2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計與概率教學(xué)案

2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計與概率教學(xué)案考綱指要：“統(tǒng)計”是在初中“統(tǒng)計初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會用樣本的頻率分布估計總體的分布，并會用樣本的特征來估計總體的分布。熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。統(tǒng)計案例主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨立性檢驗的基本思想和初步應(yīng)用。 對概率考察的重點為互斥事件、古典概型的概率事件的計算為主，了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義?？键c掃描：1三種常用抽樣方法：(1)簡單隨機(jī)抽樣；（2）系統(tǒng)抽樣；（3）分層抽樣。2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征： （1）眾數(shù)、中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差。3頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖。4線性回歸：回歸直線方程。5統(tǒng)計案例：相關(guān)系數(shù)、卡方檢驗，6隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的概念，離散性隨機(jī)變量的分布列，相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗公式，隨機(jī)變量的均值和方差，幾種特殊的分布列：（1）兩點分布；（2）超幾何分布；（3）二項分布；正態(tài)分布。7隨機(jī)事件的概念、概率；事件間的關(guān)系：（1）互斥事件；（2）對立事件；（3）包含；事件間的運(yùn)算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（積事件）8古典概型：古典概型的兩大特點；古典概型的概率計算公式。9幾何概型：幾何概型的概念；幾何概型的概率公式；幾種常見的幾何概型。考題先知：例1為了科學(xué)地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為：（其中x是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，是該次考試的平均分，s是該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差，Z稱為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分）.轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此，又常常再將Z分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù). 例如某次學(xué)業(yè)選拔考試采用的是T分?jǐn)?shù)，線性變換公式是：T=40Z+60. 已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T分?jǐn)?shù)為 .分析：正確理解題意，計算所求分?jǐn)?shù)。解：。點評：本題如改編為：已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25，而該考生的T分?jǐn)?shù)為84，求T分?jǐn)?shù)的線性變換公式。例2隨機(jī)拋擲一個骰子，求所得點數(shù)的數(shù)學(xué)期望。123456P解：拋骰子所得點數(shù)的概率分布為 變式1 設(shè)n把外形完全相同的鑰匙，其中只有1把能打開大門，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，若抽取鑰匙是相對獨立且等可能，每把鑰匙開后都不放回，試求開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。分析： 求時，由題意知前次沒有打開，恰好第次打開，取發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再推廣到一般。的可能取值為12knP的分布列為由公式可算得方差變式2 有一幢樓房共19層，現(xiàn)若選擇其中某一層作為會議室，開會時每層去1 人，則會議室設(shè)在第幾層時，可使每人所走過的路程最短（每層樓高度相同）？分析： 大部分的讀者拿到該題首先想到利用等差數(shù)列的前項和公式建立路程與之間的關(guān)系，然后求最值，這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設(shè)在哪一層是隨機(jī)的，而設(shè)在任一層樓的概率都為，這樣，與上面兩個問題完全相同，所以我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。由題意得會議室所在的樓層的分布列如下：1219P于是，會議室設(shè)在第10層為所求。為什么就是我們所求解問題的最小值呢？請看命題：對于任何實數(shù)c，若則。（是樣本方差，為樣本平均數(shù)，即）證明：當(dāng)時取得最小值。而數(shù)學(xué)期望就是概率意義上的平均數(shù)，所以，利用離散隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望可解決上述問題的最值問題。若把19改為，則可進(jìn)一步引申出更為一般的結(jié)論：當(dāng)為奇數(shù)時，會議室應(yīng)設(shè)在層；當(dāng)為偶數(shù)時，會議可設(shè)在或?qū)又械娜魏我粚泳鶟M足題設(shè)要求。變式3 數(shù)軸上有個定點，其中對應(yīng)的坐標(biāo)分別為為數(shù)軸上動點，坐標(biāo)為，求函數(shù)的最小值。分析： 該題的常用解決法是利用數(shù)形結(jié)合分類討論。但我們也這樣思考：動點P在x軸上運(yùn)動時，落在哪個位置是隨機(jī)的，盡管問題是個連續(xù)型隨機(jī)變量，但所求函數(shù)的最值仍可用上述方法求得。P點停在處，的概率分布為12nP當(dāng)為奇數(shù)，在點時，的值最?。划?dāng)為偶數(shù)，中任一點時，的值最小。復(fù)習(xí)智略：例3甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球的箱子，乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由。 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有36(種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則，所以甲獲勝的概率小于乙甲獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平；變化一:如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個同色球，仍規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，則他勝的概率能達(dá)到嗎？解析:不妨設(shè)甲在自己的箱子中又放了x個紅球，則他取勝的概率為，同理甲在自己的箱子中又放了x個白球或黃球時，也不能達(dá)到，所以他獲勝的概率仍不能達(dá)到，這個游戲規(guī)則不公平； 變化二: 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個任意球，仍規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，則他勝的概率能達(dá)到嗎？解析:不妨設(shè)甲在自己的箱子中又放了x個紅球，、y個白球、z個黃球，則他取勝的概率為，因為，所以他獲勝的概率仍不能達(dá)到，這個游戲規(guī)則不公平；變化三: 甲有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，乙也有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝這個游戲規(guī)則公平嗎？ 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有(a+b+c)2 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則，不妨設(shè)（）當(dāng)時，則所以甲獲勝的概率不能達(dá)到，這個游戲規(guī)則不公平；（2）當(dāng)時，設(shè)，則，若，則，所以甲獲勝的概率恰為，這個游戲規(guī)則是公平的；若，則，這個游戲規(guī)則也不公平；若，則，這個游戲規(guī)則也不公平；變化四: 甲有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，乙有一個放有x個紅球、y個白球、z個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝這個游戲規(guī)則公平嗎？解析:由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色分別有和 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則，當(dāng)時, 這個游戲規(guī)則是公平的,否則,是不公平的.變化五:在原問題中,如果甲可調(diào)整自己箱子中的球的顏色，但必須確保總球數(shù)仍為6個，由由甲能否達(dá)到游戲規(guī)則公平的目的?解析：設(shè)甲將自己箱子中的球調(diào)整為x個紅球、y個白球、z個黃球,且x+y+z=6，yxO C(6,0)則，令，則x、y滿足約束條件，作出如圖可行域，由可知當(dāng)x=6、y=0時，u有最大值12，此時P（A）有最大值,所以甲能達(dá)到游戲規(guī)則公平的目的。檢測評估：1對滿足A B的非空集合A、B有下列四個命題 若任取，則是必然事件；若，則是不可能事件； 若任取，則是隨機(jī)事件；若，則是必然事件 其中正確命題的個數(shù)（ ） A4個B3個C2個D1個2 在網(wǎng)絡(luò)游戲變形中，主人公每過一關(guān)都以的概率變形（即從“大象”變?yōu)椤袄鲜蟆被驈摹袄鲜蟆弊優(yōu)椤按笙蟆保?，若將主人公過n關(guān)不變形的概率計為Pn，則AP5>P4 BP8<P7 CP11<P12 DP15>P16 3. 已知隨機(jī)變量，若，則分別是A. 6和2.4B. 2和2.4C. 2和5.6 D. 6和5.64.某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為。則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 （ ）A分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法C系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法5.xx年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈者數(shù)據(jù)，及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點圖:日期5.15.25.35.45.55.6人數(shù)100109115118121134日期5.75.85.95.105.115.12人數(shù)141152168175186203下列說法：根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；若日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r與臨界值r0.05應(yīng)滿足|r|> r0.05；根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系，其中正確的個數(shù)為 ( )A、0個 B、1個 C、2個 D、3個 6已知約束條件 的可行域為D, 將一枚骰子連投兩次，設(shè)第一次得到的點數(shù)為x，第二次得到的點數(shù)為y，則點(x, y)落在可行域D內(nèi)的概率為_.7.已知A箱內(nèi)有1個紅球和5個白球，B箱內(nèi)有3個白球，現(xiàn)隨意從A箱中取出3個球放入B箱，充分?jǐn)噭蚝笤購闹须S意取出3個球放人4箱，共有_種不同的取法，又紅球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于_.8兩個相互獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是 9設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0 2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作 若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。則一周內(nèi)期望利潤是 。10.若隨機(jī)事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為P（），用隨機(jī)變量表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則方差的最大值是 ，的最大值是 。11.有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組成.第一排明文字符ABCD密碼字符11121314第二排明文字符EFGH密碼字符21222324第三排明文字符MNPQ密碼字符1234 設(shè)隨機(jī)變量表示密碼中不同數(shù)字的個數(shù). （）求P（=2） （）求隨機(jī)變量的分布列和它的數(shù)學(xué)期望.12有一個翻硬幣游戲，開始時硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列、的規(guī)則翻動硬幣： 骰子出現(xiàn)1點時，不翻動硬幣； 出現(xiàn)2，3，4，5點時，翻動一下硬幣，使另一面朝上； 出現(xiàn)6點時，如果硬幣正面朝上，則不翻動硬幣；否則，翻動硬幣，使正面朝上. 按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為Pn.（）求證：，點（Pn ，Pn+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上；（）求數(shù)列Pn的通項公式Pn；（）用記號表示數(shù)列從第n項到第m項之和，那么對于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列， 的前n項和Tn.點撥與全解：1.解：因有空集與非空集兩種情形，所以，命題錯誤，故選B。2.解:由題（，即（，以n1代n，得，所以（而，所以（）所以所以偶數(shù)項比它相鄰項大，所以答案為C3根據(jù)正態(tài)分布知：選B4.選B。5因說法正確，所以選C。6在可行域D中坐標(biāo)為正整數(shù)的點有（1，1），（1，2），所以所求概率為。7.從A箱中取出3個球有=20種取法，再從B箱中取出3個球有=20種取法，故共有20×20=400種不同的取法.紅球由A箱中取出的概率為，再從B箱中取回紅球的概率為.則紅球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(A·B)=P(A)·p(B)=0.25.8解：由條件得，解之得： 。9 解 以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則XB(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2k0.85k,k=0,1,2,3,4,5 以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則Y=g(X)=Y的概率分布為 P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328P(Y=5)=P(X=1)=C0.2·0.84=0.410P(Y=0)=P(X=2)=C·0.22·0.83=0.205P(Y=2)=P(X3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=0.057故一周內(nèi)的期望利潤為 EY=10×0.328+5×0.410+0×0.2052×0.057=5.216(萬元)10.解：，的最大值是；，的最大值是。11解：（）密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個數(shù)字，注意到密碼的第1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數(shù)字作為密碼. （）由題意可知，的取值為2，3，4三種情形. 若= 3，注意表格的第一排總含有數(shù)字1，第二排總含有數(shù)字2則密碼中只可能取數(shù)字1，2，3或1，2，4. 若 （或用求得）. 的分布列為：234p 12解：（）設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為Pn+1，此時有兩種情況： 第n次硬幣正面朝上，其概率為Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點或6點，硬幣不動，其概率為；因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為. 第n次硬幣反面朝上，其概率為1-Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點或6點，其概率為； 因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為.，變形得 .點（Pn ，Pn+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上. （），又由（）知：，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故所求通項公式為. （）解法一：由（）知是首項為，公比為的等比數(shù)列，又（）是常數(shù)，也成等比數(shù)列， 且從而 .解法二：+ .