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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第三講數(shù)形結(jié)合總復(fù)習(xí) 人教版 一、專題概述 -什么是數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想 恩格斯說(shuō)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題
2、實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀 數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的結(jié)合等 二、例題分析1善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系 觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程 例1函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是： （A） （B） （C） （D） 分析：通過(guò)畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對(duì)函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過(guò)這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn)，
3、必為曲線的一條對(duì)稱軸，因此，解這個(gè)問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是：，其中只有1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A） 2正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系 觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來(lái)完成某些題時(shí)，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系 例2問：圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾個(gè)？ 分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩條直線因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 將圓方程變形為：，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，而圓心到定直線L的距離為，由此判定平行于直線L且距離為的兩條直線中，一條通過(guò)圓心C，另一條與圓
4、C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn) （如圖1） 啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用 3切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性以性識(shí)圖 數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相成，相互轉(zhuǎn)化 例3判定下列圖中，哪個(gè)是表示函數(shù)圖象 分析 由=，可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢(shì)比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象 例4如圖
5、，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過(guò)3分鐘注完已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（） 分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時(shí)間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢(shì)應(yīng)是越來(lái)越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D） 例5若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是多少？ 分析 滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到AOC=45） 因此所求圖形的面積為： 4靈活應(yīng)
6、用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法通過(guò)聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段例6已知C0，試比較的大小 分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個(gè)函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：例7 解不等式 解法一 （用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于： 解得 故原不等式的解集是 解法二 （
7、采用圖象法） 設(shè)即 對(duì)應(yīng)的曲線是以為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線（如圖） 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是 借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果 例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) 分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)的圖象（如圖）再討論它與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可 當(dāng)a0時(shí)，解的個(gè)數(shù)是0； 當(dāng)a=0時(shí)或a4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2； 當(dāng)0a4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4； 當(dāng)a=4時(shí)
8、，解的個(gè)數(shù)是39已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（） （A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè) （D）4個(gè) 分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 過(guò)（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)（）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故正確答案為（D）例9已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（） （A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè) （D）4個(gè) 分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 過(guò)（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有
9、且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)（）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故正確答案為（D）例10設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線上移動(dòng)，求的最大值和最小值 解 曲線是中心在（3，3），長(zhǎng)軸為，短軸為的橢圓設(shè)，即y=kx為過(guò)原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率（如圖所示） 消去y得 解得： 故的最大值為，最小值為 例11求函數(shù)（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小值 分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個(gè)根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解如圖 設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)
10、為x軸上一動(dòng)點(diǎn)， 則 其中的等號(hào)在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即時(shí)成立 故y的最小值為 例12P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時(shí)針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程 分析 在矩形O P Q R中（如圖），由POR=90，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，并將長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決 解，設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 則 故即由點(diǎn)在橢圓上可知有： 整理得：就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長(zhǎng)軸為2a，半
11、短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 三解題訓(xùn)練1求下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù)： （1） （2） （3） 2無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)都是（） （A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）不確定 3已知函數(shù)的圖象如右圖則（） （A）b(-,0)（B）b(0,1) （C）b(1,2) （D）b(2,+ ) 4不等式的解集是（） （A）（0，+）（B）（0，1）（C）（1，+）（D）（，0） 5不等式一定有解，則a的取值范圍是（） （A）（1，+）（B）1,+ （C）(-,1)（D）(0,1 6解下列不等式： （1） （2） 7復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至向量，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_ 8若復(fù)數(shù)z滿足|z|0而當(dāng)x2時(shí)，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a0，而可知b=-3a0，故選（A） 4A 5A 6（可以利用圖象法求解） （1）x-1或0x3 （2）x-1 71 8210 9 10A 11D 提示：在曲線方程中，分x0或x0兩種情形討論，作出圖形即可 12C 13 14A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)
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