2022年高三數(shù)學總復(fù)習 點到直線的距離教案 理

2022年高三數(shù)學總復(fù)習 點到直線的距離教案 理教材分析點到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛點到直線的距離是指由點向直線引垂線的垂線段的長我們知道，求點到點的距離，有“工具”兩點間的距離公式可用，同樣有必要創(chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點到直線的距離問題，也就是說：已知點P（x1，y1）和直線l：AxByC0，（A，B不全為0），目標是設(shè)法用已知的量x1，y1，A，B，C把點P到l的距離表示出來，當作公式用教材上公式的推導(dǎo)運用了兩點間的距離公式，具體做法是作直線m過點P與l垂直，設(shè)垂足為Po（xo，yo），Po滿足直線m的方程，也滿足直線l的方程，將Po的坐標分別代入直線m和直線l的方程，通過恒等變形利用兩點間的距離公式，推出點到直線的距離公式這種方法思路清晰，學生易于接受，但恒等變形較抽象，學生難于掌握，故教學中應(yīng)注意啟發(fā)學生怎樣想到這樣變形這樣既可以活躍學生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力公式的推導(dǎo)方法還有很多，對學有余力的同學可加以啟發(fā)，展開討論，以培養(yǎng)其數(shù)學思維能力這節(jié)課的重點是理解和掌握點到直線的距離公式，并能熟練地應(yīng)用公式求點到直線的距離，難點是點到直線的距離公式的推導(dǎo)教學目標1. 通過探索點到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學生探索與研究問題能力2. 理解和掌握點到直線的距離公式，體會知識發(fā)生、發(fā)展、運用的過程，數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生科學的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力任務(wù)分析這節(jié)課是在學習了“兩點間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的，通過復(fù)習兩直線垂直、兩直線相交及兩點間的距離公式，學生容易想到把點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題為了利用兩點間的距離公式，須要求垂足的坐標若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標，想法自然，但求解較繁，為了簡化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決問題，簡單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點間的距離公式與點到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵本課通過觀察、分析掌握兩點間距離公式的特點，總結(jié)應(yīng)用兩點間距離公式的步驟；通過例題和練習使學生掌握并能應(yīng)用兩點間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力教學設(shè)計一、問題情境1. 某供電局計劃年底解決本地區(qū)一個村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設(shè)計好的坐標圖（以供電局為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為軸的正半軸，長度單位為km），則這個村莊的坐標是（15，20），它附近只有一條線路通過，其方程為3x4y100問：要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？這實際上是一個求點到直線的距離問題，那么什么是點到直線的距離，如何求村莊到線路的距離呢？2. 在學生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學生各種的求法，得常見求法如下：（1）設(shè)過點P（15，20）與l：3x4y100垂直的直線為m，易求m的方程為4x3y1200由解得即m與l的交點由兩點間的距離公式，得故要完成任務(wù)，至少需要9km長的電線（2）設(shè)直線l：3x4y100與x軸的交點為Q，則Q（，0）在直線l上任取一點M（0，），易讓向量（，）與向量n（3，4）垂直設(shè)向量與向量n的夾角為，點P到直線l的距離為d，由向量的數(shù)量積的定義易知（3）設(shè)過點P（15，20）與l：3x4y100垂直的直線為，易求的方程為4（x15）3（y20）0設(shè)垂足為Po（xo，yo），則4（xo15）3（yo20）0，又因為點Po在l上，所以3xo4yo100，即3xo4yo10，而3×154×20103×154×203xo4yo3（xo15）4（yo20），即3（xo15）4（yo20）45 把等式和等式兩邊相加，得25（xo15）2（yo20）2452，（xo15）2（yo20）2，3. 教師展現(xiàn)學生們的求法，師生共同點評各種求法，得出：求垂線與直線的交點坐標，再用兩點間的距離公式使問題得解，想法雖自然，但計算量較大；不求垂足的坐標，設(shè)出垂足的坐標代入直線方程，進而通過等式變形，利用兩點間的距離公式求得結(jié)果，想法既巧妙，又簡單明了二、建立模型設(shè)坐標平面上（如圖24-1），有點P（x1，y1）和直線l：AxByC0（A，B不全為0）我們來尋求點到直線l距離的算法作直線m通過點P（x1，y1），并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0（x0，y0）容易求得直線m的方程為B（xx1）A（yy1）0由此得B（x0x1）A（y0y1）0由點P0在直線l上，可知Ax0By0C0，即CAx0By0所以Ax1By1CAx1By1Ax0By0，即A（x1x0）B（y1y0）Ax1By1C把等式和兩邊平方后相加，整理可得（A2B2）（x1x0）2（y1y0）2（Ax1By1C）2，即（x1x0）2（y1y0）2容易看出，等式左邊即為點P（x1，y1）到直線l距離的平方由此我們可以得到點P（x1，y1）到直線l的距離d的計算公式：歸納求點P（x1，y1）到直線l：AxByC0的距離的計算步驟如下：（1）給出點的坐標x1和y1賦值（2）給A，B，C賦值（3）計算注意：（1）在求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式（2）當直線與x軸或y軸平行時，公式也成立，但此時求距離一般不用公式三、解釋應(yīng)用例題1. 求點P（1，2）到下列直線的距離：l1：2xy5，l2：3x2注意：規(guī)范解題格式2. 求兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC2，（C1C2）之間的距離分析：求兩條平行線間的距離，就是在其中一條直線上任取一點，求該點到另一條直線的距離解：在l1上任取一點P（x1，y1），則Ax1ByC1，點P到l2的距離d3. 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，證明：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高解：以等腰三角形底邊所在的直線為x軸，底邊上的高所在的直線為軸，建立直角坐標系（如圖24-2）不妨設(shè)底邊AB2a，高OCb，則直線AC：即bxayab0；直線BC：，即bxayab0，點B（a，0）在線段AB上任取一點D（m，0），則amad1d2，即等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高練習1. 求下列點到直線的距離（1）0（0，0），l1：3x4y50（2）A（1，0），l2：xy0（3）B（1，2），l3：3xy0（4）C（2，3），l4：y702. 求兩條平行直線2x3y80和2x3y180之間的距離3. （1）求過點A（1，2），且與原點的距離為的直線方程（2）若點P（x，y）在直線xy40上，O為原點，求OP的最小值（3）若ABC的三頂點分別為A（7，8），B（0，4），C（2，4），求ABC的面積（4）求點P（0，1）關(guān)于直線x2y10的對稱點的坐標（5）求直線2x11y160關(guān)于點P（0，1）對稱的直線方程四、拓展延伸1. 點到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實際問題中的應(yīng)用嗎？2. 點到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對學有余力的同學可探索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法（1）如圖，已知點P0（x0，y0），直線l：AxByC0，求點P0到直線l的距離不妨設(shè)A0，B0，這時l和x軸、y軸都相交過點P0作直線l的垂線，交l于Q令P0Qd，過P0作x軸的平行線交l于R（x1，y0），作y軸的平行線交l于S（x0，y2）由Ax1By0C0，Ax0By2C0得易證A0或B0，公式也成立（2）點到直線的距離公式也可用向量的知識求得，此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系，比其他方法更簡單，直觀，易懂求法如下：如圖24-4，證明向量n（A，B）與直線l垂直不妨設(shè)A0，直線l與x軸的交點是Q（，0）如果P1（x1，y1）是直線l上不同于Q的點，則Ax1By1C0A（x1）B（y10）0，即（A，B）·（x1，y10）0，向量n（A，B），與向量（x1，y10）垂直，即向量n與直線l垂直求點P0到直線l的距離d由數(shù)量積的定義，如果向量與向量n的夾角為，那么易證當A0或B0時，公式也成立點評這節(jié)課首先通過實例闡述了點到直線距離的產(chǎn)生背景，并通過學生思考討論，歸納和概括出了求點到直線的距離的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推導(dǎo)點到直線距離公式的方法這種安排充分體現(xiàn)了新課程標準的教學理念，符合新課程標準精神例題與練習的設(shè)計由淺入深，完整，全面解釋應(yīng)用深有新意，有深度拓展延伸活躍了學生思維，培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力總之，這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學教育發(fā)展的一絲新理念