2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)（教案）

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)（教案）教學(xué)重點(diǎn) 1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.解決生活實(shí)際中的等比數(shù)列的問題.教學(xué)難點(diǎn) 滲透重要的數(shù)學(xué)思想.教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標(biāo)一、知識與技能1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.能將學(xué)過的知識和思想方法運(yùn)用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實(shí)際問題的解決中;3.能在生活實(shí)際的問題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實(shí)際問題.二、過程與方法1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);2.對生活實(shí)際中的問題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法，經(jīng)歷解決問題的全過程;3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過對等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;2.通過生活實(shí)際中有關(guān)問題的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識社會、了解社會的意識，更多地知道數(shù)學(xué)的社會價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 教材中第59頁練習(xí)第3題、第4題，請學(xué)生課外進(jìn)行活動探究，現(xiàn)在請同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下.生 由學(xué)習(xí)小組匯報(bào)探究結(jié)果.師 對各組的匯報(bào)給予評價(jià).師 出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細(xì)解答：第3題解答：(1)將數(shù)列an的前k項(xiàng)去掉，剩余的數(shù)列為a k+1，a k+2,.令bi=ak+i,i=1,2,則數(shù)列a k+1,ak+2,可視為b1,b2，.因?yàn)?(i1),所以，bn是等比數(shù)列，即a k+1，ak+2,是等比數(shù)列.(2)an中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的數(shù)列是a1,a 11,a 21，,則 (k1).所以數(shù)列a1,a 11,a21,是以a1為首項(xiàng)，q10為公比的等比數(shù)列.猜想：在數(shù)列an中每隔m(m是一個(gè)正整數(shù))取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是以a1為首項(xiàng)、qm為公比的等比數(shù)列.本題可以讓學(xué)生認(rèn)識到，等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列，可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法.第4題解答：(1)設(shè)an的公比是q，則a52=(a1q4)2=a12q8,而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9.(2)用上面的方法不難證明an2=a n-1·a n+1(n1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中項(xiàng)，同理可證an2=a n-k·an+k(nk0).an是an-k和an+k的等比中項(xiàng)(nk0).師 和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多的性質(zhì)，如果我們想知道的更多，就要對它作進(jìn)一步的探究.推進(jìn)新課合作探究師 出示投影膠片1例題1(教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列an，計(jì)算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個(gè)問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？師 注意題目中“就任一等差數(shù)列an”，你打算用一個(gè)什么樣的等差數(shù)列來計(jì)算？生 用等差數(shù)列1，2，3，師 很好，這個(gè)數(shù)列最便于計(jì)算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？生 在等差數(shù)列an中，若k+s=p+q(k,s,p,qN *)，則ak+as=ap+aq.師 題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個(gè)問題”，如何做？生 思考、討論、交流.師 出示多媒體課件一：等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.教師精講師 從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個(gè)問題：由等差數(shù)列an的圖象，可以看出,根據(jù)等式的性質(zhì)，有.所以ak+as=ap+aq.師 在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？生 猜想對于等比數(shù)列an，類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,tN*)，則ak·as=ap·at.師 讓學(xué)生給出上述猜想的證明.證明：設(shè)等比數(shù)列an公比為q，則有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.因?yàn)閗+s=p+t,所以有ak·as=ap·at.師 指出：經(jīng)過上述猜想和證明的過程，已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個(gè)新的性質(zhì).即等比數(shù)列an中，若k+s=p+t(k,s,p,tN*)，則有ak·as=ap·at.師 下面有兩個(gè)結(jié)論：(1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積；(2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方.你能將這兩個(gè)結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎？生 思考、列式、合作交流，得到：結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時(shí)的情形；結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時(shí)的情形.師 引導(dǎo)學(xué)生思考，得出上述聯(lián)系，并給予肯定的評價(jià).師 上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.師 出示投影膠片2：例題2例題2（1）在等比數(shù)列an中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;（2）在等比數(shù)列bn中，b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；（3）在等比數(shù)列an中，a2=-2,a5=54,求a8.例題2三個(gè)小題由師生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程.解答：(1)在等比數(shù)列an中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.解：a1a 18=a9a 10，a 18= =20.(2)在等比數(shù)列bn中，b4=3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b42=b1b7=b2b6=b3b5，前七項(xiàng)之積(32)3×3=37=2 187.(3)在等比數(shù)列an中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，542=a8×(-2).a8=-1 458.另解：a8=a5q3=a5·=-1 458.合作探究師 判斷一個(gè)數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法：1、定義法；2、中項(xiàng)法；3、通項(xiàng)公式法.例題3：已知anbn是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論.anbnan·bn判斷an·bn是否是等比數(shù)列例-5×2n-1是自選1自選2師 請同學(xué)們自己完成上面的表.師 根據(jù)這個(gè)表格，我們可以得到什么樣的結(jié)論？如何證明？生 得到：如果an、bn是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么an·bn也是等比數(shù)列.證明如下：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列an·bn的第n項(xiàng)與第n1項(xiàng)分別為a1p n-1b1qn-1與a1pnb1qn，因?yàn)?它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以an·bn是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列.教師精講除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列an·bn的第n項(xiàng)、第n-1項(xiàng)與第n1項(xiàng)(n1,nN *)分別為a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2與a1pnb1qn，因?yàn)?anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n1,nN *),所以an·bn是一個(gè)等比數(shù)列.師 根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識，我們還可以直接對數(shù)列的通項(xiàng)公式考察：證法三：設(shè)數(shù)列an的公比是p，bn公比是q，那么數(shù)列an·bn的通項(xiàng)公式為anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq) n-1,所以an·bn是一個(gè)等比數(shù)列.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究.2.證明等比數(shù)列的常用方法.布置作業(yè)課本第60頁習(xí)題2.4 A組第3題、B組第1題.板書設(shè)計(jì)等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用例1例2例3