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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》

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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)教案1角的概念(1)任意角:定義:一個角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形;分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S|k·360°,kZ(3)象限角:使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么這個角不屬于任何一個象限2弧度制(1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化:180° rad,1° rad,1 rad°.(3)扇形的弧長公式:l|·r,扇形的面積公式:Slr|·r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點P(x,y)時,sin y,cos x,tan (x0)三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表:三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sin Rcos Rtan |k,kZ4.三角函數(shù)線如下圖,設(shè)角的終邊與單位圓交于點P,過P作PMx軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線;有向線段OM為余弦線;有向線段AT為正切線【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)角終邊上點P的坐標(biāo)為(,),那么sin ,cos ;同理角終邊上點Q的坐標(biāo)為(x0,y0),那么sin y0,cos x0.(×)(2)銳角是第一象限角,反之亦然(×)(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(4)點P(tan ,cos )在第三象限,則角終邊在第二象限()(5)(0,),則tan >>sin .()(6)為第一象限角,則sin cos >1.()1角870°的終邊所在的象限是第_象限答案三解析由870°1 080°210°,知870°角和210°角終邊相同,在第三象限2已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長是_答案解析設(shè)圓的半徑為r,則sin 1,r,2弧度的圓心角所對弧長為2r.3已知角的頂點為坐標(biāo)原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點,且sin ,則y_.答案8解析因為sin ,所以y<0,且y264,所以y8.4函數(shù)y的定義域為_答案(kZ)解析2cos x10,cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)題型一角及其表示例1(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角,那么角2的終邊落在_答案(1)|k,kZ(2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上解析(1)在(0,)內(nèi)終邊在直線yx上的角是,終邊在直線yx上的角的集合為|k,kZ(2)2k<<2k,kZ,4k2<2<4k3,kZ.角2的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合S|2k,kZ判斷一個角所在的象限時,只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個角與2的整數(shù)倍的和,然后判斷角的象限(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),對于始邊為x軸非負(fù)半軸的角,下列命題中正確的是_(填序號)第一象限中的角一定是銳角;終邊相同的角必相等;相等的角終邊一定相同;不相等的角終邊一定不同(2)已知角45°,在區(qū)間720°,0°內(nèi)與角有相同終邊的角_.答案(1)(2)675°或315°解析(1)第一象限角是滿足2k<<2k,kZ的角,當(dāng)k0時,它都不是銳角,與角終邊相同的角是2k,kZ;當(dāng)k0時,它們都與不相等,亦即終邊相同的角可以不相等,但不相等的角終邊可以相同(2)由終邊相同的角關(guān)系知k·360°45°,kZ,取k2,1,得675°或315°.題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y2x上,則cos 2_.(2)若sin tan <0,且<0,則角是第_象限角思維點撥(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個點沒有關(guān)系,因此知道了終邊所在的直線,可在這個直線上任取一點,然后按照三角函數(shù)的定義來計算,最后用倍角公式求值(2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號判斷答案(1)(2)三解析(1)取終邊上一點(a,2a),a0,根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos ±,故cos 22cos21.(2)由sin tan <0可知sin ,tan 異號,從而角為第二或第三象限角由<0可知cos ,tan 異號,從而角為第三或第四象限角,故角為第三象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義,求一個角的三角函數(shù)值,需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點到原點的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號,理解并記憶:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的終邊過點P(8m,6sin 30°),且cos ,則m的值為_(2)若是第二象限角,則_0.(判斷大小)答案(1)(2)<解析(1)r,cos ,m>0,即m.(2)是第二象限角,1<cos <0,0<sin <1,sin(cos )<0,cos(sin )>0,<0.題型三弧度制的應(yīng)用例3已知一扇形的圓心角為 (>0),所在圓的半徑為R.(1)若60°,R10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積;(2)若扇形的周長是一定值C (C>0),當(dāng)為多少弧度時,該扇形有最大面積?思維點撥(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到;(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓,則60°,R10,l×10 (cm),S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周長C2Rl2RR,R,S扇·R2·2··.當(dāng)且僅當(dāng)24,即2時,扇形面積有最大值.思維升華涉及弧長和扇形面積的計算時,可用的公式有角度表示和弧度表示兩種,其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單,易記好用,在使用前,應(yīng)將圓心角用弧度表示弧長和扇形面積公式:l|R,S|R2.已知扇形的周長為4 cm,當(dāng)它的半徑為_和圓心角為_弧度時,扇形面積最大,這個最大面積是_答案1 cm21 cm2解析設(shè)扇形圓心角為,半徑為r,則2r|r4,|2.S扇形|·r22rr2(r1)21,當(dāng)r1時,(S扇形)max1,此時|2.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例:(1)函數(shù)y 的定義域為_(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動當(dāng)圓滾動到圓心位于C(2,1)時,的坐標(biāo)為_思維點撥(1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x,利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍(2)點P轉(zhuǎn)動的弧長是本題的關(guān)鍵,可在圖中作三角形,尋找P點坐標(biāo)和三角形邊長的關(guān)系解析(1)sin x,作直線y交單位圓于A、B兩點,連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍,故滿足條件的角的集合為x|2kx2k,kZ(2)如圖所示,過圓心C作x軸的垂線,垂足為A,過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點B.因為圓心移動的距離為2,所以劣弧2,即圓心角PCA2,則PCB2,所以PBsin(2)cos 2,CBcos(2)sin 2,所以xP2CB2sin 2,yP1PB1cos 2,所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)2k,2k, kZ(2)(2sin 2,1cos 2)溫馨提醒(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況,然后觀察適合條件的角的位置;(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程中角的變化,結(jié)合弧長公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系.方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時,點P可取終邊上任一點,如有可能則取終邊與單位圓的交點OPr一定是正值2三角函數(shù)符號是重點,也是難點,在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦3在解簡單的三角不等式時,利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別:象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角第一類是象限角,第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化,在同一個式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:40分鐘)1角的終邊過點P(1,2),則sin _.答案解析由三角函數(shù)的定義,得sin .2若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長,則其圓心角(0,)的弧度數(shù)為_答案解析設(shè)圓半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長為r,所以r·r,.3已知角x的終邊上一點的坐標(biāo)為(sin,cos),則角x的最小正值為_答案解析因為sin xcos,cos xsin,所以x2k(kZ),故當(dāng)k1時,x,即角x的最小正值為.4若是第三象限角,則y的值為_答案0解析是第三象限角,2k<<2k(kZ),k<<k(kZ),角在第二象限或第四象限當(dāng)在第二象限時,y0,當(dāng)在第四象限時,y0,綜上,y0.5已知角的終邊與480°角的終邊關(guān)于x軸對稱,點P(x,y)在角的終邊上(不是原點),則的值等于_答案解析由題意知角的終邊與240°角的終邊相同,又P(x,y)在角的終邊上,tan tan 240°,于是.6設(shè)為第二象限角,其終邊上一點為P(m,),且cos m,則sin 的值為_答案解析設(shè)P(m,)到原點O的距離為r,則cos m,r2,sin .7如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標(biāo)為,則cos _.答案解析由題意及圖,易知A點的橫坐標(biāo)為,所以cos .8函數(shù)y 的定義域是_答案(kZ)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k,kZ.9已知角的終邊經(jīng)過點P(,m) (m0)且sin m,試判斷角所在的象限,并求cos 和tan 的值解由題意,得r,所以sin m.因為m0,所以m±,故角是第二或第三象限角當(dāng)m時,r2,點P的坐標(biāo)為(,),角是第二象限角,所以cos ,tan ;當(dāng)m時,r2,點P的坐標(biāo)為(,),角是第三象限角,所以cos ,tan .10已知扇形的圓心角是,半徑為R,弧長為l.(1)若60°,R10 cm,求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時,這個扇形的面積最大?(3)若,R2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積解(1)60°,l10×(cm)(2)由已知得,l2R20,所以SlR(202R)R10RR2(R5)225,所以當(dāng)R5時,S取得最大值25,此時l10,2.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm,S弓S扇形S三角形××22×22×sin()(cm2)B組專項能力提升(時間:20分鐘)1若一扇形的圓心角為72°,半徑為20 cm,則扇形的面積為_cm2.答案80解析72°,S扇形r2××20280(cm2)2已知角2k(kZ),若角與角的終邊相同,則y的值為_答案1解析由2k(kZ)及終邊相同的概念知,角的終邊在第四象限,又角與角的終邊相同,所以角是第四象限角,所以sin <0,cos >0,tan <0.所以y1111.3在直角坐標(biāo)系中,O是原點,A點坐標(biāo)為(,1),將OA繞O逆時針旋轉(zhuǎn)450°到B點,則B點的坐標(biāo)為_答案(1,)解析設(shè)B(x,y),由題意知OAOB2,BOx60°,且點B在第一象限,x2cos 60°1,y2sin 60°,B點的坐標(biāo)為(1,)4設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線,則給出的以下不等式:MP<OM<0;OM<0<MP;OM<MP<0;MP<0<OM.其中正確的是_答案解析角在第二象限,OM<0,MP>0,正確5如圖所示,動點P,Q從點A(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動,點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度,點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度,求點P,點Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標(biāo)及P,Q點各自走過的弧長解設(shè)P,Q第一次相遇時所用的時間是t,則t·t·|2.所以t4(秒),即第一次相遇的時間為4秒設(shè)第一次相遇點為C,第一次相遇時P點和Q點已運(yùn)動到終邊在·4的位置,則xCcos·42,yCsin·42.所以C點的坐標(biāo)為(2,2)P點走過的弧長為·4,Q點走過的弧長為·4.

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