2) C．(2，5] D．[2，5] [解析] 由x2－6x＋5≤0的解集為{x|1≤x≤5}，得A＝[1，5]．由x－2>0，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把兩個集合A，B在數(shù)軸上表示出來，如圖，可知A∩B＝(2，5]． [答案] C 6．設(shè)集合A＝{y

16、|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) [解析] ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1

17、)＝{3，4}，(?UM)∩(?UN)＝?. [答案] AB 集合中的創(chuàng)新問題 例4　(1)設(shè)A，B是兩個非空集合，定義集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則A－B＝(　　) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{0，1，2，5} [解析] 因為A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0，1，2，3，4，5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得2

18、，5}，故選D. [答案] D (2)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于任意實數(shù)對(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合： ①M＝； ②M＝{(x，y)|y＝log2x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}． 其中是“垂直對點集”的序號是(　　) A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ [解析] 記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.對于①，對任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.

19、對于②，當A為點(1，0)時，不存在B∈M滿足題意．對于③④，對任意A∈M，過原點O可作直線OB⊥OA，它們都與函數(shù)y＝ex－2及y＝sin x＋1的圖象相交，即③④滿足題意，故選C. [答案] C [小結(jié)]解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程之中．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素． 8．定義一種新的集合運算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，則按運算△，B△A等于(　　) A．{

20、x|3