2017-2018版高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標準方程（二）學案 北師大版選修2-1

1.1橢圓及其標準方程(二)學習目標加深理解橢圓定義及標準方程，能夠熟練求解與橢圓有關的軌跡問題.知識點橢圓標準方程的認識與推導思考1橢圓標準方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么？思考2依據(jù)橢圓方程，如何確定其焦點位置？思考3觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程較簡單？并寫出求解過程.梳理(1)橢圓的標準方程的形式焦點位置形狀、大小焦點坐標標準方程焦點在x軸上形狀、大小相同a>b>0，b2a2c2，焦距為2cF1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)1(a>b>0)焦點在y軸上F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)1(a>b>0)(2)方程Ax2By21表示橢圓的充要條件是_.(3)橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間的關系為_.類型一橢圓標準方程的確定例1求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，2)和B(2，1)兩點的橢圓的標準方程.反思與感悟求解橢圓的標準方程，可以利用定義，也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法時，一定要結合題目條件，其次需注意橢圓的焦點位置.跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(，)；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩點(0,2)和(1,0).類型二相關點法在求解橢圓方程中的應用例2如圖，在圓x2y24上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡. 引申探究若本例中“過點P作x軸的垂線段PD”，改為“過點P作y軸的垂線段PD”.那么線段PD的中點M的軌跡又是什么？反思與感悟如果一個動點P隨著另一個在已知曲線上運動的動點Q而運動，則求P點的軌跡方程時一般用轉(zhuǎn)代法來求解.基本步驟為(1)設點：設所求軌跡上動點坐標為P(x，y)，已知曲線上動點坐標為Q(x1，y1).(2)求關系式：用點P的坐標表示出點Q的坐標，即得關系式(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得方程化簡即可.跟蹤訓練2如圖所示，B點坐標為(2,0)，P是以O為圓心的單位圓上的動點，POB的平分線交直線PB于點Q，求點Q的軌跡方程. 1.若方程y21表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍為()A.(1，) B.(，)C.1，) D.(，1)2.設B(4,0)，C(4,0)，且ABC的周長等于18，則動點A的軌跡方程為()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)3.已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點.若AB的中點坐標為(1，1)，則橢圓E的方程為_.4.在橢圓y21中，有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個運動過程中經(jīng)過的路程為_.5.ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且b6，求頂點B的軌跡方程.1.兩種形式的橢圓的標準方程的比較如下表：標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)不同點圖形焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)相同點定義平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合a、b、c的關系a2b2c22.所謂橢圓的標準方程，指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；在1與1這兩個標準方程中，都有a>b>0的要求，如方程1(m>0，n>0，mn)就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標準方程，可與直線截距式1類比，如1中，由于a>b，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點在x軸上(即看x2，y2分母的大小).要區(qū)別a2b2c2與習慣思維下的勾股定理c2a2b2.提醒：完成作業(yè)第三章§11.1(二)答案精析問題導學知識點思考1標準方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸或y軸上.標準方程的代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關于與的平方和，并且分母為不相等的正值.思考2把方程化為標準形式，與x2，y2相對應的分母哪個大，焦點就在相應的軸上.思考3(1)如圖所示，以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy. (2)設點：設點M(x，y)是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).(3)列式：依據(jù)橢圓的定義式|MF1|MF2|2a列方程，并將其坐標化為2a.(4)化簡：通過移項、兩次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，為使方程簡單、對稱、便于記憶，引入字母b，令b2a2c2，可得橢圓標準方程為1(a>b>0).(5)從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解(x，y)為坐標的點到橢圓的兩個焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之和為2a，即以方程的解為坐標的點都在橢圓上.由曲線與方程的關系可知，方程是橢圓的方程，我們把它叫作橢圓的標準方程.梳理(2)A>0，B>0且AB(3)a2b2c2題型探究例1解方法一(1)當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為1(a>b>0)，依題意有解得故所求橢圓的標準方程為1.(2)當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為1(a>b>0)，依題意有解得此時不符合a>b>0，所以方程組無解.故所求橢圓的標準方程為1.跟蹤訓練1解(1)橢圓的焦點在y軸上，設它的標準方程為1(a>b>0).由橢圓的定義知：2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求的橢圓的標準方程為1.(2)橢圓的焦點在y軸上，設它的標準方程為1(a>b>0).又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，所求的橢圓的標準方程為x21.例2解設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則xx0，y.因為點P(x0，y0)在圓x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以點M的軌跡是一個焦點在x軸上的橢圓.引申探究解設M(x，y)，P(x0，y0)，則xy4，(*)代入(*)式得x21.故點M的軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓.跟蹤訓練2解由三角形角平分線性質(zhì)得2.2.設Q(x，y)，P(x0，y0)，則(x2，y)2(x0x，y0y)，又點P在單位圓x2y21上.()2(y)21.點Q的軌跡方程為y21.當堂訓練1.A2.A3.14.45.解以直線AC為x軸，AC的中點為原點，建立直角坐標系，設A(3,0)，C(3,0)，B(x，y)，則|BC|AB|ac2b2|AC|12，B點的軌跡是以A，C為焦點的橢圓，且a6，c3，b227.故所求的軌跡方程為1(y0).7