2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 第5課時數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 第5課時數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 理 新人教版考綱索引1. 數(shù)學(xué)歸納法的概率及原理.2. 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.課標(biāo)要求1. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2. 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取時命題成立.(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kk0,kN*)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立.2. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時特別注意:(1)數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與有關(guān)的命題.(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個基本步驟缺一不可.基礎(chǔ)自測1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(nN,n3),第一步應(yīng)驗證().A. n=1B. n=2 C. n=3D. n=42. 用數(shù)學(xué)歸納法

2、證明1+2+22+2n+1=2n+2-1(nN*)的過程中,在驗證n=1時,左端計算所得的項為().A. 1B. 1+2 C. 1+2+22D. 1+2+22+23指 點 迷 津【想一想】對于數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個基本步驟,你是如何理解的?【答案】第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,在第二步的證明中一定要運用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論.”考點透析考向一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是第二步由n=k到n=k+1的過渡,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,即借助于已經(jīng)學(xué)過的公式、定理或運算法則進

3、行恒等變形,把n=k+1時的表達式拼湊出歸納假設(shè)的形式,再把運用歸納假設(shè)后的式子進行變形、證明.變式訓(xùn)練考向二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN*.(1)當(dāng)n=1,2,3,4時,試比較f(n)與g(n)的大小;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論,并加以證明.【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常常要用到放縮法,即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上,通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式,事實上,在合理運用歸納假設(shè)后,可以使用證明不等式的任何方法證明目標(biāo)式成立.變式訓(xùn)練考向三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元

4、素從k個變成k+1個時,所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析;事實上,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧.變式訓(xùn)練3. 平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,則這n個圓將平面分成不同的區(qū)域的個數(shù)為().A. 2nB. 2nC. n2-n+2D. n2+n+1考向四用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例4已知n為正整數(shù),aZ,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)P(k+1)的整式變形是個難點,找出它們

5、之間的差異,然后將P(k+1)進行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”變式訓(xùn)練4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù).考向五歸納一猜想一證明例5設(shè)數(shù)列an滿足an+1=-nan+1,n=1,2,3,.(1)當(dāng)a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式;(2)當(dāng)a13時,證明:對所有的n1,有ann+2.【方法總結(jié)】“歸納猜想證明的模式”,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合運用的解題模式,這種方法在解決探索性、存在性問題時起著重要作用,它的證題模式是先由歸納推理發(fā)

6、現(xiàn)結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性,這種思維方式是推動數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式.變式訓(xùn)練經(jīng)典考題真題體驗1. (xx廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列an的通項公式.2. (xx陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表達式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)nN+,比較g(1)+g(2)+g(n)與n-f(n)的大小,

7、并加以證明.參考答案與解析知識梳理1. (1)第一個值n0(n0N*)(2)n=k+12. (1)正整數(shù)基礎(chǔ)自測考點透析 【例4】(1)當(dāng)n=1時,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么當(dāng)n=k+1時,ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除.即當(dāng)n=k+1時命題也成立.根據(jù)(1)(2)可知,對于任意nN*,an+1+(a+1)2n-

8、1能被a2+a+1整除.【例5】(1)由a1=2,得a2=-a1+1=3,由a2=3,得a3=-2a2+1=4,由a3=4,得a4=-3a3+1=5,由此猜想an的一個通項公式:an=n+1(n1).(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1時,a13=1+2,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立.即akk+2,那么,ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-k)+1k+3,也就是說,當(dāng)n=k+1時,ak+1(k+1)+2.根據(jù),對于所有n1,都有ann+2.變式訓(xùn)練 3. C解析:n=2,分成4部分,排除D;n=3,分成8部分,排除A;n=4,分成14部分,排除B,故選C.4. (1)當(dāng)n=1時,421+1+31+2=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,42k+1+3k+2能被13整除.則當(dāng)n=k+1時,42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2),42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,42(k+1)+1+3k+3能被13整除.由(1)(2)知,當(dāng)nN*時,42n+1+3n+2能被13整除.考點透析真題體驗