高三數(shù)學第一篇一 集合、常用邏輯用語、平面向量、復數(shù)、不等式、算法、推理與證明、計數(shù)原理 第3講 不等式 理

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1、第第3 3講講 不等式不等式考情分析考情分析年份卷別題號考查內(nèi)容命題規(guī)律201714簡單的線性規(guī)劃問題不等式作為高考命題熱點內(nèi)容之一,在選擇、填空題中的考查主要以簡單的線性規(guī)劃、不等式的性質(zhì)及一元二次不等式解法為主.重點是求給定平面區(qū)域內(nèi)的目標函數(shù)的最值問題,也與其他知識交匯來考查,難度較小,屬中等難度題.在解答題中主要與其他知識交匯來考查,難度中等偏上.5簡單的線性規(guī)劃問題13簡單的線性規(guī)劃問題201616線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題13線性規(guī)劃求最值201515直線的斜率公式、線性規(guī)劃求最值14線性規(guī)劃求最值總綱目錄考點一 不等式的解法考點二 簡單的線性規(guī)劃問題（高頻考點）考點三 基本不等式及其

2、應(yīng)用考點一 不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集.2.簡單分式不等式的解法(1)0(0(0,即x2時,不等式可化為(x-2)24,所以x4;當x-20,即x2時,不等式可化為(x-2)24,所以0 x2.綜上,不等式的解集是0,2)4,+).(2)由得0 x9,由得-1x0的解集為x|-1x2,則mn的值為()A.B.2C.-D.-2121212答案答案A原不等式等價于x2-2mx-2n0,依題意知-1和2是方程x2-2mx-2n=0

3、的兩根,即mn=.122 ,1 22 ,mn 1,21,mn122.若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.262,562,562,562,5答案答案 B令a2-4=0,解得a=2或a=-2,當a=2時,不等式可化為4x-10,解集不是空集,不符合題意;當a=-2時,不等式可化為-10,此式不成立,解集為空集.當a2-40時,要使不等式的解集為空集,則對于方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0,有解得-2a0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=()A.1B.C.D.21,3,(3),xxyya x3512答案答案

4、C依題意可知不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分,由圖可知,當直線y=-2x+z經(jīng)過點A(1,-2a)時,z取得最小值1,即1=21-2a,解得a=,選C.123.(2016課標全國)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.解析解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件,生產(chǎn)產(chǎn)品By件,

5、利潤之和為z元,則z=2100 x+900y.根據(jù)題意得即可行域為圖中陰影區(qū)域的整點.1.50.5150,0.390,53600,N,xyxyxyx y3300,103900,53600,N,xyxyxyx y答案答案216000由得當直線2100 x+900y-z=0過點A(60,100)時,z取得最大值,zmax=210060+900100=216000.故所求的最大值為216000元.103900,53600 xyxy60,100.xy考點三 基本不等式及其應(yīng)用利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則(1)如果x0,y0,xy=p(定值),當x=y時,x+y有最小值2.(簡記:積定,和有

6、最小值)(2)如果x0,y0,x+y=s(定值),當x=y時,xy有最大值s2.(簡記:和定,積有最大值)p14典型例題典型例題(1)設(shè)x0,則函數(shù)y=x+-的最小值為()A.0B.C.1D.(2)(2017海淀期末)當0m0,則的最小值為.221x 321232121m212m4441abab解析(1)y=x+-=x+-22-2=0.當且僅當x+=,即x=時等號成立.所以函數(shù)的最小值為0,故選A.(2)因為0m0,4ab+2=4當且僅當4ab=時“=”成立,故當且僅當時,的最小值為4.方法歸納方法歸納在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,在其滿足基本不等式中“正”(各項都

7、是正數(shù))、“定”(和或積為定值)、“等”(等號能取得)的條件下才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab(3)a4+4b42a22b2=4a2b2(當且僅當a2=2b2時“=”成立),跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017山東,12,5分)若直線+=1(a0,b0)過點(1,2),則2a+b的最小值為.xayb答案答案8解析解析由題設(shè)可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值為8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab當且僅當即時 等號成立2.已知函數(shù)y=

8、x-4+(x-1),當x=a時,y取得最小值b,則a+b等于.91x 答案答案3解析解析y=x-4+=x+1+-5,因為x-1,所以x+10,0.由基本不等式,得y=x+1+-52-5=1,當且僅當x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,x=2時等號成立,所以a=2,b=1,a+b=3.91x 91x 91x 91x 9(1)1xx91x 1.如果ab0,那么下列不等式成立的是()A.B.abb2C.-ab-a2D.-1a1b1a1b隨堂檢測隨堂檢測答案答案 D解法一(利用不等式性質(zhì)求解):A項,由ab0,ab0,故-=0,即,故A項錯誤;B項,由ab0,故abb2,故B項錯誤;C項,由a

9、b0,即a2ab,故-ab-a2,故C項錯誤;D項,由ab0,得a-b0,故-=0,即-1=,ab=21=b2,-ab=-2-4=-a2,-=1=-.故A,B,C項錯誤,D項正確.1a1bbaab1a1b1a1babab1a1b1a121b1a121b2.已知aR,不等式1的解集為p,且-2 p,則a的取值范圍為()A.(-3,+)B.(-3,2)C.(-,2)(3,+)D.(-,-3)2,+)3xxa答案答案D-2 p,1或-2+a=0,解得a2或a-3.232a 3.(2017鄭州第二次質(zhì)量預測)已知直線y=k(x+1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點,則k的取值范圍為()A.0,+)B.

10、C.D.40,30,0,0 xyxyxy30,230,23,2答案答案C畫出可行域,如圖中陰影部分所示,直線y=k(x+1)過定點(-1,0),由解得過點(-1,0)與(1,3)的直線的斜率是,根據(jù)題意可知0k,故選C.40,30 xyxy1,3,xy32324.若不等式組的解集不是空集,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-4B.-4,+)C.-4,20D.-40,20)22230,4(1)0 xxxxa答案答案B不等式x2-2x-30的解集為-1,3,假設(shè)的解集為空集,則不等式x2+4x-(a+1)0的解集為集合x|x3的子集,因為函數(shù)f(x)=x2+4x-(a+1)的圖象的對稱軸方程為x=

11、-2,所以必有f(-1)=-4-a0a-4,則使的解集不為空集的a的取值范圍是a-4.故選B.22230,4(1)0 xxxxa22230,4(1)0 xxxxa5.(2017課標全國,14,5分)設(shè)x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最小值為.21,21,0,xyxyxy 答案答案-5解析解析由約束條件作出可行域,如圖中陰影部分所示.平移直線3x-2y=0可知,目標函數(shù)z=3x-2y在點A處取最小值,又由解得即A(-1,1),所以zmin=3(-1)-21=-5.21,21xyxy 1,1,xy 6.已知a,b,c都為實數(shù),且b,c同號,若a+=,則的最小值為.1b1cbca1ab1ac答案答案2解析解析由已知得a2+=bc,所以=a2+=bc+2(當且僅當bc=1時取等號),故的最小值為2.abac1ab1acabac1bc1bc1ab1ac