2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線教案【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì);2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。真題再現(xiàn);1.(xx·全國(guó))以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2 B.4 C.6 D.8解析不妨設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0，2)，D，點(diǎn)A(x0，2)在拋物線y22px上，82px0，點(diǎn)A(x0，2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)D在圓x2y2r2上，5r2，聯(lián)立，解得p4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4，故選B.答案B2.(xx·陜西，14)若拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則p_.解析由于雙曲線x2y21的焦點(diǎn)為(±，0)，故應(yīng)有，p2.答案23.(xx·全國(guó)，11)設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的方程為()A.y24x或y28x B.y22x或y28xC.y24x或y216x D.y22x或y216x解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|x05，則x05.又點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(xx0)(yy0)y0.將x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由y2px0，得162p，解之得p2，或p8.所以C的方程為y24x或y216x，故選C. 答案C知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線知識(shí)點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01必會(huì)結(jié)論；設(shè)AB是過拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p.通徑是過焦點(diǎn)最短的弦2必知聯(lián)系；(1)若拋物線的開口方向不能確定，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2mx或x2my(m0)(2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，或直線平行于對(duì)稱軸，即由得ay2byc0或ax2bxc0.當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)直線就是與對(duì)稱軸平行的直線考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：拋物線的準(zhǔn)線方程及幾何性質(zhì)1.已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】依題意得，(3)5，p4.拋物線方程為y28x.故選B.【答案】B2設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x【解析】由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，點(diǎn)M(x0，y0)，則，.由已知得，·0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得5，又p>0，解得p2或p8.故C的方程為y24x或y216x.故選C.【答案】C3(xx·湖南高考)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a<b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y22px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則_.【解析】正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b，O為AD的中點(diǎn)，C，F(xiàn).又點(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線y22px(p>0)上，解得1.【答案】1歸納；1拋物線幾何性質(zhì)的確定由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程(1)方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)流程：因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量考點(diǎn)二: 拋物線的定義及應(yīng)用命題角度1到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化1(xx·全國(guó)卷)已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0()A4 B2 C1 D8【解析】如圖，F(xiàn)，過A作AA準(zhǔn)線l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.【答案】C命題角度2到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離之和最小問題2已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PF|PA|的值最小【解】(2)2<8×4，點(diǎn)A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B，連接AQ.由拋物線的定義可知|PF|PA|PQ|PA|AQ|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|PA|取得最小值，即為|AB|.A(2,4)，不妨設(shè)|PF|PA|的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y0)，代入x28y，得y0.故使|PF|PA|的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.命題角度3到點(diǎn)(線)與準(zhǔn)線的距離之和最小問題3已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy40，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1d2的最小值是()A.2 B.1C.2 D.1【解析】設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則d1|PF|1，d1d2d2|PF|1，點(diǎn)F到直線l的距離d.則d1d21，故選D.【答案】D歸納：與拋物線有關(guān)的最值問題的求解策略與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑考點(diǎn)三: 直線與拋物線的綜合問題(1)(xx·遼寧高考)已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A. B. C. D. (2)(xx·福建高考)已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.求拋物線E的方程；已知點(diǎn)G(1,0)，延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切【解析】(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點(diǎn)為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)0，所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.【答案】D(2)法一由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2.由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切法二同法一設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2.由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為2x3y20，從而r.又直線GB的方程為2x3y20，所以點(diǎn)F到直線GB的距離dr.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積【解】(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.歸納：解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的常用方法1直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系2有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式3涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解決提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)2.理解數(shù)形結(jié)合的思想3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。