2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教版

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教版本試卷是高三理科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能力載體.突出考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力，試題重點(diǎn)考查：集合，不等式、復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)，函數(shù)模型、數(shù)列、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、等；考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，是份較好的試卷.【題文】一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【題文】1.設(shè)集合，集合，則等于A(yíng).B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1【答案解析】C =x,=x所以=，故選C.【思路點(diǎn)撥】先求出集合A,B,再求出結(jié)果?！绢}文】2.如果命題“”為真命題，則A.均為真命題B.均為假命題C.中至少有一個(gè)為真命題D.中一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系A(chǔ)2【答案解析】B 因?yàn)闉檎婷}，則為假命題，所以均為假命題，故選B?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)邏輯連結(jié)詞求出結(jié)果。【題文】3.設(shè)，則A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】B 因?yàn)?，cos=sin>sin且小于1，所以，故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果?！绢}文】4.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)B7【答案解析】D 點(diǎn)（16，2）在函數(shù)y=logax（a0且a1）的圖象上，2=loga16，a2=16，a=4，=tan=tan=故選：D【思路點(diǎn)撥】由條件求得a的值，再利用誘導(dǎo)公式求得 的值【題文】5.設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3【答案解析】D 數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則“0q1”，當(dāng)a10時(shí)，“an為遞增數(shù)列”，又“0q1”是“an為遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列 的性質(zhì)可判斷：當(dāng)a10時(shí)，“0q1”“an為遞增數(shù)列”；an為遞減數(shù)列”，a10時(shí)，q1，根據(jù)充分必要條件的定義可以判斷答案【題文】6.給定函數(shù)，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】B ：是冪函數(shù)，其在（0，+）上即第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故此項(xiàng)不符合要求；中的函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因?yàn)樵瘮?shù)在（0，+）內(nèi)為減函數(shù)，故此項(xiàng)符合要求；中的函數(shù)圖象是由函數(shù)y=x-1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項(xiàng)符合要求；中的函數(shù)圖象為指數(shù)函數(shù)，因其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不合題意故選B【思路點(diǎn)撥】本題所給的四個(gè)函數(shù)分別是冪函數(shù)型，對(duì)數(shù)函數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型，含絕對(duì)值函數(shù)型，在解答時(shí)需要熟悉這些函數(shù)類(lèi)型的圖象和性質(zhì)； 為增函數(shù)， 為定義域上的減函數(shù)，y=|x-1|有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，一增區(qū)間一個(gè)減區(qū)間，y=2x+1為增函數(shù)【題文】7.設(shè)是第二象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則等于A(yíng).B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式C2【答案解析】D 是第二象限角，P（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cos=x=，x0，x=-3，tan=-  則tan2= = 故選：D【思路點(diǎn)撥】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【題文】8.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若等于A(yíng).B.0C.1D.2【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和D2【答案解析】A 設(shè)公差為d，則an+1=an+d，an-1=an-d，由an+1-an2+an-1=0（n2）可得2an-an2=0，解得an=2（零解舍去），故S2n-1-4n=2×（2n-1）-4n=-2，故選A【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得an+1+an-1=2an，結(jié)合已知，可求出an，又因?yàn)閟2n-1=（2n-1）an，故本題可解【題文】9.若函數(shù)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)的圖象是【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像B8【答案解析】C 函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上是奇函數(shù)則f（-x）+f（x）=0即（k-1）（ax-a-x）=0則k=1又函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上是增函數(shù)則a1則g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函數(shù)圖象必過(guò)原點(diǎn)，且為增函數(shù)故選C【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，a1，由此不難判斷函數(shù)的圖象【題文】10.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則的取值范圍是A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】A 由題意可得：存在x0（-，0），滿(mǎn)足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a），即ex0- -ln（-x0+a）=0有負(fù)根，當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，ex0-ln（-x0+a）也趨近于負(fù)無(wú)窮大，且函數(shù)h（x）=ex-ln（-x+a）為增函數(shù)，h（0）=-lna0，lnaln，0a，故答案為：A. 【思路點(diǎn)撥】由題意可得：存在x0（-，0），滿(mǎn)足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a），函數(shù)h（x）=ex-ln（-x+a）的圖象和性質(zhì)，得到h（0）=-lna0，繼而得到答案【題文】二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把答案填在答題紙的相應(yīng)位置.【題文】11.已知，則 .【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式C6【答案解析】 因?yàn)?-cos，所以cos=-,則= ,故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先根據(jù)誘導(dǎo)公式求出余弦值，再根據(jù)二倍角公式求出結(jié)果。【題文】12.已知向量的夾角為45°，且 .【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案解析】3 因?yàn)?、的夾角為45°，且|=1，|2-|=，所以42-4+2=10，即|2-2|-6=0，解得|=3或|=-（舍）故答案為3【思路點(diǎn)撥】將|2-|=平方，然后將夾角與|=1代入得到|的方程，解方程可得【題文】13.由曲線(xiàn)，直線(xiàn)軸所圍成的圖形的面積為 .【知識(shí)點(diǎn)】定積分與微積分基本定理B13【答案解析】 如圖所示： 聯(lián)立解得，M（4，2）由曲線(xiàn)y=，直線(xiàn)y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積S=-(x-2)dx=(-x2+2x) =【思路點(diǎn)撥】利用微積分基本定理即可求出【題文】14.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 .【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列求和D4【答案解析】-1 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=log0.1（1+n），a10+a11+a99=S99-S9=log0.1（1+99）-log0.1（1+9）=log0.1100-log0.110=-2-（-1）=-1故答案為：-1【思路點(diǎn)撥】由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=log0.1（1+n），知a10+a11+a99=S99-S9，由此能求出結(jié)果【題文】15.定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且在 ，則 .【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與周期性B4【答案解析】 由f（x+4）=f（x），得函數(shù)的周期是4，則f（）=f（8-）=f（-），f（x）是奇函數(shù)，f（-）=-f（）=-×=-，f（）=f（8-）=f（-）=-f（）=-sin=sin=，則f（）+f（）=-=，故答案為：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，以及分段函數(shù)的表達(dá)式代入即可得到結(jié)論【題文】三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿(mǎn)分75分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)在答題紙的相應(yīng)位置.【題文】16.（本小題滿(mǎn)分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).（I）求；（II）設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足，求t的值.【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-3×1+（-1）×（-5）=3，|+|=2（2）()，=0,即-=-3×2+（-1）×（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0，t=-1【思路點(diǎn)撥】（1）利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及求模公式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得：=0，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示可得關(guān)于t的方程，進(jìn)而解方程即可得到t的值【題文】17.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在中，已知，點(diǎn)D在BC邊上，且.求角C的大小及邊AB的長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】7 4sin2+4sinAsinB=3，21-cos（A-B）+4sinAsinB=3，2-2（cosAcosB+sinAsinB）+4sinAsinB=3，cos（A+B）=-，cosC=，C= cosADB=，cosADC=- ，sinADC= ，在A(yíng)DC中，由正弦定理可得AD= sinC=7AB= =7【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式，和角的余弦公式，可求C，利用正弦定理、余弦定理求出邊AB的長(zhǎng)【題文】18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知.函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的圖像，且函數(shù)為偶函數(shù).（I）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；（II）若，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】（）f（x）=2sin（2x-）單調(diào)增區(qū)間為-+k，+k（）（）f（x）=sinx-cosx=2sin（x-），g（x）=f（x+ ）=2sin（x+ ）-=2sin（x-），又g（x）是偶函數(shù)，sin（-x+-）=sin（x+-），sinxcos（-）=0對(duì)任意xR恒成立，-=+k，kZ，整理，得=2+3k，kZ，又03，=2，f（x）=2sin（2x-），令-+2k2x-+2k，kZ，得-+kx+k，kZ，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為-+k，+k，kZ（）由（）知：f（）=2sin（2-）=2sin（-），又f（）=，sin（-）=，又，0-，cos（-）=，sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=×+×=【思路點(diǎn)撥】（）由f（x）=sinx-cosx=2sin（x-），知g（x）=2sin（x-），由g（x）是偶函數(shù)，得f（x）=2sin（2x-），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（）由f（）=2sin（2-）=2sin（- ），f（）= ，得sin（- ）=，從而cos（-）= ，由此能求出sin【題文】19.（本小題滿(mǎn)分12分）某工廠(chǎng)為提高生產(chǎn)效益，決定對(duì)一條生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行升級(jí)改造，該生產(chǎn)線(xiàn)升級(jí)改造后的生產(chǎn)效益萬(wàn)元與升級(jí)改造的投入萬(wàn)元之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：（其中m為常數(shù)）若升級(jí)改造投入20萬(wàn)元，可得到生產(chǎn)效益為35.7萬(wàn)元.試求該生產(chǎn)線(xiàn)升級(jí)改造后獲得的最大利潤(rùn).（利潤(rùn)=生產(chǎn)效益投入）（參考數(shù)據(jù)：）【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)模型及其應(yīng)用B10【答案解析】24.4萬(wàn)元 由題意可得，35.7=mln20-4+×20+ln10，解得，m=-1，則y=-lnx-x2+x+ln10，（x10）設(shè)利潤(rùn)為f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10，（x10）易得，f（x）=-+=，又x10，當(dāng)10x50時(shí)，f（x）0，當(dāng)x50時(shí)，f（x）0，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，即f（50）=-ln50-×（50）2+×50+ln10=24.4（萬(wàn)元）答：該生產(chǎn)線(xiàn)升級(jí)改造后獲得的最大利潤(rùn)為24.4萬(wàn)元【思路點(diǎn)撥】由題意，代入（20，35.7）可得35.7=mln20-4+×20+ln10，從而求出m，計(jì)算利潤(rùn)函數(shù)，利用求導(dǎo)法求函數(shù)的最大值，從而得到最大利潤(rùn)【題文】20.（本小題滿(mǎn)分13分）已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列滿(mǎn)足（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列 數(shù)列求和D3 D4【答案解析】（）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n（）由題意得an+1bn=anbn+1+3bnbn+1，兩邊同時(shí)除以bnbn+1，得又cn=，cn+1-cn=3，又c1=1，數(shù)列cn是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，cn=1+3（n-1）=3n-2，nN*（）設(shè)數(shù)列bn的公比為q，q0，b32=4b2b6，b12q4=4b12q6，整理，得q2=，q=，又b1=1，bn=()n-1，nN*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，Sn=1×()0+4×()+7×()2+(3n-2)×()n-1，Sn=1×+4×()2+7×()3+(3n-2)×()n，-，得：Sn=1+3×+3×()2+3×()n-1-（3n-2）×()n=1+3+()2+()n-1-（3n-2）×()n=1+31-()n-1-(3n-2)×()n=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，Sn=8-（6n+8）×()n【思路點(diǎn)撥】（）由題意得an+1bn=anbn+1+3bnbn+1，從而 ，由此推導(dǎo)出數(shù)列cn是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而求出cn=1+3（n-1）=3n-2，nN*（）設(shè)數(shù)列bn的公比為q，q0，由已知得bn=( )n-1，nN*，從而an=cnbn=(3n-2)×()n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn【題文】21.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù).（I）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，求的值；（II）若對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍；（III）在（I）的條件下，求證：.【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（I）（II）a-1（III）略（I）函數(shù)f（x）=alnx的定義域?yàn)椋?，+），f(x)= ，g（x）=設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)g（x）= 交點(diǎn)（x0，y0），由于在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，=，解得x0=4a2，a0由f（x0）=g（x0）可得alnx0=聯(lián)立，解得a=（II）對(duì)任意x1，e，都有f（x）-x2+（a+2）x恒成立，化為a（x-lnx）x2-2x（*）令h（x）=x-lnx，h(x)=1-= ，x1，e，h（x）0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，h（x）h（1）=1（*）可化為a，x1，e令F（x）=F（x）=x1，e，x-10，2（1-lnx）0，當(dāng)x1，e時(shí)，F(xiàn)（x）0，函數(shù)F（x）在x1，e上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）F（1）=-1，a-1（III）在（I）的條件下f（x）=lnx要證明xf（x）-1即證明exlnxxe1-x-2令H（x）=exlnx，可得H（x）=e+elnx=e（1+lnx），令H（x）0，解得x(，+)，此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞增；令H（x）0，解得x(0，)，此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞減當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)H（x）取得極小值即最小值，H()=-1令G（x）=xe1-x-2，可得G（x）=（1-x）e1-x，令G（x）0，解得0x1，此時(shí)函數(shù)H（x）單調(diào)遞增；令G（x）0，解得x1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞減當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)G（x）取得極大值即最大值，G（1）=-1H（x）G（x），因此xf（x） -1【思路點(diǎn)撥】（I）函數(shù)f（x）=alnx的定義域?yàn)椋?，+），f(x)= ，g（x）=設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)g（x）= 交點(diǎn)（x0，y0），由于在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得= ，a0由f（x0）=g（x0）可得alnx0=聯(lián)立解得即可（II）對(duì)任意x1，e，都有f（x）-x2+（a+2）x恒成立，化為a（x-lnx）x2-2x（*）令h（x）=x-lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得h（x）h（1）=1從而（*）可化為a，x1，e令F（x）= ，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得F（x）F（1）=-1，即可得出（III）在（I）的條件下f（x）= lnx要證明xf（x） -1即證明exlnxxe1-x-2分別令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1-x-2，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值 即可證明