2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷.以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，以能力測試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、直線圓的位置關(guān)系，數(shù)列等；【題文】一、選擇題【題文】1全集,集合，則（ ） A. B. C. D.【知識點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1【答案解析】B A=x，則=x故選B.【思路點(diǎn)撥】先求出集合A再求?！绢}文】2已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位），則的虛部為 （ ） A. B . C. D. 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算L4【答案解析】C i4=1，ixx=（i4）503i2=-1z= =-i=-+i，其虛部為故選：C【思路點(diǎn)撥】利用i4=1，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出 【題文】3已知等差數(shù)列，若，則 （ ）A. 24 B. 27 C . 15 D. 54 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和D2【答案解析】B 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3，S9=9a5=27故選：B【思路點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解?！绢}文】4若，則（ ） A. B. C . D.【知識點(diǎn)】二倍角公式C6【答案解析】C cos(2x-)=1-=故選C?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)二倍角公式求解【題文】5若的解集為且函數(shù)的最大值為-1，則實(shí)數(shù)的值為 A. 2 B . C. 3 D. （ ）【知識點(diǎn)】指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B6 B7【答案解析】B ：ax1的解集為x|x0，0a1，y= (x+)的最大值為-1，x+2，a-1=2，a=，故選：B【思路點(diǎn)撥】先確定0a1，再利用y= (x+)的最大值為-1，x+ 2，即可求出實(shí)數(shù)a的值【題文】6.若某多面體的三視圖(單位：cm), 如圖所示， 其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形，則 此多面體的表面積是（ ）A. B. C. 15 D. 【知識點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】B 由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形在等腰三角形ABC中，CDAB，CD=4，AB=6，AC=BC= =5PC底面ABC，PCAC，PCBC，PCCDS表面積=2××5×4+×6×4+×6×4=32+12故答案為B【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形據(jù)此即可計(jì)算出答案【題文】7若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為 （ ）A . B . C . D. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】A 由函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y=3x-2，得f（1）=3，f（1）=1又函數(shù)g（x）=x2+f（x），g（x）=2x+f（x），則g（1）=2×1+f（1）=2+3=5g（1）=12+f（1）=1+1=2函數(shù)g（x）=x2+f（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1）處的切線方程為y-2=5（x-1）即5x-y-3=0故答案為：A【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y=3x-2，可得f（1）=3，f（1）=1，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再求出g（1）和g（1），則由直線方程的點(diǎn)斜式可求函數(shù)g（x）=x2+f（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1） 處的切線方程【題文】8已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個取值為（ ） A. 0 B. C . D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì)C4【答案解析】B f（x）=sin（x+）+cos（x+）= sin（x+）函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，+=+k（kZ）=+k（kZ）當(dāng)k=0時，=故選B【思路點(diǎn)撥】利用兩角和的正弦公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式得+=+k（kZ），進(jìn)而求出的值【題文】9設(shè)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則 （ ） A. B . C . D. 【知識點(diǎn)】指數(shù)對數(shù)B6 B7【答案解析】D x=log510=log55+log521+ =1+=z，y= = = z，xzy，故選：D【思路點(diǎn)撥】分別利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可【題文】10定義在R上的函數(shù)是增函數(shù)，且對任意的恒有，若實(shí)數(shù) 滿足不等式組，則的范圍為 （ ）A. B . C . D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】C f（x）=-f（2-x），-f（x）=f（2-x），f（a2-6a+23）+f（b2-8b）0可化為f（a2-6a+23）-f（b2-8b）=f（2-b2+8b），又f（x）在R上單調(diào)遞增，a2-6a+232-b2+8b，即a2-6a+23+b2-8b-20，配方可得（a-3）2+（b-4）24，原不等式組可化為，如圖，點(diǎn)（a，b）所對應(yīng)的區(qū)域?yàn)橐裕?，4）為圓心，2為半徑的右半圓（含邊界），易知a2+b2表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（0，0）的距離的平方，由圖易知：|OA|2a2+b2|OB|2，可得點(diǎn)A（3，2），B（3，6）|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45，13m2+n245，即m2+n2的取值范圍為13，45故選：C【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的性質(zhì)可化原不等式組為，a2+b2表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（0，0）的距離的平方，數(shù)相結(jié)合可得答案【題文】11三棱錐的四個頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且, 平 面平面，則三棱錐的體積的最大值為 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【知識點(diǎn)】棱柱與棱錐G7【答案解析】B 根據(jù)題意：半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2，ABC為截面為大圓上三角形，設(shè)圓形為O，AB的中點(diǎn)為N，ON=1平面PAB平面ABC，三棱錐P-ABC的體積的最大值時，PNAB，PN平面ABC，PB=，三棱錐P-ABC的體積的最大值為××（2）2×=3，故選：B【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用題意判斷出三棱錐P-ABC的體積的最大值時，幾何體的性質(zhì)，在求解體積的值【題文】12在中，是的內(nèi)心，若,其中，則動點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為 （ ） A. B . C . D. 【知識點(diǎn)】單元綜合F4【答案解析】B 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，其面積為BOC面積的2倍在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入數(shù)據(jù)，解得BC=7，設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsinA=(a+b+c)r，解得r=，所以SBOC=×BC×r=×7×=，故動點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2SBOC=故答案為B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，其面積為BOC面積的2倍 第II卷（非選擇題，共90分）【題文】二、填空題【題文】13已知兩點(diǎn)，向量，若，則實(shí)數(shù)k的值為 【知識點(diǎn)】平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算F2【答案解析】 兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，3），向量=（2k-1，2），=（2，3），3（2k-1）=4，解得：k=故答案為：【思路點(diǎn)撥】求出AB向量，然后利用向量的平行，求出k的值即可【題文】14已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是, 用由此可類比得到各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)積 （表示）【知識點(diǎn)】等比數(shù)列等差數(shù)列D2 D3【答案解析】 在等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積Tn= 故答案為：【思路點(diǎn)撥】由等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果，在運(yùn)用類比推理時，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積【題文】15若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【知識點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4【答案解析】-3，1 由題意可得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，化簡得|a+1|2，故有-2a+12，求得-3a1，故答案為：-3，1【思路點(diǎn)撥】由題意可得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，即 ，解絕對值不等式求得實(shí)數(shù)a取值范圍【題文】16已知函數(shù)，給出如命題：是偶函數(shù)；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上有3個零點(diǎn)；當(dāng)時，恒成立；其中正確的命題序號是 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】 對于，顯然定義域?yàn)镽，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以為真命題；對于，f（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，當(dāng)x0，時，f（x）0，此時函數(shù)為增函數(shù)，故為假命題；對于，令f（x）=0，所以=-tanx，做出y=及y=-tanx在-，上的圖象可知，它們在-，上只有兩個交點(diǎn)，所以原函數(shù)在-，有兩個零點(diǎn)，故為假命題；對于，要使當(dāng)x0時，f（x）x2+1恒成立，只需當(dāng)x0時，f（x）-x2-10恒成立，即y=xsinx+cosx-x2-10恒成立，而y=xcosx-2x=（cosx-2）x顯然小于等于0恒成立，所以該函數(shù)在0，+）上遞減，因此x=0時ymax=0+cos0-1=0，故當(dāng)x0時，f（x）x2+1恒成立，故為真命題故答案為【思路點(diǎn)撥】利用偶函數(shù)的定義判斷；利用導(dǎo)數(shù)求解，導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間；研究極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號；轉(zhuǎn)化為f（x）-（x2+1）0恒成立，因此只需求左邊函數(shù)的最大值小于0即可【題文】三、解答題【題文】17已知集合函數(shù)的定義域?yàn)榧螧.(1) 若a=1,求集合；(2) 已知a>-1,且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！局R點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1【答案解析】（1）x|1x2或3x5（2）a1+（1）若a=1，則A=x|（x-1）（x-5）0=x|1x5，函數(shù)y=lg =lg，由0，解得2x3，即B=（2，3），則RB=x|x2或x3，則ARB=x|1x2或3x5，（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根為x=1或x=2a+3，若a-1，則2a+31，即A=x|（x-1）（x-2a-3）0=x|1x2a+3由0得（x-2a）x-（a2+2）0，a2+2-2a=（a-1）2+10，a2+22a（x-2a）x-（a2+2）0的解為2axa2+2，即B=x|2axa2+2若xA”是“xB”的必要不充分條件則BA，即且等號不能同時取，即，則，即a1+【思路點(diǎn)撥】（1）求解集合AB根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論（2）求出集合A，B，根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系即可得到結(jié)論【題文】18數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【知識點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3【答案解析】（1）an=（-3）n-1（2）-(+)(-3)n（1）an+1=-4Sn+1，a1=1，Sn=，an=Sn-Sn-1=-=，4an=an-an+1，an+1=-3an，=-3，a1=1，an=（-3）n-1（2）bn=nan=n（-3）n-1，Tn=1（-3）0+2（-3）+3（-3）2+n（-3）n-1，-3Tn=1（-3）+2（-3）2+3（-3）3+n（-3）n，-，得：4Tn=（-3）0+（-3）+（-3）2+（-3）n-1-n（-3）n=-n（-3）n=-(+n)(-3)n，Tn=-(+)(-3)n【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件得Sn= ，從而得到an=Sn-Sn-1=，所以=-3，再由a1=1，能求出an=（-3）n-1（2）由bn=nan=n（-3）n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn【題文】19已知分別是三角形的三個內(nèi)角A，B，C的對邊， .（1）求角A的大小; （2）求函數(shù)的值域.【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】（1）（2）（1，2（1）由題意得（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=A是三角形的內(nèi)角，所以A=（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin（B+），而B+，所以函數(shù)y=2sin（B+）的值域（1，2【思路點(diǎn)撥】（1）通過向量的平行，利用共線，通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡，求出A的余弦值，然后求角A的大??；（2）通過函數(shù)y=sinB+sin(C-)，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化為鐵公雞的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合B的范圍，直接求解函數(shù)的值域【題文】20已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線與圓C相切.（1）求圓C的方程； （2）過點(diǎn)的直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)，且時，求三角形的面積.【知識點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4【答案解析】（I）（x-2）2+y2=4（II）（I）設(shè)圓心為C（a，0），（a0），則圓C的方程為（x-a）2+y2=4因?yàn)閳AC與3x-4y+4=0相切，所以=2，解得：a=2或a=-（舍），所以圓C的方程為：（x-2）2+y2=4 （II）依題意：設(shè)直線l的方程為：y=kx-3，由得（1+k2）x2-（4+6k）x+9=0，l與圓C相交于不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），=（4+6k2）-4（1+k2）×90，且x1+x2=，x1x2=，y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1x2)+9=-+9，又x1x2+y1y2=3，+-+9=3，整理得：k2+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）直線l的方程為：y=x-3圓心C到l的距離d=，在ABC中，|AB|=2=14，原點(diǎn)O到直線l的距離，即AOB底邊AB邊上的高h(yuǎn)=，SAOB=|AB|h=【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)圓心為C（a，0），（a0），可得圓C的方程的方程再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得a的值，可得圓C的方程（II）依題意：設(shè)直線l的方程為：y=kx-3，代入圓的方程化簡，里哦也難怪根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，x1x2=，再由x1x2+y1y2=3，求得k的值，可得直線l的方程求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值，再由SAOB=|AB|h，計(jì)算求得結(jié)果【題文】21.在四棱錐中，平面平面,在銳角中,并且 ,（1）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面； （2）若與平面成角，當(dāng)面面時，求點(diǎn)到平面的距離.【知識點(diǎn)】空間向量及運(yùn)算G9【答案解析】（1）略（2）法一（1）BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得BDAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD面ABCD，BD平面PADBD面MBD，平面MBD平面PAD（2）如圖，BD平面PAD，平面PBD平面PAD，APD=60°，做PFAD于F，PF面ABCD，PF=2，設(shè)面PFC面MBD=MN，面MBD平面ABCD面PF面MBD，PFMN，取DB中點(diǎn)Q，得CDFQ為平行四邊形，由平面ABCD邊長得N為FC中點(diǎn)，MN=PF=法二（1）同一（2）在平面PAD過D做AD垂線為z軸，由（1），以D為原點(diǎn)，DA，DB為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PBD法向量為=(x，y，z)，設(shè)P（2，0，a），銳角PADa2，由=0，=0，解得=(-a，0，2)，=(2，0，-a)，|cos，|=，解得a=2或a=2（舍）設(shè)=，解得M(2-4，4，2-2)面MBD平面ABCD，ADBD，面MBD法向量為=(0，0，4)，=0，解得=，M到平面ABD的距離為豎坐標(biāo) 【思路點(diǎn)撥】法一：（1）通過證明平面MBD內(nèi)的直線BD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，證明直線與平面垂直然后證明兩個平面垂直（2）PA與平面PBD成角60°，面MBD平面ABCD時，做PFAD于F，PFMN，然后求點(diǎn)M到平面ABCD的距離法二：（1）同法一；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可【題文】22.已知函數(shù)，. （1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；（2） 是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析（1）a-2（2）（1，）（1）當(dāng)a=0時，f（x）=2x在1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a0時，y=f（x）的對稱軸方程為x=- ，y=f（x）在1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a0時，函數(shù)y=f（x）在1，+）上是單調(diào)減函數(shù)，則- 1，解得a-2，綜上，a的取值范圍是a-2；（2）把方程=f（x）-（2a+1）整理為=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，設(shè)H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x0），則原問題等價于函數(shù)H（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn)H（x）=2ax+（1-2a）-=，令H（x）=0，因?yàn)閍0，解得x=1或x=-（舍），當(dāng)x（0，1）時，H（x）0，H（x）是減函數(shù)；當(dāng)x（1，+）時，H（x）0，H（x）是增函數(shù)H（x）在（，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點(diǎn)，只需，即0<a<， 所以a的取值范圍是（1，）【思路點(diǎn)撥】（1）函數(shù)y=f（x）在1，+）上是單調(diào)減函數(shù)，則1，+）為函數(shù)f（x）的減區(qū)間的子集，分a=0，a0，a0三種情況討論即可；（2）把方程=f（x）-（2a+1）整理為=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，設(shè)H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x0），則原問題等價于函數(shù)H（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有且只有兩個零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)H（x）的單調(diào)性、最小值，求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，借助圖象可得不等式組，解出即可；