2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

第一講坐標(biāo)系與參數(shù)方程考點一極坐標(biāo)方程及應(yīng)用1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則2幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：r.(2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos.(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin.3幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過極點：0和0.(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cosa.(3)直線過M且平行于極軸：sinb.解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程4cos(>0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB面積S|OA|·B·sinAOB4cos·22.當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.解決極坐標(biāo)問題應(yīng)關(guān)注的兩點(1)用極坐標(biāo)系解決問題時要注意已知的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決(2)在極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的過程中，需要注意當(dāng)條件涉及“角度”和“距離”時，利用極坐標(biāo)將會給問題的解決帶來很大的便利對點訓(xùn)練(2018·福建福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線C2的方程為yx.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求.解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x2)2(y2)21，則C1的極坐標(biāo)方程為24cos4sin70，由于直線C2過原點，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為(R)(2)由得2(22)70，設(shè)A，B對應(yīng)的極徑分別為1，2，則1222，127，.考點二參數(shù)方程及應(yīng)用1圓的參數(shù)方程以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)2橢圓的參數(shù)方程橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)3直線的參數(shù)方程(1)經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)(2)若A，B為直線l上兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|·|PB|t1·t2|.角度1：參數(shù)方程與普通方程的互化解(1)曲線C的普通方程為y21.當(dāng)a1時，直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(3cos，sin)到l的距離d.當(dāng)a4時，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a8；當(dāng)a<4時，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a16.綜上，a8或a16.角度2：直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用解(1)曲線C的普通方程為1.當(dāng)cos0時，l的普通方程為ytan·x2tan，當(dāng)cos0時，l的普通方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan2.解決參數(shù)方程問題的3個要點(1)把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?2)把普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，注意參數(shù)的幾何意義及變化范圍(3)直線參數(shù)方程為(為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|PM|，P(x，y)為動點，M(x0，y0)為定點，在解決與點P有關(guān)的弦長和距離的乘積問題時廣泛應(yīng)用對點訓(xùn)練1角度1設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率；(2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍解(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，1)，所以，當(dāng)直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率為k.(2)解法一：由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1，1)，半徑為2.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)，為傾斜角)，得直線l的普通方程為y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<2，解得k>.即直線l的斜率的取值范圍為.解法二：將圓C的參數(shù)方程化成普通方程為(x1)2(y1)24，將直線l的參數(shù)方程代入式，得t22(2cos5sin)t250.當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點時，方程有兩個不相等的實根，即4(2cos5sin)2100>0，即20sincos>21cos2，兩邊同除以20cos2，得tan>，即直線l的斜率的取值范圍為.2角度2(2018·鄭州一模)已知直線l：(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值解(1)2cos，22cos，曲線C的直線坐標(biāo)方程為x2y22x，即(x1)2y21.(2)將直線l：(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，化簡得t25t180，且>0.t1t218.點M(5，)在直線l上，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，得|MA|·|MB|t1t2|18.考點三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用1對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰2對于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程計算會比較簡捷解(1)由消去參數(shù)t，得(x5)2(y3)22，所以圓C的普通方程為(x5)2(y3)22.由cos，得cossin2.可得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(2,0)，B(0,2)，化為極坐標(biāo)為A(2，)，B，設(shè)點P的坐標(biāo)為(5cost,3sint)，則點P到直線l的距離為d，所以dmin2，又|AB|2，所以PAB面積的最小值×2×24.解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題的關(guān)鍵(1)會轉(zhuǎn)化：把直線與圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時，要關(guān)注參數(shù)的取值范圍的限定，還需掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式(2)懂技巧：合理選擇直角坐標(biāo)形式運(yùn)算、極坐標(biāo)形式運(yùn)算、參數(shù)坐標(biāo)形式運(yùn)算，利用參數(shù)及其幾何意義，結(jié)合關(guān)系式尋找關(guān)于參數(shù)的方程或函數(shù)對點訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù)，0<r<4)，曲線C2：(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線C1交于點N，與曲線C2交于O，P兩點，且|PN|的最大值為2.(1)將曲線C1與曲線C2化成極坐標(biāo)方程，并求r的值(2)射線與曲線C1交于點Q，與曲線C2交于O，M兩點，求四邊形MPNQ面積的最大值解(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為x2y2r2.所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為r.將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為(x2)2(y2)28，即x2y24x4y0.所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos4sin0，即4sin.因為|PN|max|PN|maxmax2，所以r2，所以C1：2.(2)S四邊形MPNQSOPMSONQOP·OMsinON·OQ·sin×4sin×4sin××2×2×4sin42.所以當(dāng)時，四邊形MPNQ面積的最大值為42.1(2018·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解(1)由xcos，ysin得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0，經(jīng)檢驗，當(dāng)k0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當(dāng)k0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k時，l2與C2沒有公共點綜上，所求C1的方程為y|x|2.2(2018·全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時，l與O交于兩點當(dāng)時，記tank，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，<<)設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又點P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是(為參數(shù)，<<)1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用2全國課標(biāo)卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用專題跟蹤訓(xùn)練(三十二)1(2018·湖南長沙聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點分別為M，N，求C2MN的面積解(1)xcos，ysin，C1：x2的極坐標(biāo)方程為cos2，C2：(x1)2(y2)21的極坐標(biāo)方程為(cos1)2(sin2)21，化簡，得2(2cos4sin)40.(2)把直線C3的極坐標(biāo)方程(R)代入圓C2：2(2cos4sin)40，得2340，解得12，2.|MN|12|.圓C2的半徑為1，|C2M|2|C2N|2|MN|2，C2MC2N.C2MN的面積為·|C2M|·|C2N|×1×1.2(2018·洛陽聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2，已知點R.(1)以極點為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(2)設(shè)P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標(biāo)解(1)xcos，ysin，x2y22.曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.點R的直角坐標(biāo)為(2,2)(2)設(shè)點P(cos，sin)，根據(jù)題意得Q(2，sin)，即可得|PQ|2cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60°)當(dāng)30°時，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周長的最小值為4.此時點P的直角坐標(biāo)為.3(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C2的極坐標(biāo)方程為22cos30.(1)說明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為直角坐標(biāo)方程(2)C1與C2有兩個公共點A，B，定點P的極坐標(biāo)，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積解(1)將代入C2的極坐標(biāo)方程中得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24，所以C2是圓(2)將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入(x1)2y24中得224，化簡，得t2t30.設(shè)兩根分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得所以|AB|t1t2|，定點P到A，B兩點的距離之積|PA|·|PB|t1t2|3.4(2018·河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值解(1)C1的極坐標(biāo)方程是，4cos3sin24，4x3y240，故C1的直角坐標(biāo)方程為4x3y240.曲線C2的參數(shù)方程為x2y21，故C2的普通方程為x2y21.(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)N(2cos，2sin)，則點N到曲線C1的距離d(其中滿足tan)當(dāng)sin()1時，d有最小值，所以|MN|的最小值為.12