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1、2022年高考數學一輪復習 專題探究課二習題 理 新人教A版(I)1.已知函數f(x)ln xx2ax(aR).若函數f(x)在其定義域上為增函數，求a的取值范圍.解法一函數f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.函數f(x)在(0，)上單調遞增，f(x)0，即2xa0對x(0，)都成立.a2x對x(0，)都成立.當x0時，2x22，當且僅當2x，即x時取等號.a2，即a2.a的取值范圍為2，).法二函數f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.方程2x2ax10的判別式a28.當0，即2a2時，2x2ax10，此時，f(x)0對x(0
2、，)都成立，故函數f(x)在定義域(0，)上是增函數.當0，即a2或a2時，要使函數f(x)在定義域(0，)上為增函數，只需2x2ax10對x(0，)都成立.設h(x)2x2ax1，則解得a0.故a2.綜合得a的取值范圍為2，).2.(xx蘇北四市調研)設f(x)ax3bxc(a0)為奇函數，其圖象在點(1，f(1)處的切線與直線x6y70垂直，導函數f(x)的最小值為12.(1)求函數f(x)的解析式；(2)求函數f(x)的單調增區(qū)間，并求函數f(x)在1，3上的最大值和最小值.解(1)因為f(x)為奇函數，所以f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc所以c0，又f(x)3ax2b的最小值
3、為12，所以b12.由題設知f(1)3ab6.所以a2，故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x).當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況表如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值因為f(1)10，f(3)18，f()8，f()8，當x時，f(x)min8；當x3時，f(x)max18.3.(xx萊州一中模擬)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函數g(x)的單調遞減區(qū)間為，求函數g(x)的解析式；(2)對任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求實數a的取值范圍.解(1)g(x)3x22ax1由題意3x22ax10的解集是，即
4、3x22ax10的兩根分別是，1.將x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由題意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，設h(x)ln xx，則h(x)，令h(x)0，得x1或(舍)，當0x1時，h(x)0，當x1時，h(x)0，所以當x1時，h(x)取得最大值，h(x)max2，所以a2，所以a的取值范圍是2，).4.(xx全國卷)設函數f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導函數f(x)零點的個數；(2)證明：當a0時，f(x)2aaln .(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x0).當a0時，f(x)
5、0，f(x)沒有零點；當a0時，因為ye2x在(0，)上單調遞增，y在(0，)上單調遞增，所以f(x)在(0，)單調遞增.又f(a)0，當b滿足0b且b時，f(b)0，故當a0時，f(x)存在唯一零點.(2)證明由(1)，可設f(x)在(0，)的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)0；當x(x0，)時，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于2e2x00，所以f(x0)e2x0aln x0aln aln 2ax02ax0aln 2aaln .故當a0時，f(x)2aaln .5.(xx廣東卷)設
6、a1，函數f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個零點；(3)若曲線yf(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點)，證明：m 1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立.f(x)的單調增區(qū)間為(，).(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，則m0，g(m)在(0，)上增.令g(x)0，則m0，g(m)在(，0)上減.g(m)ming(0)0.em(m1)0，即emm1.em(m
7、1)2(m1)3，即a(m1)3.m1 ，即m 1.6.(xx蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)已知函數f(x)x3xk在(b，f(b)處的切線方程為4xy10(b0).m(x)f(x)x31aln x，g(x)，(aR).(1)求k，b的值；(2)設函數h(x)m(x)g(x)，求函數h(x)的單調區(qū)間；(3)若在1，e(e2.718)上存在一點x0，使得m(x0)g(x0)成立，求a的取值范圍.解(1)由題意知：f(x)3x21，因為f(x)x3xk在(b，f(b)處的切線方程為4xy10，其中b0.所以解得(2)h(x)xaln x.h(x)1.當a10時，即a1時，當x(0，1a)時，h(x)0，當
8、x(1a，)時，h(x)0，所以h(x)在(0，1a)上單調遞減，在(1a，)上單調遞增.當a10，即a1時，當x(0，)時，h(x)0，所以函數h(x)在(0，)上單調遞增.(3)在1，e上存在一點x0，使得m(x0)g(x0)成立，即在1，e上存在一點x0，使得h(x)0.即函數h(x)xaln x在1，e上的最小值小于零.由(2)可知當a1e，即ae1時，h(x)在1，e上單調遞減，所以h(x)的最小值為h(e)，由h(e)ea0可得a，因為e1，所以a；當a11，即a0時，h(x)在1，e上單調遞增，所以h(x)最小值為h(1)，由h(1)11a0可得a2；當1a1e，即0ae1時，可得h(x)最小值為h(1a)，因為0ln(a1)1，所以0aln(a1)a，所以h(1a)2aaln(1a)2，此時h(1a)0不成立.綜上可得所求a的范圍是(，2)
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