2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想 融會貫通教學(xué)案

指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想·融會貫通第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得到解決的思想構(gòu)建方程或方程組，通過解方程或方程組或運用方程的性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的思想函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān)方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進行研究，方程f(x)a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系函數(shù)與方程思想在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用例1(2019·煙臺三模)已知f(x)log2x，x2,16，對于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實數(shù)m，使x2mx42m4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析D因為x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即為m(x2)(x2)20恒成立設(shè)g(m)(x2)m(x2)2，則此函數(shù)在區(qū)間1,4上恒大于0，所以即解得x2或x2.函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解活學(xué)活用1(2019·貴陽三模)設(shè)0a1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea1的大小關(guān)系為()Aea1aaeBaeaea1Caeea1a Daea1ae解析：B設(shè)f(x)exx1，x0，則f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0a1)在R上是減函數(shù)，得aae，從而ea1aae.函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例2(2020·蘭州模擬)設(shè)an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值_解析an為等差數(shù)列，則S44a16d4a16，S22a11，S1a1.又SS1·S4知，(2a11)2a1(4a16)，a1.答案1應(yīng)用方程的思想求等差(或等比)數(shù)列中的通項時，根據(jù)題中的條件，列出關(guān)于首項和公差(或公比)的方程組，通過解方程組求出數(shù)列的首項和公差(或公比)，再根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項公式寫出an.2根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是常用的解題思路活學(xué)活用2已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_解析：ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33，故n1.注意到對勾函數(shù)的單調(diào)性，易得n5或n6時，最小，而，故最小值為.答案：二數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點例1已知函數(shù)f(x)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析D函數(shù)f(x)恰有3個零點，則3a在x2時有且只有一個實數(shù)根，且ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根由3a在x2時有且只有一個實數(shù)根，得23a1，即a；ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根，令g(x)xex，則g(x)ex(x1)，當(dāng)x(2，1)時，g(x)0，當(dāng)x(1,0)時，g(x)0，所以函數(shù)g(x)在(2，1)上單調(diào)遞減，在(1,0)上單調(diào)遞增，當(dāng)2x0時，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，所以當(dāng)g(1)ag(2)，即a時，axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根綜上，當(dāng)a時，函數(shù)f(x)恰有3個零點，故選D.利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點：(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會得到錯解(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合活學(xué)活用1已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)是周期為2的偶函數(shù)且當(dāng)x0,1時，g(x)2x1，則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)是()A5 B6C7 D8解析：B在同一坐標(biāo)系中作出yf(x)和yg(x)的圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)x0時，有4個零點，當(dāng)x0時，有2個零點，所以一共有6個零點應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解不等式、參數(shù)問題例2設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0的解集是_解析設(shè)F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)f(x)·g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)又當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以x0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由圖象可知F(x)0的解集是(，3)(0,3)答案(，3)(0,3)求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答活學(xué)活用2當(dāng)x(1,2)時，(x1)2logax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意可知a1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y(x1)2，x(1,2)及ylogax的圖象，若ylogax過點(2,1)，得loga21，所以a2.根據(jù)題意，函數(shù)ylogax，x(1,2)的圖象恒在y(x1)2，x(1,2)的上方，所以1a2.答案：(1,2利用數(shù)形結(jié)合求最值問題例3(1)(2019·泉州三模)記實數(shù)x1，x2，xn中最小數(shù)為minx1，x2，xn，則定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)f(x)minx21，x3,13x的最大值為()A5 B6C8 D10解析C在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)yx21，yx3，y13x的圖象如圖：由圖可知，在實數(shù)集R上，minx21，x3,13x為yx3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線y13x點C下方的部分的組合圖顯然，在區(qū)間0，)上，在C點時，yminx21，x3,13x取得最大值解方程組得點C(5,8)所以f(x)max8.(2)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m,0)(m0)若圓C上存在點P，使得APB90°，則m的最大值為()A7 B6C5 D4解析B根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因為APB90°，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.運用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問題(1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題，應(yīng)分析各個變量的變化過程，找出其中的相互關(guān)系求解(2)應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：比值可考慮直線的斜率；二元一次式可考慮直線的截距；根式分式可考慮點到直線的距離；根式可考慮兩點間的距離活學(xué)活用3(2019·南昌三模)若x，y滿足約束條件則的最大值為_解析：畫出可行域，如圖所示，z表示可行域內(nèi)的點和定點F(6,6)連線的斜率，顯然直線AF的斜率最大，kAF3，即的最大值是3.答案：3第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想一分類討論思想分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略，對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度由概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論例1(1)(2020·山師附中模擬)已知函數(shù)f(x)若f(2a)1，則f(a)等于()A2B1C1 D2解析A當(dāng)2a2，即a0時，22a211，解得a1，則f(a)f(1)log23(1)2；當(dāng)2a2即a0時，log23(2a)1，解得a，舍去所以f(a)2.故選A.(2)(2020·阜陽模擬)等比數(shù)列an中，a1a4a72，a3a6a918，則an的前9項和S9_.解析由題意得q29，q±3，當(dāng)q3時，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261826；當(dāng)q3時，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261814，所以S914或26.答案14或26數(shù)學(xué)概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義，直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論；(2)由除法運算中除數(shù)不為零，不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(shù)(或式)時的不等號等引起分類討論；(3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類討論活學(xué)活用1已知函數(shù)f(x)axb(a0，a1)的定義域和值域都是1,0，則ab_.解析：當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為增函數(shù)，由題意得無解當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)axb在1,0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.答案：由圖形位置或形狀引起的分類討論例2(2019·泉州三模)若雙曲線1的漸近線方程為y±x，則m的值為()A1 B.C. D1或解析B根據(jù)題意可分以下兩種情況討論：當(dāng)焦點在x軸上時，則有解得m1，此時漸近線方程為y± x，由題意，解得m.當(dāng)焦點在y軸上時，則有解得m3，此時漸近線方程為y± x，由題意，解得：m；與m3矛盾(舍去)結(jié)合以上可知m.故選B.圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論；相關(guān)計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論活學(xué)活用2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，ABC的面積為，則a的值為_解析：由三角形面積公式，得×3×1·sin A，故sin A.因為sin2Acos2A1，所以cos A±± ±.當(dāng)cos A時，由余弦定理，得a2b2c22bccos A32122×1×3×8，所以a2.當(dāng)cos A時，由余弦定理，得a2b2c22bccos A32122×1×3×12，所以a2.綜上所述，a2或2.答案：2或2由變量或參數(shù)引起的分類討論例3(2019·濰坊三模節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的單調(diào)區(qū)間解析由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a.下面分兩種情況：當(dāng)a0時，f(x)3x2a0恒成立所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當(dāng)a0時，令f(x)0，解得x或x.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如表：xf(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.幾種常見的由參數(shù)變化引起的分類與整合1含有參數(shù)的不等式的求解2含有參數(shù)的方程的求解3對于解析式系數(shù)含參數(shù)的函數(shù)，求最值或單調(diào)性問題4二元二次方程表示曲線類型的判定等5直線與圓錐曲線位置關(guān)系的分類活學(xué)活用3函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時，f(x)4x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)ax24x3a23，其對稱軸為x.當(dāng)a0時，f(x)ax24x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意當(dāng)a0時，只有當(dāng)2，即1a0時，f(x)ax24x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意綜上，當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)答案：1，)二轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而解決問題的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1(2019·長沙三模)(1)過拋物線yax2(a0)的焦點F，作一直線交拋物線于P，Q兩點若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則等于()A2a B.C4a D.解析C拋物線yax2(a0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a0)，焦點F.過焦點F作直線垂直于y軸，則|PF|QF|，4a.(2)(2017·浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析由題意，不妨設(shè)b(2,0)，a(cos ，sin )，則ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )令y|ab|ab|，令y，則y210216,20由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案42(1)一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果(2)對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案活學(xué)活用1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則_.解析：顯然ABC為等邊三角形時符合題設(shè)條件，所以.答案：正與反的轉(zhuǎn)化例2(2019·吉林三模)若對于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立(正反轉(zhuǎn)化)由得3x2(m4)x20，即m43x，當(dāng)x(t,3)時恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得3x2(m4)x20，即m43x，當(dāng)x(t,3)時恒成立，則m49，即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為答案(1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中活學(xué)活用2由命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，得m的取值范圍是(，a)，則實數(shù)a的取值是()A(，1) B(，2)C1 D2解析：C命題“存在x0R，使e|x01|m0”是假命題，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命題，可得m的取值范圍是(，1)，而(，a)與(，1)為同一區(qū)間，故a1.主與次的相互轉(zhuǎn)化例3(2019·西安三模)已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)0，則實數(shù)x的取值范圍為_解析由題意，知g(x)3x2ax3a5，對(a)(3x)a3x25，1a1.對1a1，恒有g(shù)(x)0，即(a)0，即解得x1.故當(dāng)x時，對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)0.答案(1)本題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在1,1內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)小于0恒成立的問題(2)在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是常量，從而達(dá)到減少變元簡化運算的目的活學(xué)活用3對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_解析：設(shè)f(p)(x1)px24x3，則當(dāng)x1時，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒為正，等價于即解得x3或x1.答案：(，1)(3，)- 13 -