2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案
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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案(一)教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能:(1) 理解拋物線的定義明確焦點、焦距的概念。(2) 熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,會根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.過程與方法:事例引入,動手操作理解拋物線的定義明確焦點、焦距的概念。通過學(xué)生動手推導(dǎo)、例題教學(xué)讓學(xué)生熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,會根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3.情感、態(tài)度與價值觀:(1) 學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨立思考,學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題; (2) 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。 (二)教學(xué)重點與難點重點:拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程難點:拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)(三)教學(xué)過程活動一:創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 (5分鐘)回憶前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容,說一說橢圓與雙曲線的相關(guān)知識?問題1:橢圓的定義是什么?雙曲線的定義是什么?問題2:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的?問題3:同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識?在物理中,拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運行軌道;在數(shù)學(xué)中,拋物線是二次函數(shù)的圖象。問題4:在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征?在二次函數(shù)中研究的拋物線,它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:如果拋物線的對稱軸不平行于y軸,那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了今天,我們突破函數(shù)研究中這個限制,從更一般意義上來研究拋物線.問題5:把一根直尺固定在圖板上直線L位置,把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細(xì)繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的一點A,取繩長等于點A到直角標(biāo)頂點C的長(即點A到直線L的距離),并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F 用鉛筆尖扣著繩子,使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板,然后將三角板沿著直尺上下滑動,筆尖就在圖板上描出了一條曲線 點題:今天我們學(xué)習(xí)“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”活動二:師生交流、進(jìn)入新知,(20分鐘)問題6:實驗操作書本P64頁,幾何畫板上的畫圖,從實驗中,點M隨著H運動的過程中,與有什么關(guān)系?1、拋物線定義:把平面內(nèi)與一個定點和一條定直線(不經(jīng)過點)距離相等的點的軌跡叫作拋物線,這個定點叫做拋物線的焦點,直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。 即=;焦點:;準(zhǔn)線:直線 問題7:類似求橢圓或雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,你能利用上一節(jié)學(xué)過的坐標(biāo)法求出拋物線的方程嗎?如圖所示,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)(),那么焦點的坐標(biāo)為,準(zhǔn)線的方程為,設(shè)拋物線上的點,則有化簡方程得 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點在軸的正半軸上,焦點坐標(biāo)是,它的準(zhǔn)線方程是 問題8:探究: 若拋物線的焦點分別為、,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?2:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1), 焦點:,準(zhǔn)線:(2), 焦點:,準(zhǔn)線:(3), 焦點:,準(zhǔn)線:(4) , 焦點:,準(zhǔn)線:活動三:合作學(xué)習(xí)、探究新知(18分鐘)例 1:(1)已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 (2)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是(0,2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析:(1)在標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都是用的代數(shù)式表示的,所以只要求出即可;(2)求的是標(biāo)準(zhǔn)方程,因此所指拋物線應(yīng)過原點,結(jié)合焦點坐標(biāo)求出,問題易解。解析:(1),焦點坐標(biāo)是(,0)準(zhǔn)線方程是(2)焦點在軸負(fù)半軸上,2,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是練習(xí):書本P67:1例2 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1),(2),求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分析:這是關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題,關(guān)鍵是(1)根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,(2)求出參數(shù)的值解:(1),焦點坐標(biāo)是(3,0)準(zhǔn)線方程(2)先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點坐標(biāo)是(0,),準(zhǔn)線方程是.練習(xí):書本P67頁練習(xí)2問題8:思考:你能說明二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線嗎?指出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。例3:點與點的距離比它到直線:的距離小1,求點的軌跡方程 解析:可知原條件點到和到距離相等,由拋物線的定義,點的軌跡是以為焦點,為準(zhǔn)線的拋物線 ,所求方程是。對定義的一種等價變形,看到定點和定直線就要想到拋物線的定義練習(xí):已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點,對稱軸是軸,焦點為,(1)拋物線上的點到焦點的距離等于,求此拋物線的方程與的值;(2)拋物線上的一點的橫坐標(biāo)為,且,求此拋物線的方程。解析:(1)設(shè)拋物線的方程為,則 , 所以拋物線的方程為 ,;(2)由已知條件知拋物線為,所以,不妨設(shè),則,且 ,又,解之有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例4: (書本例2)一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示。衛(wèi)星撥束近似平行狀態(tài)社如軸截面為拋物線的接受天線,經(jīng)反射聚焦到焦點處。已知接收天線的口徑為4.8m深度為0.5m,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)。解;設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px (p>0)。有已知條件可得,點A的坐標(biāo)是(0.5,2.4)代入方程,得2.4=2p*0.5即=5.76所以,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x,焦點坐標(biāo)是(2.88,0)練習(xí):書本P67頁練習(xí)3例 5:求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點坐標(biāo)是F(5,0)(2)經(jīng)過點A(2,3)分析:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p,因此,只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式,再求出p值就可以寫出其方程,但要注意兩解的情況解:(1)焦點在x軸負(fù)半軸上,5,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是(2)經(jīng)過點A(2,3)的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式:y22px或x22py點A(2,3)坐標(biāo)代入,即94p,得2p點A(2,3)坐標(biāo)代入x22py,即46p,得2p所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或x2y例6:已知拋物線,是拋物線上一點。(1)設(shè)是焦點,一個定點為,求的最小值,并指出此時點的坐標(biāo);(2)設(shè)點(),求|的最小值,并指出此時點的坐標(biāo);分析:(1)一般我們用原理:三角形兩邊之和不小于第三邊,即,當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時求的最小值;但定點在拋物線含焦點部分,點在拋物線上,所以點不會再在線段上,所以需要利用拋物線的定義:拋物線上的點到焦點和到準(zhǔn)線的距離相等作一個轉(zhuǎn)化,從而實現(xiàn)上面的想法。(2)已知拋物線,是拋物線上一點,所以其坐標(biāo)滿足拋物線的方程:,而(),求|的最小值不妨直接用兩點間距離直接表示|,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。解析:(1)做垂直于準(zhǔn)線,其中為垂足,則| |=| |, 所以|+|=|+|,可知,當(dāng)垂直準(zhǔn)線時三點,共線,|+|=|+|取小值為,此時(2)設(shè),因為(), 所以,又,所以 當(dāng)時,在上是增函數(shù), 所以當(dāng)時最小值為,此時;時,在上是減函數(shù), 在上是增函數(shù), 所以當(dāng)時最小值為,此時。小結(jié):點在拋物線上首先點滿足拋物線的定義(到焦點和到準(zhǔn)線的距離相等);其次是點的坐標(biāo)滿足拋物線的方程。活動四:歸納整理、提高認(rèn)識(2分鐘)1 說說拋物線的定義? 2 說說拋物線的各種形式?活動五:作業(yè)布置、提高鞏固1書面作業(yè):書本P73 A組1、2