高三數(shù)學 不等式的性質、不等式證明 知識精講 通用版

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1、 高三數(shù)學 不等式的性質、不等式證明 知識精講 通用版 【本講主要內容】 不等式的性質、不等式證明 【知識掌握】 【知識點精析】 實數(shù)集與數(shù)軸間一一對應關系，數(shù)軸上任意兩點所對應的實數(shù)都有大小之別（右邊的點對應的實數(shù)較大），任取兩實數(shù)a、b，a＞b，a＝b，a＜b三者中有且只有一式成立：a＞ba－b＞0，a＝ba－b＝0，a＜ba－b＜0。 在不等式的意義的基礎上總結出的不等式的性質是我們證明不等式的理論基礎，要熟練掌握。 對不等式的證明，從思想方法上，有如下四種： 1. 比較法，這是直接利用不等式的意義：A＞BA－B＞0等等，有時為方便計

2、，也使用其變種：A＞B等等。 2. 分析法，從結論的需要出發(fā)，看條件是否能提供，如原來證明AB，我們就由BCD…A，也有稱之為“執(zhí)果索因”的，只是書寫時必須要注意，切不可寫為：∵B ∴C ∴D …，∴A由已知，命題成立，因為這樣實際上是證明了逆命題，與原命題正確與否不相干。 3. 綜合法，也有稱為“執(zhí)因索果”的，是由已知條件或定理出發(fā)，逐次推出結論成立。 4. 反證法，當正面證明不易奏效時，不妨考慮反證法，特別地，有“存在”、“至少”等詞語的問題中，往往收到奇效。 其它還有判別式法，放縮法，函數(shù)法，換元法，有時也采用數(shù)學歸納法等。 證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、

3、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設、條件的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的。 在諸多方法中，最基本的方法是比較法，它的一般步驟是：作差（商）→變形→判斷符號（值）。變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述，如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。 綜合法也是常用的方法之一，在證明時常常用到如下公式： （1）≥2ab（a，b∈R） （2）≥ （3）≥2（a·b>0） （4

4、）≥ （5）若a，b∈R，則||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 【解題方法指導】 例1. 設a＞0，b＞0，求證：（）（）≥a+b。 剖析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明。 證法一：左邊－右邊＝－（＋） ＝ ＝＝≥0。 ∴原不等式成立。 證法二：左邊＞0，右邊＞0， ＝＝≥＝1。 ∴原不等式成立。 評述：用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二。要注意的是，作差對兩個式的值的符號沒有要求，作差后的式子與0進行大小比較；而作商

5、通常對兩個式子的值的符號有要求，作商后的式子與1進行大小比較。 例2. a1、b1、a2、b2 ∈R，求證：（a12+a22）（ b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 剖析：這是“柯西不等式”在n＝2時的特殊情況，我們利用它來回顧一下常用的幾種證明方法： 證法一（作差比較法）： 左－右＝（a12b12+a22b22+a12+b22+a22+b12）－（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）＝a12b22―2a1b2a2b1+a22b12＝（a1b2―a2b1）2≥0。 ∴原不等式成立。 證法二（判別式法）： ∵（a1x+b1）2+（a2x+b2）2≥0恒成立

6、。 ∴（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）≥0恒成立。 若a12+a22＞0，則△＝4（a1b1+a2b2）2－4（a12+a22）（b12+b22）≤0 ∴（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 若a12+a22＝0，則a1＝a2＝0，原不等式左、右均為0，也成立。 其它方法如： 分析法：左＝a12b12+a22b22+a12b22+a22b12，右＝a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要證原式，只要證明a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，即可 綜合法：∵a12b22+a22b12≥2a1a

7、2b1b2，兩邊同加a12b12+a22b22。 構造法：作向量a＝（ a1，a2），b＝（ b1， b2），由向量的數(shù)量積的性質可得 （a）2（b）2≥（a·b）2，代入坐標立得。 幾何法：在直角坐標系內取點A（a1，a2）B（b1，b2），則 OA+OB≥AB（+）2≥（）2 亦即≥－（a1b1+a2b2） 右邊為負時當然成立，非負時平方即得。 評講：這一問題的解決方法說明了不等式證明方法的多樣性及靈活性。另外，這個不等式也是一個重要的基本不等式，只不過它只是出現(xiàn)在課本的例習題中，在今后的學習中，我們也可以直接使用這個不等式解決有關問題。最后大家想一想：這樣的實數(shù)增加到3對、

8、4對……，上面的方法還都有效嗎？ 例3. 已知a>b>0，求證： 剖析：不等式的運算形式是比較復雜的，一眼看不出從哪兒下手，這時可以用分析法對不等式變形。 證明：若證原不等式成立，只要證： 只要證明，只要證 只要證，只要證 只要證，即證，即證成立 ∵a>b>0此式顯然成立，又以上各步均可逆。 ∴原不等式成立。 評講：分析可以讓我們揭開一個不等式的真面目。同學們要注意的是在使用分析法時，一定按照規(guī)范的格式書寫。 【考點突破】 【考點指要】 高考考綱要求：理解不等式的性質及其證明；掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理；掌握分析法、綜合

9、法、比較法證明簡單的不等式。 從近幾年的高考試題來看，有關不等式的試題基本上都是一道選擇題或填空題和一道解答題，解答題一般是解不等式和證明不等式，純粹本單元的試題分值逐漸減少，但在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中常涉及不等式的知識，在綜合題的解題過程中處處分布著不等式的知識、方法和技巧，理科平均約9%，文科約7%。 關于不等式證明的內容年年都有，大部分是間接考查不等式的證明，有時也直接考查。 年份 題號 分值 占總分比例 題型 考查內容 2001 20 12 8% 解答題 不等式證明與排列組合二項式定理綜合 2002全國 22 14

10、9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2002北京 18 12 8% 解答題 與立幾何結合考查不等式證明方法中的比較法 2002北京 19 12 8% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2003江蘇 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與二次函數(shù)，數(shù)列等知識綜合 2003北京 20 14 9.5% 解答題 不等式性質，證明等綜合應用 2004江蘇 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2004福建 21 12 8% 解答題 不等式證明與函數(shù)、導數(shù)等知識綜合 2004北京 20 13

11、9% 解答題 不等式證明等基本知識 2004全國 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2004遼寧 21 14 9.5% 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2004湖南 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2004重慶 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2005全國 13 4 19% 填空題 不等式與指數(shù)的綜合 19 12 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 22 12 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2006全國 22 12 8% 解答題

12、不等式證明與數(shù)列知識綜合 證明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重點，不等式證明題歷來難度大，區(qū)分度高，綜合性強，創(chuàng)新不斷，同學平時練習題與高考試題差距較大，所以我們在學習時一方面要重視對基礎知識、基本方法的復習，另一方面更要注重證明方法中蘊含的思想方法、技巧、技能。 【典型例題分析】 例4. （2002年北京）數(shù)列{xn}由下列條件確定： （Ⅰ）證明：對n≥2，總有； （Ⅱ）證明：對n≥2，總有。 證明：（Ⅰ）（均值不等式的應用—綜合法）： 由，可歸納證明 從而有，所以，當n≥2時，成立。 （Ⅱ）證法一（作差比較法）： 當

13、n≥2時，因為， 所以，故當n≥2時，成立。 證法二（作商比較法）： 當n≥2時，因為，所以 故當n≥2時，成立。 評講：此題是以數(shù)列為知識背景，把數(shù)列與不等式證明綜合起來，重點還是考查不等式證明方法中最基本的方法——綜合法和比較法。 例5. （2001，全國，理，20）已知i，m，n是正整數(shù)，且1（1+n）m 證明：（1）對于1＜i≤m，且A ＝m·…·（m－i+1）， ， 由于m＜n，對于整數(shù)k＝1，2，…，i－1，有， 所以 （2）由二項式定理有 （1+m）n

14、＝1+Cm+Cm2+…+Cmn， （1+n）m＝1+Cn+Cn2+…+Cnm， 由（1）知miA＞niA （1＜i≤m，而C＝ ∴miCin＞niCim（1＜m＜n ∴m0C＝n0C＝1，mC＝nC＝m·n，m2C＞n2C，…， mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0， ∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm， 即（1+m）n＞（1+n）m成立 評講：在第一問中一定要弄清符號Ami的意義，把要證的式子用“隔離參數(shù)”的思想變形為，再比較兩邊對應的比值即可。在第二問中要注意使用第一問的結論，把排列數(shù)之間的不等關系轉化為組合數(shù)之間的不等關系。

15、 例6. （2002江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。 （1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2； （2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； （3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。 證明：（Ⅰ）依設，對任意x∈R，都有f（x）≤1，∵f（x）＝， ∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2。 （Ⅱ）證明：必要性 對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），據(jù)此可以推出－1≤f（1）， 即a－b≥－1，∴a≥b－1； 對任意x∈［0，1］，|f（x

16、）|≤1f（x）≤1，因為b＞1， 可以推出f（）≤1，即a·－1≤1， ∴a≤2；∴b－1≤a≤2。 充分性 因為b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］，可以推出 ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1； 因為b＞1，a≤2，對任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1， 即ax－bx2≤1?！啵?≤f（x）≤1。 綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2。 （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］： f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1； f（x）≤

17、1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b＋1， a≤b＋1f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1。 評講：在證明的過程中要注意結合二次函數(shù)特殊的性質，不等式對所給區(qū)間上的任意一個值都成立，當然對一個特殊值（比如：頂點處）也成立，這樣我們就把一個一般的函數(shù)不等式變?yōu)槲覀兯枰牟缓兞縳的不等式。 【達標測試】 一. 選擇題： 1. （2006安徽4）設，已知命題；命題，則是成立的（ ） A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必

18、要條件 D. 既不充分也不必要條件 2. 如果a，b，c滿足cac B. c（b-a）>0 C. cb2

19、 C. 2個 D. 3個 5. 設a>1，0

20、. 已知，則的最大值為 ，最小值為 。 10. 設a<0，－1

21、式成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。 ⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，且給予證明。 【綜合測試】 一. 選擇題： 1. （2003年南京市質檢題）若＜＜0，則下列結論不正確的是（ ） A. a2＜b2 B. ab＜b2 C. +＞2 D. |a|+|b|＞|a+b| 2. 命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件。 命題q：函數(shù)y＝的定義域是（-∞，-13，+∞）。則（ ） A. “p或q”為假 B. “p且q”為真

22、 C. p真q假 D. p假q真 3. 若a、b為實數(shù)， 且a+b＝2， 則3a+3b的最小值為 （ ） A. 18 B. 6 C. 2 D. 2 4. 設p+q＝1， p>0， q>0， 則不等式成立的一個充分條件是（ ） A. 01 5. （2006江蘇８）設a，b，c是互不相等的三個正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（ ） A. |a-b|≤|a-c|+|b-c| B. a2+ C. |a-b|

23、+ D. 6. （2005年高考·福建卷·理11）設的最小值是（ ） A. B. C. －3 D. 7. （2005年春北京）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.［－2，］ B.（－2，） C.［－3，］ D.（－3，） 8. （2000全國）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（ ） A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D. P＜R＜Q 二. 填空題： 9. 若a＞b＞c，則+_______。（填“＞”“＝”“＜”＝ 10. 若的

24、大小關系是________________________。 11. （1999全國，17）若正數(shù)a、b滿足ab＝a+b+3，則ab的取值范圍是 。 12. 若<0，已知下列不等式：①a+b|b| ③a2 其中正確的不等式的序號為 。 三. 解答題： 13. 若+＝1，求證：x+y≥（+）2（式中a、b、x、y均當正實數(shù)） 14. 已知a、b為正數(shù)，求證： （1）若+1＞，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立； （2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞。 15. （

25、2006廣東20）是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有。 （I）設，證明：； （II）設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的； （III）設，任取，令，。 【達標測試答案】 一. 選擇題： 1. 解：命題是命題等號成立的充分條件，故選B。 2. 解析：取b＝0，可驗證C不成立。C 3. 答案：A 4. 解析：p是假命題，q是真命題，故①③正確。選C。 5. 解析：∵a>1，0

26、1。 ∴x+y≥2+2。 答案：B 7. 解析：設 則，即 故＝。 選B 8. 解析：M－N＝x2+y2+1－（x+y+xy） ＝［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ＝［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0。 答案：A 二. 填空題： 9. 解析：由得0≤|xy|≤，所以＝1-（xy）2＝1-x2y2∈[，1]。 填1，。 10. 解析： a＜ab2＜ab 11. 解析：a2+＝1a2+＝。 ∴a＝·a·≤·＝·＝。 答案： 12. 解析：①②④⑤均可舉出反例，③可用反證法證明“若兩數(shù)均小于1，則a+b<2”，

27、與題設矛盾。 填③ 三. 解答題： 13. 證明：∵ ∴＋≥2（） ∴≥ 證畢！ 14. 證法一：（分析綜合法） 欲證原式，即證4（ab）2+4（a2+b2）－25ab+4≥0，即證4（ab）2－33（ab）+8≥0 即證ab≤或ab≥8。 ∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴ab≥8不可能成立∵1＝a+b≥2，∴ab≤從而得證。 證法二：（均值代換法）設a＝+t1，b＝+t2，∵a+b＝1，a＞0，b＞0， ∴t1+t2＝0，|t1|＜，|t2|＜ 顯然當且僅當t＝0，即a＝b＝時，等號成立。 證法三：（比較法） ∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴a

28、+b≥2，∴ab≤ 證法四：（綜合法） ∵a+b＝1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ 證法五：（三角代換法） ∵ a＞0，b＞0，a+b＝1，故令a＝sin2α，b＝cos2α，α∈（0，） 15. 證明：（1） ∵a＞1，∴＞0， ∴原不等式成立 （2）解：∵a-1與a5-1同號對任何a＞0且a11恒成立 ∴上述不等式的條件可放寬為a＞0且a11 （3）解：根據(jù)（1）（2）的證明， 可推知：若a＞0且a11，m＞n＞0，則有 證：左式-右式 ＝ 若a＞1，則由m＞n＞0Tam-n＞0，am+n＞0T不等

29、式成立； 若0＜a＜1，則由m＞n＞0T0＜am-n＜1， 0＜am+n＜1T不等式成立。 【綜合測試答案】 一. 選擇題： 1. 解析：由＜＜0，知b＜a＜0。 ∴A不正確。 答案：A 2. 解析：取a＝1，b＝－1，可驗證p假； 由，可得（-∞，-13，+∞），故q真。 選D 3. 解析：∵a+b＝2， ∴3a+3b。 答案：B 4. 解析：∵p+q＝1， p>0， q>0，則由，得 若x>1，則，則，故選D。 5. 解析：|a-b|＝|a-c+c-b|≤|a-c|+|b-c|恒成立， 因為a>0，所以a+≥2恒成立； 所以a2+≥0 即a2+恒成立；

30、 又因為， 所以恒成立；當a>b時|a-b|+成立， 當a

31、＜R 選B 二. 填空題： 9. 解析：a＞b＞c，（+）（a－c）＝（+）［（a－b）+（b－c）］ ≥2·2＝4。 ∴+≥＞。 答案：“＞” 10. 解析：（用求商比較法） 11. 解析一：令＝t（t>0）由ab＝a+b+3≥2+3，得t2≥2t+3 解得t≥3，即≥3。故ab≥9。 解析二：由已知得ab－b＝a+3，b（a－1）＝a+3，∴b＝（a>1） ∴ab＝a＝［（a－1）+1］＝a+3+＝a－1+4+ ＝a－1++5≥2+5＝9。當且僅當a－1＝時取等號。 即a＝b＝3時ab的最小值為9。所以ab的取值范圍是［9，+∞）。 答案：ab≥9 12.

32、 解析： ∵<0 ， ∴b<<0，故②③錯。①，④ 三. 解答題： 13. 解1：∵1＝+ ∴x+y＝1·（x+y）＝（+）·（x+y）＝a+b+≥（+）2 當且僅當 ay2＝bx2時取“＝”號。 解2：設 θ∈（0，），則 ∴x+y＝a（1+tan2θ）+b（1+cot2θ）≥a+b+2＝（+）2 （如用柯西不等式，可直接證明： x+y＝（x+y）（+）≥（+）2＝（+）2 當然，如下用柯西不等式，則 x+y＝（x+y）（+）＝a+b+a+b≥a+b+2＝（+）2。 14. 證明：（1）ax+＝a（x－1）++1+a≥2+1+a＝（+1）2。 ∵+1＞（

33、b＞0），∴（+1）2＞b。 成立。 （2）∵ax+＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b， 而ax+＝a（x－1）++1+a≥2+1+a＝（+1）2， 當且僅當a（x－1）＝，即x＝1+＞1時取等號。 故［ax+］min＝（+1）2。 則（+1）2＞b，即+1＞。 15. 證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式成立 證明：（I）、對任意，，，，所以 對任意的， ， ， 所以0<， 令＝，， ， 所以 （II）反證法：設存在兩個使得， 則由 得，所以，矛盾，故結論成立。 （III），所以 +… 用心 愛心 專心 116號編輯