2022年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用知能基礎測試 新人教B版選修2-2

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1、2022年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用知能基礎測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．曲線y＝x2－2x在點 處的切線的傾斜角為(　　) A．－1　 B．45°　 C．－45°　 D．135° [答案]　D [解析]　y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此傾斜角為135°.故選D. 2．下列求導運算正確的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx [答案]　B [解析]　′＝1－，所以

2、A不正確； (3x)′＝3xln3，所以C不正確；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正確；(log2x)′＝，所以B對．故選B. 3．如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導函數(shù)y＝S′(t)的圖像大致為(　　) [答案]　A [解析]　由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個角時變化不連續(xù)，故選A. 4．已知函數(shù)f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m≥ B．m>

3、C．m≤ D．m< [答案]　A [解析]　因為函數(shù)f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.經(jīng)檢驗知x＝3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值點為f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥. 5．直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 [答案]　D [解析]　如圖所示 由解得或 ∴第一象限的交點坐標為(2,8) 由定積分的幾何意義得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4. 6．

4、已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝(　　) A．e2 B．e C. D．ln2 [答案]　B [解析]　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e. 7．(xx·會寧縣期中)曲線f(x)＝x3＋x－2的一條切線平行于直線y＝4x－1，則切點P0的坐標為(　　) A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8) [答案]　B [解析]　由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

5、 當x＝1時，y＝0；當x＝－1時，y＝－4. ∴切點P0的坐標為(1,0)或(－1，－4)． 8．函數(shù)f(x)＝x3－2x＋3的圖象在x＝1處的切線與圓x2＋y2＝8的位置關系是(　　) A．相切 B．相交且過圓心 C．相交但不過圓心 D．相離 [答案]　C [解析]　切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圓心到直線的距離為＝<2，所以直線與圓相交但不過圓心．故選C. 9．f′(x)是f(x)的導函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(　　) [答案]　D [解析]　由圖可知，當b>x>a時，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)為增函數(shù)

6、．且又由圖知f′(x)在區(qū)間[a，b]上先增大后減小，即曲線上每一點處切線的斜率先增大再減小，故選D. 10．曲線y＝ex在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(　　) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 [答案]　D [解析]　∵y′＝e， ∴在點(4，e2)處的切線方程為y＝e2x－e2， 令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2， ∴圍成三角形的面積為e2.故選D. 11．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f ′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是(　　) 　　　　　　 [答案]　D [解析]　由導函數(shù)圖象可知，當x<0

7、時，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當00，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，故選D. 12．(xx·甘肅省會寧一中高二期中)對于任意的兩個實數(shù)對(a，b)和(c，d)，規(guī)定：(a，b)＝(c，d)，當且僅當a＝c，b＝d；運算“?”為：(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；運算“⊕”為：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，設p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，則(1,2)⊕(p，q)＝(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－4) [答案]　B [解析]　由(1,2)

8、⊕(p，q)＝(5,0)得 ?， 所以(1,2)⊕(p，q)＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上) 13．經(jīng)過點(2,0)且與曲線y＝相切的直線方程為______________． [答案]　x＋y－2＝0 [解析]　設切點為，則＝－，解得x0＝1，所以切點為(1,1)，斜率為－1，直線方程為x＋y－2＝0. 14．若函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　a≥0 [解析]　f′(x)＝′＝a＋， 由題意得，a＋≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，

9、 即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0. 15．(xx·安徽理，15)設x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是________．(寫出所有正確條件的編號) ①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2. [答案]?、佗邰堍? [解析]　令f(x)＝x3＋ax＋b，求導得f′(x)＝3x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0，所以f(x)單調(diào)遞增，且至少存在一個數(shù)使f(x)<0，至少存在一個數(shù)使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一個零點，即方程x3＋ax＋b＝0僅有一根，故④⑤正確

10、；當a<0時，若a＝－3，則f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)極大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)極小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程僅有一根，則f(x)極大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2<0或者f(x)極?。絝(1)＝1－3＋b＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正確．所以使得三次方程僅有一個實根的是①③④⑤. 16．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若過點A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為________． [答

11、案]　(－3，－2) [解析]　f ′(x)＝3x2－3，設切點為P(x0，y0)，則切線方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，∵切線經(jīng)過點A(1，m)，∴m－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，∴m＝－2x＋3x－3，m′＝－6x＋6x0，∴當01時，此函數(shù)單調(diào)遞減，當x0＝0時，m＝－3，當x0＝1時，m＝－2，∴當－3

12、4分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)設f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [解析]　(1)因為f(x)＝alnx＋＋x＋1， 故f′(x)＝－＋. 由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－lnx＝＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋＝ ＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－ (因為x2＝－不在定義

13、域內(nèi)，舍去)． 當x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 18．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當x＝1時，f(x)取得極值－2. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； (3)證明：對任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立． [解析]　(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， 即－ax3－c

14、x＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d， ∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)． ∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c， 又當x＝1時，f(x)取得極值－2， ∴ 即解得 ∴f(x)＝x3－3x. (2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1， 當－11時，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)． 因此，f(x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2.

15、(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2.最小值為m＝f(1)＝－2.∴對任意x1、x2∈(－1,1)， |f(x1)－f(x2)|

16、3)dx＋ (x＋3)dx＝(－x2－3x)|＋(x2＋3x)|＝5. 20．(本題滿分12分)某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，借款的利率為4.8%.又銀行吸收的存款能全部放貸出去． (1)若存款利率為x，x∈(0,0.048)，試寫出存款量g(x)及銀行應支付給儲戶的利息h(x)與存款利率x之間的關系式； (2)存款利率定為多少時，銀行可獲得最大收益？ [解析]　(1)由題意，存款量g(x)＝kx2.銀行應支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx3. (2)設銀行可獲得收益為y，則y＝0.048kx2－kx3. ∴y′＝0

17、.096kx－3kx2. 令y′＝0，得x＝0(舍去)或x＝0.032。 當x∈(0,0.032)時，y′>0；當x∈(0.032,0.048)時，y′<0. ∴當x＝0.032時，y取得最大值． 即當存款利率為3.2%時，銀行可獲最大收益． 21．(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R. (1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值； (2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． [解析]　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)． 因f(x)在x＝3處取得極值， 所以f′(3

18、)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3. 經(jīng)檢驗知當a＝3時，x＝3為f(x)的極值點． (2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1. 當a<0時，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)． 當0≤a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 當a≥1時，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)，從而f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 綜上可知，當a≥0時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)． 22．(本題滿分14分)(xx·福

19、建理，20)已知函數(shù)f(x)＝ln (1＋x)，g(x)＝kx(k∈R)． (1)證明：當x＞0時，f(x)＜x； (2)證明：當k＜1時，存在x0＞0，使得對任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)＞g(x)． [解析]　(1)令F(x)＝f(x)－x＝ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)，則有F′(x)＝－1＝－. 當x∈(0，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減； 故當x＞0時，F(xiàn)(x)＜F(0)＝0，即當x＞0時，f(x)＜x. (2)令G(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx，x∈[0，＋∞)， 則有G′(x)＝－k＝. 當k≤0時G′(x)＞0，所以G(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， G(x)＞G(0)＝0， 故對任意正實數(shù)x0均滿足題意． 當0＜k＜1時，令G′(x)＝0，得x＝＝－1＞0. 取x0＝－1，對任意x∈(0，x0)，恒有G′(x)＞0，從而G(x)在[0，x0)上單調(diào)遞增，G(x)＞G(0)＝0，即f(x)＞g(x)．