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2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版

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2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版

第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、知識梳理1根式(1)根式的概念若xna,則x叫做a的n次方根,其中n>1且nN.式子叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)a的n次方根的表示:xna(2)根式的性質(zhì)()na(nN.,且n>1);2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關概念正分數(shù)指數(shù)冪:a(a>0,m,nN.,且n>1);負分數(shù)指數(shù)冪:a(a>0,m,nN.,且n>1);0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)arasars(a>0,r,sQ);(ar)sars(a>0,r,sQ);(ab)rarbr(a>0,b>0,rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yax (a>0且a1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0,)性質(zhì)過定點(0,1)當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)常用結論1指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0,且a1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)yax(a>0,a1)的圖象越高,底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a>0,且a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關,要特別注意應分a>1與0<a<1來研究二、教材衍化1化簡(x<0,y<0)_解析:因為x<0,y<0,所以4(16x8·y4)(16)·(x8)·(y4)2x2|y|2x2y.答案:2x2y2函數(shù)y2x與y2x的圖象關于_對稱解析:作出y2x與y2x的圖象(圖略),觀察可知其關于y軸對稱答案:y軸3已知函數(shù)f(x)ax22(a>0且a1)的圖象恒過定點A,則A的坐標為_解析:令x20,則x2,f(2)3,即A的坐標為(2,3)答案:(2,3)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax是R上的增函數(shù)()(4)函數(shù)yax21(a>1)的值域是(0,)()(5)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(6)若am<an(a>0,且a1),則m<n.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易錯糾偏(1)忽略n的范圍導致式子(aR)化簡出錯;(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯;(3)指數(shù)函數(shù)問題時刻注意底數(shù)的兩種情況;(4)復合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯1計算_解析:(1)(1)2.答案:22若函數(shù)f(x)(a23)·ax為指數(shù)函數(shù),則a_解析:由題意知即a2.答案:23若函數(shù)f(x)ax在1,1上的最大值為2,則a_解析:當a>1時,a2;當0<a<1時a12,即a.答案:2或4函數(shù)y2的值域為_解析:因為0,所以2>0且21.答案:(0,1)(1,)指數(shù)冪的化簡與求值(自主練透)1化簡·(a>0,b>0)_解析:原式2×213×101.答案:2計算:0.00210(2)10_解析:原式50011010201.答案:3化簡:÷×_(a>0)解析:原式÷×a(a2b)××a2.答案:a2指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先算指數(shù)運算(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù)(4)若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答提醒運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù),形式力求統(tǒng)一 指數(shù)函數(shù)的圖象及應用(典例遷移) (1)函數(shù)f(x)21x的大致圖象為()(2)若函數(shù)y|3x1|在(,k上遞減,則k的取值范圍為_【解析】(1)函數(shù)f(x)21x2×,遞減且過點(0,2),選項A中的圖象符合要求(2)函數(shù)y|3x1|的圖象是由函數(shù)y3x的圖象向下平移一個單位后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數(shù)圖象如圖所示由圖象知,其在(,0上遞減,所以k的取值范圍為(,0【答案】(1)A(2)(,0【遷移探究1】(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)|3x1|k有一個零點,則k的取值范圍為_解析:函數(shù)f(x)有一個零點,即y|3x1|與yk有一個交點由本例(2)得y|3x1|的圖象如圖所示,故當k0或k1時,直線yk與函數(shù)y|3x1|的圖象有唯一的交點,所以函數(shù)f(x)有一個零點答案:01,)【遷移探究2】(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y|3x1|m的圖象不經(jīng)過第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是_解析:作出函數(shù)y|3x1|m的圖象如圖所示由圖象知m1,即m(,1答案:(,1應用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0,且a1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這些點,若不滿足則排除(3)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論(4)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解 1.函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結論正確的是()Aa>1,b<0Ba>1,b>0C0<a<1,b>0 D0<a<1,b<0解析:選D.由f(x)axb的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎上向左平移得到的,所以b<0.2若關于x的方程|ax1|2a(a0,且a1)有兩個不等實根,則a的取值范圍是_解析:方程|ax1|2a(a0,且a1)有兩個不等實根轉化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個交點(1)當0a1時,如圖,所以02a1,即0a;(2)當a1時,如圖,而y2a1不符合要求所以0a.答案:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用(多維探究)角度一指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用 (1)已知a2,b4,c25,則()Ab<a<c Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b(2)若f(x)exaex為奇函數(shù),則滿足f(x1)e2的x的取值范圍是()A(2,) B(1,)C(2,) D(3,)【解析】(1)因為a2,b42,由函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)知,b<a;又因為a24,c255由函數(shù)yx在(0,)上為增函數(shù)知,a<c.綜上得b<a<c.故選A.(2)由f(x)exaex為奇函數(shù),得f(x)f(x),即exaexaexex,得a1,所以f(x)exex,則f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(x1)e2f(2),所以x12,解得x1,故選B.【答案】(1)A(2)B角度二指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)f(x)的減區(qū)間為_(2)已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間2,)上是增函數(shù),則m的取值范圍是_【解析】(1)設ux22x1,因為y在R上為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(,1,所以f(x)的減區(qū)間為(,1(2)令t|2xm|,則t|2xm|在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減而y2t為R上的增函數(shù),所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2,)上單調(diào)遞增,則有2,即m4,所以m的取值范圍是(,4【答案】(1)(,1(2)(,4角度三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)有最大值3,求a的值;(2)若f(x)的值域是(0,),求a的值【解】(1)令g(x)ax24x3,f(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)應有最小值1,因此必有解得a1,即當f(x)有最大值3時,a的值等于1.(2)令g(x)ax24x3,f(x),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,要使y的值域為(0,)應使g(x)ax24x3的值域為R,因此只能a0.(因為若a0,則g(x)為二次函數(shù),其值域不可能為R)故f(x)的值域為(0,)時,a的值為0. (1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解不等式,最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題,要明確復合函數(shù)的構成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷 1設a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,則a,b,c的大小關系是()AabcBacbCbac Dbca解析:選C.因為指數(shù)函數(shù)y0.6x在(,)上為減函數(shù),所以0.60.60.61.5,即ab,又00.60.61,1.50.61,所以ac,故選C.2若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x4(x0),則不等式f(x2)>0的解集為_解析:因為f(x)為偶函數(shù),當x<0時,x>0,則f(x)f(x)2x4.所以f(x)當f(x2)>0時,有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集為x|x>4或x<0答案:x|x>4或x<03已知函數(shù)f(x)(a>0且a1)(1)求f(x)的定義域和值域;(2)討論f(x)的奇偶性;(3)討論f(x)的單調(diào)性解:(1)f(x)的定義域是R,令y,得ax,因為1在定義域內(nèi)恒成立,所以y1.因為ax>0,所以>0,解得1<y<1,所以f(x)的值域為(1,1)(2)因為f(x)f(x),所以f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)1.設x1,x2是R上任意兩個實數(shù),且x1<x2,則f(x1)f(x2).因為x1<x2,所以當a>1時,a x2>ax1>0,從而ax11>0,a x21>0,ax1a x2<0,所以f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)為R上的增函數(shù);當0<a<1時,ax1>a x2>0,從而ax11>0,a x21>0,ax1a x2>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)為R上的減函數(shù) 基礎題組練1函數(shù)f(x)1e|x|的圖象大致是()解析:選A.將函數(shù)解析式與圖象對比分析,因為函數(shù)f(x)1e|x|是偶函數(shù),且值域是(,0,只有A滿足上述兩個性質(zhì)2(2019·高考全國卷)已知alog20.2,b20.2,c0.20.3,則()Aa<b<cBa<c<bCc<a<b Db<c<a解析:選B.因為alog20.2<0,b20.2>1,c0.20.3(0,1),所以a<c<b.故選B.3(2020·安徽皖江名校模擬)若eabeba,則有()Aab0 Bab0Cab0 Dab0解析:選D.令f(x)exx,則f(x)在R上是增加的,因為eabeba,所以eaaebb,則f(a)f(b),所以ab,即ab0.故選D.4已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)是()A偶函數(shù),在0,)上是增加的B偶函數(shù),在0,)上是減少的C奇函數(shù),且是增加的D奇函數(shù),且是減少的解析:選C.易知f(0)0,當x>0時,f(x)12x,f(x)2x1,此時x<0,則f(x)2x1f(x);當x<0時,f(x)2x1,f(x)12x,此時x>0,則f(x)12(x)12xf(x)即函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且單調(diào)遞增,故選C.5設x>0,且1<bx<ax,則()A0<b<a<1 B0<a<b<1C1<b<a D1<a<b解析:選C.因為1<bx,所以b0<bx,因為x>0,所以b>1,因為bx<ax,所以>1,因為x>0,所以>1,所以a>b,所以1<b<a.故選C.6函數(shù)yaxb(a>0,且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,則ab的取值范圍是_解析:因為函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,所以函數(shù)yaxb遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上令x0,則ya0b1b,由題意得解得故ab(0,1)答案:(0,1)7不等式<恒成立,則a的取值范圍是_解析:由題意,y是減函數(shù),因為<恒成立,所以x2ax>2xa2恒成立,所以x2(a2)xa2>0恒成立,所以(a2)24(a2)<0,即(a2)(a24)<0,即(a2)(a2)<0,故有2<a<2,即a的取值范圍是(2,2)答案:(2,2)8已知實數(shù)a,b滿足等式,下列五個關系式:0ba;ab0;0ab;ba0;ab.其中可能成立的關系式有_(填序號)解析:函數(shù)y1與y2的圖象如圖所示由得,ab0或0ba或ab0.故可能成立,不可能成立答案:9設f(x).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性解:(1)根據(jù)題意,f(x),則f(x)f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)(2)因為f(x)x,所以f(x)11,因為x0,所以2x12,所以1,所以10,所以f(x)0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上是減少的10已知函數(shù)f(x)2a·4x2x1.(1)當a1時,求函數(shù)f(x)在x3,0上的值域;(2)若關于x的方程f(x)0有解,求a的取值范圍解:(1)當a1時,f(x)2·4x2x12(2x)22x1,令t2x,x3,0,則t.故y2t2t12,t,故值域為.(2)關于x的方程2a(2x)22x10有解,設2xm>0,等價于方程2am2m10在(0,)上有解,記g(m)2am2m1,當a0時,解為m1<0,不成立當a<0時,開口向下,對稱軸m<0,過點(0,1),不成立當a>0時,開口向上,對稱軸m>0,過點(0,1),必有一個根為正,綜上得a>0.綜合題組練1已知0<b<a<1,則在ab,ba,aa,bb中最大的是()Aba BaaCab Dbb解析:選C.因為0<b<a<1,所以yax和ybx均為減函數(shù),所以ab>aa,ba<bb,又因為yxb在(0,)上為增函數(shù),所以ab>bb,所以在ab,ba,aa,bb中最大的是ab.故選C.2已知函數(shù)f(x)|2x1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),則下列結論中,一定成立的是()Aa<0,b<0,c<0Ba<0,b0,c>0C2a<2cD2a2c<2解析:選D.作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象,如圖,因為a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),結合圖象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a<1.所以f(a)|2a1|12a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1.所以1<2c<2,所以f(c)|2c1|2c1,又因為f(a)>f(c),所以12a>2c1,所以2a2c<2,故選D.3設yf(x)在(,1上有定義,對于給定的實數(shù)K,定義fK(x)給出函數(shù)f(x)2x14x,若對于任意x(,1,恒有fK(x)f(x),則()AK的最大值為0BK的最小值為0CK的最大值為1DK的最小值為1解析:選D.根據(jù)題意可知,對于任意x(,1,若恒有fK(x)f(x),則f(x)K在x1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可令2xt,則t(0,2,f(t)t22t(t1)21,可得f(t)的最大值為1,所以K1,故選D.4設a>0,且a1,函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14,則實數(shù)a的值為_解析:令tax(a>0,且a1),則原函數(shù)化為yf(t)(t1)22(t>0)當0<a<1,x1,1時,tax,此時f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf214.所以16,解得a(舍去)或a.當a>1時,x1,1,tax,此時f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214,解得a3或a5(舍去)綜上得a或3.答案:或35已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a,b的值;(2)若對任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立,求k的取值范圍解:(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)0,即0,解得b1,所以f(x).又由f(1)f(1)知,解得a2.(2)由(1)知f(x),由上式易知f(x)在R上為減函數(shù),又因為f(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等價于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因為f(x)是R上的減函數(shù),由上式推得t22t>2t2k.即對一切tR有3t22tk>0,從而412k<0,解得k<.故k的取值范圍為.17

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本文(2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版)為本站會員(彩***)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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