2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題28 幾何證明選講（含解析）

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題28 幾何證明選講（含解析）一、填空題1(文)如圖，在ABC中，A60°，ACB70°，CF是ABC的邊AB上的高，F(xiàn)PBC于點(diǎn)P，F(xiàn)QAC于點(diǎn)Q，則CQP的大小為_(kāi)答案50°解析由PFBC，F(xiàn)QAC，得C、Q、F、P四點(diǎn)共圓，所以CQPCFPB180°(AC)180°(60°70°)50°.(理)如圖，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B、C兩點(diǎn)，AC，PAB30°，則線段PB的長(zhǎng)為_(kāi)答案1解析因?yàn)镻A是圓O的切線，PAB30°，由弦切角定理可得ACBPAB30°，而CAB90°，ABC60°，所以ABBC，又因?yàn)锳C，所以AB1，BC2，PBA120°，所以APBPAB30°，PBAB1.2(文)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFCF，AFFBBE421.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析設(shè)BEa，則AF4a，F(xiàn)B2a，根據(jù)相交弦定理：DF·FCAF·FB，則28a2，a2，由切割線定理：EC2BE·AE7a2，EC2，EC.(理)(xx·湖南理，12)如圖，已知AB、BC是O的兩條弦，AOBC，AB，BC2，則O的半徑等于_答案解析本題考查勾股定理、相交弦定理設(shè)線段AO交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AO交圓于另外一點(diǎn)E，則BDDC，在三角形ABD中由勾股定理可得AD1，由相交弦定理可得BD·DCAD·DE，DE2，則直徑AE3r，故填.3(xx·湖北理，15)如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且BC3PB，則_.答案解析設(shè)PBa，則BC3a，由PA2PB·PC可得PA2a；又因?yàn)镻AB PCA，所以由可解得.故本題正確答案為.4(文)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA3，PDDB916，則PD_，AB_.答案，4解析由于PDDB916，設(shè)PD9a，則DB16a，根據(jù)切割線定理有PA2PD·PB有a，所以PD，在直角PBA中，AB2PB2AP216，所以AB4.(理) (xx·重慶理，14)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，則BE_.答案2解析此題主要考查切割線定理，屬于簡(jiǎn)單題型由切割線定理知PA2PC·PD，易得PD12，故CDPDPC9，因?yàn)镃EED21，故CE6，ED3.由相交弦定理可得AE·EBCE·ED，又因?yàn)锳E9，CE6，ED3，易得EB2.5(文)(xx·廣東理，15)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB4，EC是圓O的切線，切點(diǎn)為C，BC1.過(guò)圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P，則OD_.答案8解析本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理，屬于中檔題如下圖所示，連接OC，因?yàn)镺DBC，又BCAC，所以O(shè)PAC，又O為AB線段的中點(diǎn)，所以O(shè)PBC，在RtOCD中，OCAB2，由直角三角形的射影定理可得OC2OP·OD，所以O(shè)D8.(理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AB上，且AEEB，連接DE、AC，若AC與DE相交于點(diǎn)F，AEF的面積為1cm2，則AFD的面積為_(kāi)cm2.答案3解析ABCD，AEFCDF，3，3，SAFD3SAFE3cm2.6(文)如圖，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BDAC過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析如圖所示：AE為圓的切線，AE2BE·ED，設(shè)BEx，36x(5x)，x25x360，x4.ABAC，ACBABC，又EABACB，EABABC，AEBC，又EBAC，四邊形BCAE為平行四邊形，BCAE6，ACBE4，DFBAFC，F(xiàn)C.(理)如圖，在ABC中，ACB90°，BAC60°，過(guò)C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD于D，BD與外接圓交于點(diǎn)E，已知DE5，則ABC的外接圓的半徑為_(kāi)答案10解析利用切割線定理和正弦定理求解因?yàn)镃D是圓的切線，所以BCDBAC60°，所以DBDC又由切割線定理可得DC2DE×DB5DC，則DC5，所以BC2DC10.在直角三角形ABC中，由正弦定理可得2RAB20，所以ABC的外接圓的半徑R10.二、解答題7. (xx·遼寧葫蘆島市一模)如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E，證明： (1)BEEC；(2)AD·DE2PB2.證明(1)連接AB，AC由題設(shè)知PAPD，故PADPDA因?yàn)镻DADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，因此BEEC(2)由切割線定理得PA2PB·PC因?yàn)镻APDDC，所以PD2(PDBD)·2PD，PD2BD，DC2PB，BDPB由相交弦定理得AD·DEBD·DC，所以AD·DE2PB2.8(文)(xx·沈陽(yáng)市質(zhì)檢)如圖，ABC內(nèi)接于圓O，AD平分BAC交圓O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線交直線AD于點(diǎn)E.(1)求證：EBDCBD；(2)求證：AB·BEAE·DC解析(1)BE為圓O的切線，EBDBAD，又AD平分BAC，BADCAD，EBDCAD又CBDCAD，EBDCBD(2)在EBD和EAB中，EE，EBDEAB，EBDEAB，AB·BEAE·BD，又AD平分BAC，BDDC，故AB·BEAE·DC(理)(xx·唐山市二模)如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，過(guò)AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG，G為切點(diǎn)，已知EFFG.求證：(1)DEFEAF；(2)EFCB分析(1)欲證DEFEAF，可證兩個(gè)三角形有兩內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，亦可證兩個(gè)三角形有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角對(duì)應(yīng)相等，由已知條件，F(xiàn)G、FA分別是圓的切線、割線及EFFG可知兩個(gè)三角形有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，關(guān)鍵是其夾角相等，而夾角是公共角，第一問(wèn)獲證(2)欲證EFCB，由圓想到可證角相等(同位角、內(nèi)錯(cuò)角)，注意利用圓的有關(guān)角的性質(zhì)和(1)的結(jié)論解析(1)由切割線定理得FG2FA·FD又EFFG，所以EF2FA·FD，即.因?yàn)镋FADFE，所以DEFEAF.(2)由(1)得FEDFAE.因?yàn)镕AEDABDCB，所以FEDBCD，所以EFCB9(文) (xx·洛陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，AB是O的切線，B為切點(diǎn)，ADE是O的割線，C是O外一點(diǎn)，且ABAC，連接BD，BE，CD，CE，CD交O于F，CE交O于G.(1)求證：BE·CDBD·CE；(2)求證：FGAC證明(1)由已知得ABDAEB，而B(niǎo)ADEAB，ABDAEB，所以，又ABAC，所以BD·AEAB·BE，且，又CADEAC，ADCACE，所以，即DC·AEAC·CE.由兩式相除可得BE·CDBD·CE.(2)由ADCACE得，ACDAEC，又D，F(xiàn)，G，E四點(diǎn)共圓，GFCAEC，因此GFCACD，所以FGAC(理)(xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知BC為圓O的直徑，點(diǎn)A為圓周上一點(diǎn)，ADBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直P(pán)A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：(1)PA·PDPE·PC；(2)ADAE.證明(1)因?yàn)锳DBP，BEAP，所以APDBPE，所以，所以AP·PEPD·PB，又因?yàn)镻A，PB分別為圓O的切線和割線，所以PA2PB·PC，所以，所以PA·PDPE·PC(2)連接AC，DE，因?yàn)锽C為圓O的直徑，所以BAC90°，即ABAC，因?yàn)?，所以ACDE，所以ABDE，又因?yàn)锽EAP，ADPB，所以A，D，B，E四點(diǎn)共圓且AB為直徑，又因?yàn)锳BDE，所以ADAE.10圓的兩條弦AB、CD交于點(diǎn)F，從F點(diǎn)引BC的平行線和直線DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，再?gòu)狞c(diǎn)P引這個(gè)圓的切線，切點(diǎn)是Q.求證：PFPQ.分析要證PFPQ，因?yàn)镻Q為圓的切線，PQ2PA·PD，故只須證PF2PA·PD，觀察圖形及條件可以發(fā)現(xiàn)，PF與PA在APF中，PF與PD在EPD中，若能證得這兩個(gè)三角形相似，則問(wèn)題獲解，由于兩個(gè)三角形有公共角APF，只須再找一角相等即可由圓的幾何性質(zhì)不難證得AFPADF，故APFFPD證明因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以ADFABC因?yàn)镻FBC，所以AFPABC，所以AFPADF.又因?yàn)锳PFFPD，所以APFFPD，所以，所以PF2PA·PD因?yàn)镻Q與圓相切，所以PQ2PA·PD所以PF2PQ2，所以PFPQ.11(文)如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AEDC·AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值解析(1)因?yàn)镃D為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA因?yàn)锽、E、F、C四點(diǎn)共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90°，所以CBA90°，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連接CE，因?yàn)镃BE90°，所以過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DB·BA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DB·DA3DB2，故過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.(理)(xx·唐山市一模)如圖，AE是圓O的切線，A是切點(diǎn)，ADOE于D，割線EC交圓O于B、C兩點(diǎn)(1)證明：O、D、B、C四點(diǎn)共圓；(2)設(shè)DBC50°，OBC30°，求OEC的大小分析(1)由EA、EC分別為切線和割線，可利用切割線定理，由EA為切線，ADEO，在RtEOA中可利用射影定理，這樣可得到邊的比例關(guān)系式要證O、D、B、C四點(diǎn)共圓，只需證明對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角，結(jié)合條件與結(jié)論可考慮證明三角形相似，即BDEOCE.(2)給出DBC與OBC的大小，欲求OEC的大小，由外角定理OECDBCBDE，由OBOC知OBCOCB，溝通兩者的橋梁是(1)的結(jié)論，BDEOCB，于是獲解解析(1)連接OA、OC，則OAEA由射影定理得EA2ED·EO.由切割線定理得EA2EB·EC，故ED·EOEB·EC，即，又OECOEC，所以BDEOCE，所以EDBOCE.因此O，D，B，C四點(diǎn)共圓(2)因?yàn)镺ECOCBCOE180°，結(jié)合(1)得OEC180°OCBCOE180°OBCDBE180°OBC(180°DBC)DBCOBC20°.12(文) (xx·江西質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知AD·ABAE·AC(1)求證：B，C，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若三角形ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且AD1，求B，C，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑解析(1)因?yàn)锳D·ABAE·AG，所以，所以ADEACB，所以ADEACB，又ADEBDE180°，所以ACBBDE180°，所以B，C，D，E四點(diǎn)共圓(2)依題意：BCED是等腰梯形，且高為，設(shè)B，C，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為r，則，解得r，B，C，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為.(理)(xx·唐山市一模)如圖，圓周角BAC的平分線與圓交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線與弦AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD交BC于點(diǎn)F.(1)求證：BCDE；(2)若D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且，求BAC解析(1)證明：因?yàn)镋DCDAC，DACDAB，DABDCB，所以EDCDCB，所以BCDE.(2)解：因?yàn)镈，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以CFACED，由(1)知ACFCED，所以CFAACF.設(shè)DACDABx，因?yàn)?，所以CBABAC2x，所以CFAFBAFAB3x，在等腰ACF中，CFAACFCAF7x，則x，所以BAC2x.方法點(diǎn)撥這一部分主要命題方式是將圓的有關(guān)角、比例線段或圓內(nèi)接四邊形和三角形相似結(jié)合，求角，求線段長(zhǎng)等，注意依據(jù)條件和結(jié)論選擇思維方向，如：給出切線時(shí)，常作輔助線是作過(guò)切點(diǎn)的半徑，考慮方向是切割線定理，直角三角形射影定理、弦切角與圓周角的互化等；給出平行線時(shí)，主要考慮角的關(guān)系及三角形相似；有關(guān)圓的問(wèn)題，求線段長(zhǎng)時(shí)，?？紤]相交弦定理、切割線定理、射影定理、垂徑定理；證明比例線段，主要通過(guò)三角形相似