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1、2022年高中數(shù)學(xué)《利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性》教案2 新人教B版選修2-2
一、教學(xué)目標(biāo)：了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.
二、教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
教學(xué)難點(diǎn)：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性.
三、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)
1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
⑴ y＝x3－9x2＋24x； ⑵ y＝x－x3．（4）f (x)＝2x3－9x2＋12x－3
2．討論二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的單調(diào)區(qū)間．
3．在區(qū)間(a, b)內(nèi)f'(x)＞0是f (x)在(a, b)
2、內(nèi)單調(diào)遞增的 ( A )
A．充分而不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（二）舉例
例1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；
(2)
(3) .
（4） （b>0）
（5）判斷的單調(diào)性。
分三種方法：（定義法）（復(fù)合函數(shù)）（導(dǎo)數(shù)）
例2．（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
（3）設(shè)函數(shù)f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a≥–1，求f (x)的單調(diào)區(qū)
3、間.
（1）解：y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2)，令y′＜0得(x – a) (x – a2)＜0.
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，不等式解集為a＜x＜a2此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a, a2)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為a2＜x＜a此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a2, a)；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式解集為a＜x＜a2此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a, a2)；
（4）a = 0，a = 1時(shí)，y′≥0此時(shí)，無減區(qū)間.
綜上所述：
當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a, a2)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a2, a)；
4、
當(dāng)a = 0，a = 1時(shí)，無減區(qū)間.
（2）解：∵， ∴f (x)在定義域上是奇函數(shù).
在這里，只需討論f (x)在(0, 1)上的單調(diào)性即可.
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f ′ (x) ==.
若b＞0，則有f ′ (x)＜0，∴函數(shù)f (x)在(0, 1)上是單調(diào)遞減的；
若b＜0，則有f ′ (x)＞0，∴函數(shù)f (x)在(0, 1)上是單調(diào)遞增的.
由于奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，從而有如下結(jié)論：
當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)f (x)在(–1, 1)上是單調(diào)遞減的；
當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f (x)在(–1, 1)上是單調(diào)遞增的.
（3）解：由已知得函數(shù)f (x)的定義
5、域?yàn)?(–1, +∞)，且(a≥–1).
（1）當(dāng)–1≤a≤0時(shí)，f ′ (x)＜0，函f (x)在(–1, +∞)上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由f ′ (x) = 0，解得.
f ′ (x)、f (x)隨x的變化情況如下表：
x
f ′ (x)
–
0
+
f (x)
↘
極小值
↗
從上表可知，
當(dāng)x∈時(shí)，f ′ (x)＜0，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)–1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f (x)在(–1, +∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞減，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增.
作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)八。
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