高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第21練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第21練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文明考情三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在解答題中和解三角形綜合考查或單獨(dú)命題，難度一般為中低檔.知考向1.三角函數(shù)的最值問題.2.三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用.3.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值問題方法技巧求解三角函數(shù)最值的常用方法(1)有界性法：將yasin xbcos xc化為ysin (x)c.然后利用正弦函數(shù)的有界性求解.(2)換元法：對于yasin2xbsin xc(或yasin xcos xb(sin x±cos x)c)型的函數(shù)最值，可設(shè)tsin x(或tsin x±cos x).(3)利用數(shù)形結(jié)合或單調(diào)性.1.(xx·浙江)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)由sin ，cos ，得f 222××，所以f 2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x，得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).2.已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)當(dāng)x時，02x，從而當(dāng)02x，即x時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時，f(x)單調(diào)遞減.綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3.已知函數(shù)f(x)4cos xsin(0)的最小正周期是.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解(1)函數(shù)f(x)4cos xsin4cos x2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1，且f(x)的最小正周期是，所以1.從而f(x)2sin1；令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)當(dāng)x時，2x，所以2x，2sin，所以當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最小值1；當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最大值1；所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1，1.4.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)ysin2xacos xa在閉區(qū)間上的最大值是1？若存在，則求出對應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由.解y2a.當(dāng)0x時，0cos x1，令tcos x，則0t1，y2a，0t1.當(dāng)01，即0a2時，則當(dāng)t，即cos x時，ymaxa1，解得a或a4(舍去)，故a；當(dāng)0，即a0時，則當(dāng)t0，即cos x0時，ymaxa1，解得a，由于a0，故這種情況不存在滿足條件的a值；當(dāng)>1，即a>2時，則當(dāng)t1，即cos x1時，ymaxaa1，解得a，由于2，故這種情況下不存在滿足條件的a值.綜上可知，存在a符合題意.考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用要點(diǎn)重組三角函數(shù)圖象的對稱問題(1)yAsin(x)的對稱軸為x(kZ)，對稱中心為(kZ).(2)yAcos(x)的對稱軸為x(kZ)，對稱中心為(kZ).(3)yAtan(x)的對稱中心為(kZ).方法技巧(1)代入法：把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).(2)五點(diǎn)法：確定值時，往往尋找“五點(diǎn)法”中的某一個點(diǎn)作為突破口.5.(xx·長安區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)Asin(x) 的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x時，求函數(shù)yf f 的最值.解(1)由函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象知，T，T2，1.又f AsinA，且0，；f(0)Asin 2，A4，f(x)4sin.(2)函數(shù)yf f 4sin4sin4sin4sin4×sin x4×cos x4cos x2sin x2cos x4sin，當(dāng)x時，x，當(dāng)x，即x時，函數(shù)y取得最小值4；當(dāng)x，即x時，函數(shù)y取得最大值2.6.已知函數(shù)f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和其圖象的對稱軸方程；(2)當(dāng)x時，求f(x)的最小值和最大值.解(1)依題意，得f(x)(sin x)(cos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期為T.令2xk(kZ)，得x(kZ)，故所求對稱軸方程為x(kZ).(2)當(dāng)0x時，2x，由函數(shù)圖象可知sin1，即0sin.于是f(x)的最小值為0，最大值為.7.設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值時的x的集合；(2)說明函數(shù)yf(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到(不用畫圖).解(1)因?yàn)閒(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos x，所以由輔助角公式，得f(x)sin.當(dāng)sin1時，f(x)min，此時x2k(kZ)，所以x2k(kZ).所以f(x)的最小值為，此時x的集合為.(2)將函數(shù)ysin x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到y(tǒng)sin x的圖象；再將ysin x的圖象向左平移個單位長度，得到f(x)sin的圖象.8.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2) 將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(>0)個單位長度，得到y(tǒng)g(x)的圖象.若yg(x)圖象的一個對稱中心為，求的最小值.解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5，2，.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知，f(x)5sin，得g(x)5sin.因?yàn)楹瘮?shù)ysin x的圖象的對稱中心為(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，令，解得，kZ，由>0可知，當(dāng)k1時，取得最小值.考點(diǎn)三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用方法技巧求解三角函數(shù)問題的兩個思想(1)整體思想：對于yAsin(x)的性質(zhì)，可將x視為一個整體，設(shè)tx，解yAsin t，通過研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到求解目標(biāo).(2)數(shù)形結(jié)合思想：結(jié)合函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)性質(zhì).9.設(shè)函數(shù)f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的對稱軸方程.解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin1a，則f(x)的最小正周期T，且當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時，f(x)單調(diào)遞增.所以(kZ)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)x時，2x，當(dāng)2x，即x時，sin1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ)，得x(kZ)，故yf(x)的對稱軸方程為x，kZ.10.已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)， 函數(shù)f(x)a·b，且yf(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個單位長度后得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)由題意知，f(x)a·bmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，所以即解得(2)由(1)知，f(x)sin 2xcos 2x2sin.由題意知，g(x)f(x)2sin.設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)，由題意知，x11，所以x00，即yg(x)圖象上到點(diǎn)(0，3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0，2).將其代入yg(x)，得sin1，因?yàn)?<<，所以，所以g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.11.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，P是圖象的最高點(diǎn)，Q為圖象與x軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OQ4，OP，PQ.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移2個單位長度后得到函數(shù)yg(x)的圖象，當(dāng)x0，3時，求函數(shù)h(x)f(x)·g(x)的值域.解(1)在OPQ中，cosPOQ，sinPOQ，P(1，2)，所以A2，周期T4×(41)12，又12，則.將點(diǎn)P(1，2)代入f(x)2sin，得sin1，因?yàn)?，所以，所以f(x)2sin.(2)由題意，可得g(x)2sin x.所以h(x)f(x)·g(x)4sin·sin x2sin2x2sin x·cos x1cos xsin x12sin.當(dāng)x0，3時，x，所以sin，所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)?，3.12.已知向量a(2cos x，sin x)，b(cos x，2cos x)，函數(shù)f(x)a·bm(mR)，且當(dāng)x時，f(x)的最小值為2.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)先將函數(shù)yf(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，再把所得的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求方程g(x)4在區(qū)間上的所有根之和.解f(x)2cos2x2sin x·cos xmcos 2xsin 2xm12m12sinm1.因?yàn)楫?dāng)x時，2x，所以當(dāng)x時，f(x)取得最小值1m12，所以m2，所以f(x)2sin3.(1)令2k2x2k(kZ)，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).(2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y2sin3，再把所得的圖象向右平移個單位長度得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為g(x)2sin3.由g(x)4，得sin，解得4x2k或2k，即x或(kZ).因?yàn)閤，所以x或，故所求所有根之和為.例(12分)已知m(cos x，cos(x)，n(sin x，cos x)，其中>0，f(x)m·n，且f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)若f ，求cos 的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評分標(biāo)準(zhǔn)解f(x)m·ncos xsin xcos(x)cos xcos xsin xcos xcos xsin.3分f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，T，1，f(x)sin.4分(1)f sin，sin，sin，cos.6分cos coscoscos sinsin ××.8分(2)f(x)經(jīng)過變換可得g(x)sin，10分令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.12分構(gòu)建答題模板第一步化簡變形：利用輔助角公式將三角函數(shù)化成yAsin(x)形式.第二步整體代換：將“x”看作一個整體，研究三角函數(shù)性質(zhì).第三步回顧反思：查看角的范圍對函數(shù)影響，評價結(jié)果的合理性，檢查步驟的規(guī)范化.1.(xx·河西區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)2sin·cossin 2x1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出取得最值時的x值.解(1)函數(shù)f(x)2sincossin 2x1sinsin 2x1cos 2xsin 2x12sin1，令2k2x2k，求得kxk，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)2sin12cos1的圖象，在區(qū)間上，2x，故當(dāng)2x時，即x時，函數(shù)取得最小值213；當(dāng)2x，即x0時，函數(shù)取得最大值1.2.已知函數(shù)f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，可知函數(shù)f(x)在(kZ)上單調(diào)遞增；令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，可知函數(shù)f(x)在(kZ)上單調(diào)遞減.所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，f ，f ，f ，所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.3.(xx·天津)已知函數(shù)f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.解(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.設(shè)A，B，易知AB.所以當(dāng)x時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.4.(xx·宣城二模)已知向量m(2acos x，sin x)，n(cos x，bcos x)，函數(shù)f(x)m·n，函數(shù)f(x)在y軸上的截距為，函數(shù)f(x)與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移(0)個單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)ysin x的圖象，求的最小值.解(1)f(x)m·n2acos2xbsin xcos x，由f(0)2a，得a，此時，f(x)cos 2xsin 2x，由f(x)1，得b1或b1，當(dāng)b1時，f(x)sin，經(jīng)檢驗(yàn)為最高點(diǎn)；當(dāng)b1時，f(x)sin，經(jīng)檢驗(yàn)不是最高點(diǎn)，故舍去.故函數(shù)的解析式為f(x)sin.(2)函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)ysin的圖象；橫坐標(biāo)伸長到原長的2倍后，得到函數(shù)ysin的圖象，所以22k(kZ)，k(kZ)，因?yàn)?，所以的最小值為.5.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)cos x的圖象經(jīng)如下變換得到：先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；(2)已知關(guān)于x的方程f(x)g(x)m在0，2)內(nèi)有兩個不同的解，.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.證明：cos()1.(1)解將g(x)cos x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)2cos x的圖象，再將y2cos x的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)2cos的圖象，故f(x)2cos2sin x.從而函數(shù)f(x)2sin x圖象的對稱軸方程為xk(kZ).(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依題意，sin(x)在0，2)內(nèi)有兩個不同的解，當(dāng)且僅當(dāng)1，故m的取值范圍是(，).證明因?yàn)?，是方程sin(x)m在0，2)內(nèi)的兩個不同的解，所以sin()，sin() .當(dāng)0m時，2，即2()；當(dāng)m0時，2，即32()，所以cos()cos 2()2sin2()12211.