高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第3講 不等式選講 理

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第3講 不等式選講 理考情解讀本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法，求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，從能力上主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想1含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解2含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.3算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立4不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等熱點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法例1不等式|x3|2x1|<1的解集為_答案解析當(dāng)x<3時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<10，x<3.當(dāng)3x<時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<，3x<.當(dāng)x時(shí)，原不等式化為(x3)(2x1)<1，解得x>2，x>2.綜上可知，原不等式的解集為.思維升華(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法 (1)若不等式|x1|x2|<a無實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_答案(，3解析由絕對(duì)值的幾何意義知|x1|x2|的最小值為3，而|x1|x2|<a無解，a3.(2)(xx·陜西)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.熱點(diǎn)二不等式的證明例2求證下列不等式：(1)設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2；(2)a68b6c62a2b2c2；(3)a24b29c22ab3ac6bc.證明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2·(ab)(ab)(3a22b2)ab>0，ab0,3a22b2>0.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c633×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.思維升華(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式或柯西不等式證明 (xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.熱點(diǎn)三不等式的綜合應(yīng)用例3(xx·陜西)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_答案2解析先化簡(jiǎn)式子，再利用基本不等式求解最值，注意等號(hào)取得的條件a，b，m，nR，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2ab·mn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，取“”所求最小值為2.思維升華利用基本不等式求解最值時(shí)，有時(shí)需化簡(jiǎn)代數(shù)式，切記等號(hào)成立的條件 (xx·湖北改編)設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則_.答案解析通過等式找出abc與xyz的關(guān)系由題意可得x2y2z22ax2by2cz，與a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令，則xyz2(abc)，即.1對(duì)于帶有絕對(duì)值的不等式的求解，要掌握好三個(gè)方法：一個(gè)是根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，借助于數(shù)軸的直觀解法；二是根據(jù)絕對(duì)值的意義，采用零點(diǎn)分區(qū)去絕對(duì)值后轉(zhuǎn)化為不等式組的方法；三是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)圖象的方法要在解題過程中根據(jù)不同的問題情境靈活選用這些方法2使用絕對(duì)值三角不等式求最值很方便，如|x2|x4|(x2)(x4)|6.3易錯(cuò)點(diǎn)：解絕對(duì)值不等式時(shí)忽視去掉絕對(duì)值的分界點(diǎn)；在使用算術(shù)幾何平均不等式求最值時(shí)忽視討論等號(hào)成立的條件.真題感悟1(xx·江西改編)對(duì)任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為_答案3解析x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|3.|x1|x|y1|y1|的最小值為3.2(xx·湖南)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的解集為x|<x<，則a_.答案3解析|ax2|<3，1<ax<5.當(dāng)a>0時(shí)，<x<，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，xR，與已知條件不符；當(dāng)a<0時(shí)，<x<，又不等式的解集為x|<x<，故a3.押題精練1已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，則實(shí)數(shù)a的值為_(2)若a2，且f(x)f(x5)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案(1)2(2)(，5解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|，設(shè)g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以當(dāng)x<3時(shí)，g(x)>5；當(dāng)3x2時(shí)，g(x)5；當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5方法二(1)同方法一(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當(dāng)且僅當(dāng)3x2時(shí)等號(hào)成立)，得g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，52設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，試證明不等式，并說明等號(hào)成立的條件解因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立三個(gè)不等式相加，得，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立(推薦時(shí)間：40分鐘)1如果關(guān)于x的不等式|xa|x4|1的解集是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，53，)解析在數(shù)軸上，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義可知a5或a3.2(xx·重慶)若不等式|2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1，解析設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x<2時(shí)，y3x1>5；當(dāng)2x<時(shí)，yx3>；當(dāng)x時(shí)，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范圍為1，3若不等式|ax2|<4的解集為(1,3)，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析由4<ax2<4，得6<ax<2.當(dāng)a>0時(shí)，<x<，與解集(1,3)不符；當(dāng)a<0時(shí)，<x<，a2.4不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1,4解析由絕對(duì)值的幾何意義知，|x3|x1|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)3,1的距離的和，則|x3|x1|的最小值為4，不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.a的取值范圍為1,45已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，則集合AB_.答案x|2x5解析由|x3|x4|9，當(dāng)x<3時(shí)，x3(x4)9，即4x<3；當(dāng)3x4時(shí)，x3(x4)79恒成立；當(dāng)x>4時(shí)，x3x49，即4<x5.綜上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)Bx|x2，ABx|2x56已知關(guān)于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，則a的最小值是_答案7解析|x1|xa|x1|ax|a1|，要使關(guān)于x的不等式不是空集，則|a1|8，7a9，即a的最小值為7.7設(shè)f(x)x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(1,3)，若f(7|t|)>f(1t2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(3,3)解析x2bxc<0的解集是(1,3)，>0且1,3是x2bxc0的兩根則函數(shù)f(x)x2bxc圖象的對(duì)稱軸方程為x1，且f(x)在1，)上是增函數(shù)，又7|t|7>1,1t21，則由f(7|t|)>f(1t2)，得7|t|>1t2，即|t|2|t|6<0，亦即(|t|2)(|t|3)<0，|t|<3，即3<t<3.8(xx·天津)設(shè)ab2，b>0，則當(dāng)a_時(shí)，取得最小值答案2解析由于ab2，所以，由于b>0，|a|>0，所以21，因此當(dāng)a>0時(shí)，的最小值是1；當(dāng)a<0時(shí)，的最小值是1.故的最小值為，此時(shí)即a2.9若T1，T2，則當(dāng)s，m，nR時(shí)，T1與T2的大小為_答案T1T2解析因?yàn)閟·0.所以T1T2.10設(shè)0<x<1，則a，b1x，c中最大的一個(gè)是_答案c解析由a22x，b21x22x>a2，a>0，b>0得b>a.又cb(1x)>0得c>b，知c最大11設(shè)x>0，y>0，M，N，則M、N的大小關(guān)系為_答案M<N解析N>M.12若a，bR，且ab，M，N，則M、N的大小關(guān)系為_答案M>N解析ab，>2，>2，>22，>.即M>N.13對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_答案5解析|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1y21，1y3，從而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值為5.14不等式>|a5|1對(duì)于任一非零實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(4,6)解析|x|2，所以|a5|1<2，即|a5|<1，4<a<6.15不等式log3(|x4|x5|)>a對(duì)于一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，2)解析由絕對(duì)值的幾何意義知|x4|x5|9，則log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)>a對(duì)于一切xR恒成立，則需a<2.