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1、第2章 2.1.2
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．與點A(－1,0)和點B(1,0)連線的斜率之和為－1的動點P的軌跡方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠±1)
C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析： 設P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，
∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．
答案： B
2．已知兩點M(－2,0)、N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|·|＋·＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝4x D．y2＝－4
2、x
解析： 由|·|＋·，得
4×＋(4,0)·(x－2，y－0)＝0，
∴y2＝－8x.
答案： A
3．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析： 設P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2，
整理得x2－4x＋y2＝0
即(x－2)2＋y2＝4.
所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，
故S＝4π.
答案： B
4．已知A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，則動點M的軌跡方程是( )
A．x2＋y2＝1
3、 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠±)
解析： 設動點M(x，y)，則＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)．
由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.故選A.
答案： A
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．已知點A(0，－1)，當點B在曲線y＝2x2＋1上運動時，線段AB的中點M的軌跡方程是________．
解析： 設點B(x0，y0)，則y0＝2x＋1.①
設線段AB中點為M(x，y)，則x＝，y＝，
即x0＝2x，y0＝2y＋1，代入①式，得
2y＋1＝2·(2x)2＋1.
4、
即y＝4x2為線段AB中點的軌跡方程．
答案： y＝4x2
6．已知動圓P與定圓C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝1相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是________．
解析： 設P(x，y)，動圓P在直線x＝1的左側(cè)，
其半徑等于1－x，則|PC|＝1－x＋1，
即＝2－x，
整理得y2＝－8x.
答案： y2＝－8x
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若B＝2P，且O·A＝1.求P點的軌跡方程．
解析： 由B＝2P，P(x，y)可得
5、B(0,3y)，A，
∴A＝.
∵Q與P關于y軸對稱，
∴Q(－x，y)，且＝(－x，y)．
由O·A＝1得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
8．過點P1(1,5)作一條直線交x軸于點A，過點P2(2,7)作直線P1A的垂線，交y軸于點B，點M在線段AB上，且BM∶MA＝1∶2，求動點M的軌跡方程．
解析： 如圖所示，
設過P2的直線方程為y－7＝k(x－2)(k≠0)，則過P1的直線方程為y－5＝－(x－1)，
所以A(5k＋1,0)，B(0，－2k＋7)．①
設M(x，y)，則由BM∶MA＝1∶2，
得②
消去k，整理得12x＋15y－74＝0.
故點M的軌
6、跡方程為12x＋15y－74＝0.③
尖子生題庫☆☆☆
9．(10分)已知圓C：x2＋(y－3)2＝9，過原點作圓C的弦OP，求OP中點Q的軌跡方程．(分別用直接法、定義法、代入法求解)
解析： 方法一(直接法)：
如圖，因為Q是OP的中點，
所以∠OQC＝90°.
設Q(x，y)，由題意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以x2＋2＝(去掉原點)．
方法二(定義法)：
如圖所示，因為Q是OP的中點，
所以∠OQC＝90°，則Q在以OC為直徑的圓上，故Q點的軌跡方程為x2＋2＝(去掉原點)．
方法三(代入法)：設P(x1，y1)，Q(x，y)，
由題意，得，即，
又因為x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(去掉原點)．
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