數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法(九年級)_第18講 從三角形的內(nèi)切圓談起

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1、... 第18講 從三角形的內(nèi)切圓談起 數(shù)學(xué)是一個非常美的領(lǐng)域,這是因?yàn)樗闹饕糠质怯扇祟惖男撵`構(gòu)成的,你可以自由探索自己心中的數(shù)學(xué)世界,這不是很美嗎？那里有真正自由,正是這種自由才是數(shù)學(xué)美的力量所在。 -----瑟斯頓 知識縱橫 和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓,這個多邊形叫做圓的外切多邊形。三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心,圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)： 1. 三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點(diǎn),它到三角形的三邊距離相等； 2. 圓外切四邊形的兩組對邊之和相等,其逆亦真,是判定四邊形是否有內(nèi)切圓的主要方法。 當(dāng)圓外切三角形、四邊形

2、是特殊三角形、四邊形時,就得到隱含豐富結(jié)論的下列圖形： 例題求解 [例1]如圖,⊙O是內(nèi)切圓,切點(diǎn)為,若的長度是方程的兩個根,則的面積是 〔第18屆XX省競賽題 思路點(diǎn)撥 連,易證四邊形為正方形,解題的關(guān)鍵是求出的長. [例2]如圖,以正方形的邊為直徑作半圓,過點(diǎn)作直線切半圓于點(diǎn),交于點(diǎn),則與直角梯形的周長的比值為〔　　 A. B. C. D. 〔XX市中考題 思路點(diǎn)撥 本例綜合了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識,為了求出周長,需引入字母或賦值。 [例3]如圖,已知過原點(diǎn)和的動圓⊙交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn),設(shè)的內(nèi)切圓⊙

3、的直徑為,求的值. 思路點(diǎn)撥,只需求出的值,注意點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)。 [例4]如圖,在中,其中,其中⊙、⊙,...、⊙為個相等的圓,⊙與⊙相外切,⊙與⊙相外切,……,⊙與⊙相外切,⊙、⊙,...、⊙都與AB相切,且⊙與相切,⊙與相切,求這些等圓的半徑〔用表示. 〔XX省競賽題 思路點(diǎn)撥在同一直線上,連接,把分別用的代數(shù)式表示,建立的方程。 圓與梯形的珠聯(lián)璧合 例5圖 [例5]如圖,的直徑,和是它的兩條切線,切于E,交于,于,設(shè),,求與的函數(shù)關(guān)系式． 對于例5,在條件不變的情況下,我們還可得出以下結(jié)論： （1） ； （2） 以為直徑的圓與相切； （3） 以為直徑的圓與相切； （

4、4） 為一定值。 [例6]如圖,已知直徑與等邊三角形的高相等的圓和邊相切于點(diǎn)和,與邊相交于點(diǎn)和,求的度數(shù)． 〔XX省競賽題 分析 若要運(yùn)用切線的性質(zhì),則需確定圓心,這是解本題的關(guān)鍵。 例6圖 學(xué)歷訓(xùn)練 基礎(chǔ)夯實(shí) 1. 如圖,在梯形中,,⊙為內(nèi)切圓,為切點(diǎn)．若,,求的長為。 〔天津市中考題 第2題 第1題 第3題 2. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一正方形AOBC,反比例函數(shù)經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點(diǎn),半徑為的圓內(nèi)切于△ABC,則k的值。 〔20XXXX市中考題 3. 如圖,在中,,,圓心在AC上,⊙與相切于點(diǎn),求⊙的半徑為。 〔20XX烏魯木齊市中考題

5、 4. 如圖,一圓內(nèi)切四邊形,且,,則四邊形的周長為。 〔XX市中考題 第5題 第4題 第6題 5. 已知：如圖,以定線段為直徑作半圓,為半圓上任意一點(diǎn)〔異于,,過點(diǎn)P作半圓的切線分別交過,兩點(diǎn)的切線于,,、相交于點(diǎn),連接、．下列結(jié)論：①四邊形是梯形；②；③為定值；④為的平分線．其中一定成立的是〔　　 A．①② B．②④ C．①③④ D．②③④ 〔XX市中考題 6. 如圖,中,內(nèi)切圓和邊、、分別相切于點(diǎn)、、,則以下四個結(jié)論中,錯誤的結(jié)論是〔　　 A. 點(diǎn)是的外心 B. C. D. 7. 如圖,已

6、知∠ABC=90°,AB=BC．直線與以BC為直徑的⊙相切于點(diǎn)C．點(diǎn)F是⊙上異于B、C的動點(diǎn),直線BF與相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)F作AF的垂線交直線BC與點(diǎn)D． 〔1如果BE=15,CE=9,求EF的長； 〔2證明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE； 〔3探求動點(diǎn)F在什么位置時,相應(yīng)的點(diǎn)D位于線段BC的延長線上,且使,請說明你的理由． 〔20XXXX市中考題 第7題 8. 如圖,在直角梯中,,,厘米,厘米,厘米,為⊙的直徑,動點(diǎn)沿方向從點(diǎn)開始向點(diǎn)以厘米/秒的速度運(yùn)動,動點(diǎn)沿方向從點(diǎn)開始向點(diǎn)以2厘米/秒的速度運(yùn)動,點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)停止時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．〔1求

7、⊙的直徑；〔2求四邊形的面積關(guān)于、運(yùn)動時間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)四邊為等腰梯形時,四邊形的面積；〔3是否存在某一時刻,使直線與⊙相切？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由． 〔XX市中考題 第8題 能力拓展 9. 已知等腰中,,,內(nèi)切圓的半徑為,則腰長為． 〔XX省競賽題 10. 如圖,正方形邊長為,以正方形的一邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓,過作半圓的切線,與半圓相切于點(diǎn),與相交于點(diǎn),則的面積〔　　 〔日本數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題 第11題 第10題 第12題 11. 如圖,在中,,、的平分線相交于點(diǎn),又于點(diǎn),若,則= 12. 在平面直角坐標(biāo)系中,以正方形的邊為弦的⊙與軸

8、相切,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則圓心的坐標(biāo)為〔 A． B． C． D． 〔20XX濱州市中考題 13. 已知于,,下列選項(xiàng)中的半徑為的是 〔 〔20XX日照市中考題 A. B. C. D. 14. 如圖,在矩形中,連接,如果為的內(nèi)心,過作于,作于,則矩形的面積與矩形的面積的比值為〔　　 A. B. C. D.不能確定 第14題 〔《學(xué)習(xí)報》公開賽試題 15. 如圖1,兩直角邊的邊長為．〔1如圖2,⊙O與

9、的邊相切于點(diǎn),與邊相切于點(diǎn)．請你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心〔用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明〔2是這個上和其內(nèi)部的動點(diǎn),以為圓心的⊙與的兩條邊相切．設(shè)⊙的面積為,你認(rèn)為能否確定的最大值？若能,請你求出的最大值；若不能,請你說明不能確定的最大值的理由． 〔20XXXX市中考題 16. 如圖所示,已知是⊙O的直徑,是⊙O的切線,平行于弦,過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,與交于點(diǎn)．問與是否相等？證明你的結(jié)論． 〔全國初中數(shù)學(xué)競賽題 第16題 綜合創(chuàng)新 17. 如圖,點(diǎn)在第一象限,且,過兩點(diǎn)作圓分別與軸正半軸,軸正半軸交于兩點(diǎn),在弧上,交于,且． 〔1求點(diǎn)的坐標(biāo)； 〔2若,連,求的值； 〔3過作于,求的值． 18. 如圖,圓是等邊三角形的內(nèi)切圓,與,兩邊分別切于,兩點(diǎn),連接,點(diǎn)是劣弧上的一個動點(diǎn)〔不與,重合,過點(diǎn)作于,于,于,交于點(diǎn). （1） 求證 〔20XXXX二中理科實(shí)驗(yàn)班自主招生試題 6 / 6