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1、第2章 2.3.2 第2課時(shí)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過(guò)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則l的條數(shù)為( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析： 數(shù)形結(jié)合知，過(guò)點(diǎn)P(1,0)有一條直線l與雙曲線相切，有兩條直線與漸近線平行，這三條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
答案： B
2．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析： 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a，b>0)，不妨設(shè)一個(gè)
2、焦點(diǎn)為F(c,0)，虛軸端點(diǎn)為B(0，b)，則kFB＝－.
又漸近線的斜率為±，
所以由直線垂直關(guān)系得－·＝－1(－顯然不符合)，
即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，
兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)．
答案： D
3．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析： 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線只有
3、一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明其漸近線的斜率的絕對(duì)值大于或等于tan 60°＝，即≥，則 ＝≥，故有e2≥4，e≥2.故選C.
答案： C
4．P是雙曲線－＝1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析： 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－5,0)與F2(5,0)，則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
答案： D
二、填空題(每小題5分，共1
4、0分)
5．過(guò)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若∠AOB＝120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______．
解析： ∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝＝2.
答案： 2
6．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是________．
解析： 由題意知F(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，
當(dāng)過(guò)F點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)，滿足與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形，通過(guò)圖形可知，－≤k≤.
答案：
5、
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)A、B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長(zhǎng)．
解析： ∵a＝1，b＝，c＝2，
又直線l過(guò)點(diǎn)F2(2,0)，且斜率k＝tan 45°＝1，
∴l(xiāng)的方程為y＝x－2，
由消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A、B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝6.
8．已知雙曲線x2－＝1上存在關(guān)于
6、直線l：y＝kx＋4的對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解析：?、佼?dāng)k＝0時(shí)，顯然不成立．
②當(dāng)k≠0時(shí)，在雙曲線上任意取兩點(diǎn)A，B，設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x0，y0)，由l⊥AB，
可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b，
將其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
顯然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①
由根與系數(shù)的關(guān)系得AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為
因?yàn)镸平分AB，所以M(x0，y0)在直線l上，
從而有＝＋4，
即k2b＝3k2－1， ?、?
將④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，
即>0或<－1，
7、∴|k|>或|k|<，且k≠0，
∴k>或k<－或－4，
∴圓C的圓心軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為－y2＝1.
(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝＝2.
直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此時(shí)y＝.
∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
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