高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2

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1、高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．(xx·安徽理，1)設(shè)i是虛數(shù)單位， 表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z＝1＋i，則＋i·＝(　　) A．－2　　　　　　　 　 B．－2i C．2 D．2i [答案]　C [解析]　本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算． z＝1＋i，∴＝1－i，∴＋i·＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2. 2．(xx·吉林白山一中高二期末)若復(fù)數(shù)1＋i、－2＋i、3－2i在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，B

2、C的中點(diǎn)D，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A.－i B．＋i C．－＋i D．－－i [答案]　D [解析]　A(1,1)，B(－2,1)，C(3，－2)， ∴D(，－)， ∴＝(－，－)． 對應(yīng)復(fù)數(shù)為－－i. 3．設(shè)z是復(fù)數(shù)，a(z)表示滿足zn＝1的最小正整數(shù)n，則對虛數(shù)單位i，a(i)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 [答案]　C [解析]　考查閱讀理解能力和復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算． ∵a(z)表示使zn＝1的最小正整數(shù)n. 又使in＝1成立的最小正整數(shù)n＝4，∴a(i)＝4.故選C. 4．已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z等于(　　) A．2i B．i　　

3、　 C．－i D．－2i [答案]　D [解析]　本小題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算． 設(shè)z＝bi(b∈R)，則＝＝＋i， ∴＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i.故選D. 5．已知a、b∈R，且為實(shí)數(shù)，則a·b等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．1 [答案]　A [解析]　∵＝ ＝為實(shí)數(shù)，∴1＋ab＝0， ∴a·b＝－1.故選A. 6．(xx·天津理，1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝(　　) A．1－i B．－1＋i C.＋i D．－＋i [答案]　A [解析]　本題考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算． 原式＝＝＝1－i，故選A. 7．若1＋x＋x2＝0，則1＋x＋x2

4、＋…＋x100等于(　　) A．0 B．1 C．－±i D．±i [答案]　D [解析]　由1＋x＋x2＝0得x＝－±i. 由ω的性質(zhì)得1＋x＋x2＋…＋x100＝x99＋x100＝x99(1＋x) ＝1＋x＝±i.故選D. 8．若i是虛數(shù)單位，且滿足(p＋qi)2＝q＋pi的實(shí)數(shù)p、q一共有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 [答案]　D [解析]　由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以，解得或或 或.因此滿足條件的實(shí)數(shù)p、q一共有4對．故選D. 9．(xx·遼寧理，2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　

5、) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i [答案]　A [解析]　考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算． z－2i＝＝2＋i， ∴z＝2＋3i. 10．當(dāng)m∈R時(shí)，方程(1－i)x2＋mx－(1＋i)＝0有(　　) A．兩不等實(shí)根 B．一對共軛虛根 C．兩非共軛虛根 D．一個(gè)實(shí)根和一個(gè)虛根 [答案]　C [解析]　令m＝0，則x2＝＝i， ∴x＝＋i或x＝－－i排除A、B、D. [說明]　虛系數(shù)一元二次方程不能用判別式，本題中Δ＝m2＋4(1＋i)(1－i)＝m2＋8>0，但不能因此說此方程有兩不等實(shí)根．故選C. 11．設(shè)向量、分別對應(yīng)非零復(fù)數(shù)z1、z2，若⊥，則是(

6、　　) A．非負(fù)數(shù) B．純虛數(shù) C．正實(shí)數(shù) D．不確定 [答案]　B [解析]　∵⊥，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，則有ac＋bd＝0. ∴＝＝＝i.故選B. 12．設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－1)＋i，z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)(　　) A．一定不在一、二象限 B．一定不在二、三象限 C．一定不在三、四象限 D．一定不在二、三、四象限 [答案]　C [解析]　∵， ∴m＜－1，此時(shí)lg(m2－1)可正、可負(fù)，＞，故選C. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上) 13．已知x＋＝－1，則xxx＋的值為________． [答案]　

7、－1 [解析]　∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0. ∴x＝－±i，∴x3＝1. xx＝3×670＋2，xxx＝x3×670＋2＝x2， ∴xxx＋＝x2＋＝2－2 ＝(－1)2－2＝－1. 14．(xx·江蘇，2)已知復(fù)數(shù)z＝(5－2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________． [答案]　21 [解析]　本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念． 由題意z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其實(shí)部為21. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi的實(shí)部為a，虛部為b. 15．復(fù)數(shù)z與(z＋2)2－8i均為純虛數(shù)，則z＝________. [答案]?。?i [解析]

8、　設(shè)z＝mi(m≠0)，則 (z＋2)2－8i＝(4－m2)＋(4m－8)i是純虛數(shù)， ∴，∴m＝－2. 16．若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)＝________. [答案]　i [解析]　本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算． ∵z(1＋i)＝1－i，∴z＝＝＝－i， ∴＝i. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)虛數(shù)z滿足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z. [解析]　設(shè)z＝x＋yi (x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1. 則z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋

9、yi)＋ ＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i. ∵y≠0，z2＋2z＋<0， ∴ 又x2＋y2＝1.　　　　 　 ③ 由①②③得 .　∴z＝－±i. 18．(本題滿分12分)已知z＝，其中i為虛數(shù)單位，a>0，復(fù)數(shù)ω＝z(z＋i)的虛部減去它的實(shí)部所得的差等于，求復(fù)數(shù)ω的模． [解析]　∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得 ω＝(＋i)＝ ＝＝ ＝＋i， ∴ω的實(shí)部為，虛部為， 由已知得－＝， 解得a2＝4，∴a＝±2. 又a>0，故a＝2. |ω|＝|＋i|＝|＋i| ＝|＋3i|＝. 19．(本題滿分12分)(x

10、x·鄭州網(wǎng)校期中聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：①實(shí)數(shù)；②純虛數(shù)； (2)當(dāng)m＝0時(shí)，化簡. [解析]　(1)①當(dāng)m2－3m＋2＝0時(shí)，即m＝1或m＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)． ②若z為純虛數(shù)，則 解得∴m＝－. 即m＝－時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)． (2)當(dāng)m＝0時(shí)，z＝－2＋2i， ＝＝＝－－i. 20．(本題滿分12分)(xx·洛陽市高二期中)(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z； (2)已知復(fù)數(shù)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值． [解析]　(1)設(shè)z

11、＝a＋bi(a、b∈R)， 由題意得 解得a＝，b＝±. ∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴b＝－. ∴z＝－i. (2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依題意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2. ∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3. ∴m＝－2. 21．(本題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝ ，ω＝z＋ai(a∈R)，當(dāng)||≤時(shí)，求a的取值范圍． [解析]　∵z＝＝＝1－i， ∴|z|＝.又＝≤，∴|ω|≤2. 而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)， 則≤2?(a－1)2≤3， ∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋. 22．(本題滿分14分)設(shè)虛數(shù)z滿足|2z＋15|＝|＋10|. (1)求|z|； (2)若＋是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值． [解析]　(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)， |2x＋2yi＋15|＝|x－yi＋10|， ∴|z|＝＝5. (2)＋＝＋ ＝＋i. ∵＋為實(shí)數(shù)，∴－＝0. ∵y≠0，∴－＝0， ∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5.