2017-2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習課學案 新人教B版選修2-2

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1、 第一章 導數(shù)及其應用 題型一　導數(shù)與曲線的切線 利用導數(shù)求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型． 例1　已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y＝f(x)在點A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值； (2)證明：當x>0時，x2

2、)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當xln 2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增． 所以當x＝ln 2時，f(x)取得極小值， 且極小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)無極大值． (2)證明　令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0. 故g(x)在R上單調(diào)遞增， 又g(0)＝1>0， 因

3、此，當x>0時，g(x)>g(0)>0，即x20，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； (4)解不

4、等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 特別要注意定義域，寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接． 例2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a)2. 解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)， ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(2，＋∞)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2)． (2)函數(shù)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定義域為R， 由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝

5、a. ①當a>0時，x1x2， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(，＋∞)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(a，)． ③當a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是單調(diào)遞增的． 綜上，a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)； a<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，)； a＝0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋

6、∞)． 跟蹤訓練2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝xlnx. 解　(1)函數(shù)的定義域是[0,2π]， f′(x)＝cos x，令cos x>0， 解得2kπ－0得x>e－1， 因此，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，e－1)． 題型

7、三　數(shù)形結(jié)合思想在導數(shù)中的應用 1．應用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號． 若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值； 否則，此根不是f(x)的極值點． 2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)求得的極植與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值； 特別地，①當f(x)在(a，b)上單調(diào)時，其最小值、最

8、大值在區(qū)間端點處取得，②當f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一個點處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例3　設

9、1－a＋b＝－a， 所以－a＝－，所以a＝.故a＝，b＝1. 跟蹤訓練3　已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的圖象如圖所示，若|x1|>|x2|，則有(　　) A．a(chǎn)>0，b>0　　　　 B．a(chǎn)<0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)>0，b<0 答案　B 解析　由f(x)的圖象易知f(x)有兩個極值點x1、x2，且x＝x1時有極小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的圖象如圖所示， ∴a<0. 又|x1|>|x2|，∴－x1>x2， ∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0， ∴b<0. 題型四　定積分及其應用 定積分的幾何意義表

10、示曲邊梯形的面積，它的物理意義表示做變速直線運動物體的位移或變力所做的功，所以利用定積分可求平面圖形的面積以及變速運動的路程和變力做功等問題．利用定積分解決問題時要注意確定被積函數(shù)和積分上下限． 例4　如圖，是由直線y＝x－2，曲線y2＝x所圍成的圖形，試求其面積S. 解　由得x＝1或x＝4，故A(1，－1)，B(4,2)，如圖所示， S＝2?dx＋?(－x＋2)dx 跟蹤訓練4　在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2，如圖所示，試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最?。? 解　面積S1等于邊長為t與t2的矩形的面積去掉曲線y＝x2與x軸、直

11、線x＝t圍成的面積， 即S1＝t·t2－?x2dx＝t3. 面積S2等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t， 即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. 所以陰影部分面積S為： S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)， 由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0， 得t＝0，或t＝. 由于當00， 所以S(t)在0