湖南省2019年中考數(shù)學總復習 第四單元 三角形 課時訓練21 圖形的相似練習

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1、圖形的相似 21 圖形的相似 限時:30分鐘 夯實基礎(chǔ) 1.如圖K21-1,兩個等邊三角形、兩個矩形、兩個正方形、兩個菱形各成一組,每組中的一個圖形在另一個圖形的內(nèi)部,對應(yīng)邊平行,且對應(yīng)邊之間的距離都相等,那么兩個圖形不相似的一組是 (　　) 圖K21-1 2.如圖K21-2,已知直線a∥b∥c,直線m,n與a,b,c分別交于點A,C,E和點B,D,F.若AC=4,CE=6,BD=3,則DF的值是(　　) 圖K21-2 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 3.如圖K21-3,點F在?ABCD的邊AB上,射線CF交DA的延長線于點E.在不添加輔助線的情

2、況下,與△AEF相似的三角形有 (　　) 圖K21-3 A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 4.[2018·自貢] 如圖K21-4,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點.若△ADE的面積為4,則△ABC的面積為 (　　) 圖K21-4 A.8 B.12 C.14 D.16 5.[2018·濰坊] 在平面直角坐標系中,點P(m,n)是線段AB上一點,以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的2倍,則點P的對應(yīng)點的坐標為 (　　) A.(2m,2n)　　 　B.(2m,2n)或(-2m,-2n) C.12m,12n　　 D.12m,

3、12n或-12m,-12n 6.如圖K21-5,為了估計河的寬度,在河的對岸選定一個目標點A,在近岸取點B,C,D,E,使點A,B,D在一條直線上,且AD⊥DE,點A,C,E也在一條直線上,且DE∥BC.如果BC=24 m,BD=12 m,DE=40 m,那么河的寬度AB約為 (　　) 圖K21-5 A.20 m B.18 m C.28 m D.30 m 7.[2018·邵陽] 已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6.則a的值為　　　　.? 圖K21-6 8.如圖K21-6,已知零件的外徑為30 mm,現(xiàn)用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等,OC=OD)測量零件的

4、內(nèi)孔直徑AB.若OC∶OA=1∶2,且量得CD=12 mm,則零件的厚度x=　　　　mm.? 9.如圖K21-7,在?ABCD中,點E在邊BC上,點F在邊AD的延長線上,且DF=BE,EF與CD交于點G. (1)求證:BD∥EF; (2)若DGGC=23,BE=4,求EC的長. 圖K21-7 10.[2018·陜西] 周末,小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬.測量時,他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點B,使得AB與河岸垂直,并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D,豎起標桿DE,使得點E與點C,A共線

5、. 已知CB⊥AD,ED⊥AD,測得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.測量示意圖如圖K21-8所示. 請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB. 圖K21-8 能力提升 11.[2018·達州] 如圖K21-9,E,F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點,AE=CF=14AC,連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點G,H,連接GH,則S△ADGS△BGH的值為 (　　) 圖K21-9 A.12 B.23 C.34 D.1 12.[2017·隨州] 在△ABC中,AB=6,AC=5,點D在邊AB上,且AD=2,點E在邊AC上,當AE=

6、　　　　時,以A,D,E為頂點的三角形與△ABC相似.? 13.[2018·鹽城] 如圖K21-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P,Q分別為邊BC,AB上的兩個動點.若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,則AQ=　　　　.? 圖K21-10 14.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件如圖K21-11①,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上. (1)求證:△AEF∽△ABC; (2)求這個正方形零件的邊長; (3)如果把它加工成矩形零件(如圖②),那么這個矩形的最大

7、面積是多少? 圖K21-11 拓展練習 15.[2018·淮安] 如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”. (1)若△ABC是“準互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,則∠B=　　　　.? (2)如圖K21-12①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分線,不難證明△ABD是“準互余三角形”.試問在邊BC上是否存在點E(異于點D),使得△ABE也是“準互余三角形”?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由. (3)如圖②,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,B

8、D⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“準互余三角形”,求對角線AC的長. 圖K21-12 參考答案 1.B　2.B　3.C　4.D 5.B　[解析] 當放大后的△A'OB'與△AOB在原點O同側(cè)時,點P對應(yīng)點的坐標為(2m,2n);當放大后的△A'OB'與△AOB在原點O兩側(cè)時,點P對應(yīng)點的坐標為(-2m,-2n).故選B. 6.B 7.12　[解析] 設(shè)a6=b5=c4=k,則a=6k,b=5k,c=4k.∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,3k=6.解得k=2.∴a=6k=12. 8.3 9.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行

9、四邊形, ∴AD∥BC.∴DF∥BE. 又∵DF=BE, ∴四邊形BEFD是平行四邊形. ∴BD∥EF. (2)∵BE=4, ∴DF=4. ∵DF∥EC,∴∠F=∠GEC. 又∵∠DGF=∠CGE, ∴△DFG∽△CEG. ∴DGGC=DFCE,即23=4CE. ∴EC=6. 10.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD, ∴∠ABC=∠ADE=90°. 又∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE. ∴BCED=ABAD. ∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, ∴AD=AB+8.5. ∴11.5=ABAB+8.5. 解得AB=17. ∴河寬AB的

10、長為17 m. 11.C　[解析] 如圖,過點H作HM∥AB,交AD于點M,連接MG.設(shè)S平行四邊形ABCD=1.∵AE=CF=14AC,∴S△ADE=14S△ADC=18S平行四邊形ABCD=18,S△DEC=38.∴S△AEG=19S△DEC=124.∴S△ADG=S△ADE+S△AEG=18+124=16.∵CHAD=13,∴DMAD=13,S△AMG=23S△ADG=19.∵AGCD=13,∴AGGB=12,S△GBH=2S△AMG=29.∴S△ADGS△BGH=1629=34.故選C. 12.125或53　[解析] 當AEAD=ABAC時,∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,

11、此時AE=AB·ADAC=6×25=125;當ADAE=ABAC時,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,此時AE=AC·ADAB=5×26=53.故答案為125或53. 13.154或307　[解析] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=62+82=10. 當QP⊥BC時,QP∥AC,∴ABAC=QBQP.顯然,若△APQ是等腰三角形,則必是QP=AQ. 設(shè)QP=AQ=x,則QB=10-x,∴106=10-xx. ∴AQ=x=154. 當PQ⊥AB時,△APQ是等腰直角三角形,PQ=AQ.∵△ABC∽△PBQ,∴ACBC=PQBQ.∴68=AQ10-AQ.∴A

12、Q=307. 14.解:(1)證明:∵四邊形EGHF為正方形, ∴BC∥EF,∴△AEF∽△ABC. (2)設(shè)正方形零件的邊長為a. 在正方形EFHG中,EF∥BC. ∵AD⊥BC,∴AK⊥EF. ∵△AEF∽△ABC, ∴a120=80-a80,解得a=48, ∴正方形零件的邊長為48 mm. (3)設(shè)EG=x,矩形EGHF的面積為y. ∵△AEF∽△ABC,∴EF120=80-x80, ∴EF=32(80-x), ∴y=32(80-x)·x=-32(x-40)2+2400, ∴當x=40時,y最大,且最大值為2400, ∴矩形EGHF的最大面積為2400 mm2

13、. 15.解:(1)由“準互余三角形”定義可知,若△ABC是“準互余三角形”,∠C>90°, 則有2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°, 又∠A=60°,代入2∠A+∠B=90°不成立, 所以代入2∠B+∠A=90°,可得∠B=15°. (2)存在,BE=95. ∵點E在BC邊上,∴∠AEB>90°. ∴2∠BAE+∠B=90°或2∠B+∠BAE=90°. ∵點E異于點D, ∴2∠BAE+∠B=90°不成立. 由圖可知,在Rt△ABC中,可得∠BAE+∠EAC+∠B=90°. 又由“準互余三角形”定義可知, 2∠B+∠BAE=90°, ∴∠B=∠EAC.

14、∴△ABC∽△EAC.∴ACEC=BCAC. ∵AC=4,BC=5,∴EC=165. ∴BE=BC-EC=95. (3)∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠BCD, ∴∠ABC>90°. 以下分2種情況進行討論: ①∵△ABC為“準互余三角形”,∴∠BAC+2∠ACB=90°. 設(shè)∠ACD=x,∠ACB=y, 則可得∠BAC=90°-2y,∠ABD=2x+2y. ∴∠AEB=90°-2x. 又在△CDE中,∠CED=90°-x, 由90°-2x=90°-x,得x=0°,與構(gòu)成四邊形矛盾,舍去. ②若2∠BAC+∠ACB=90°, 設(shè)∠BAC=x,則∠ACB=90°-2x. ∴∠ABC=90°+x, 如圖,過點B作BE⊥AB,交AC于點E,則∠ABC=90°+∠CBE. ∴∠CBE=∠BAC.∴△CBE∽△CAB, ∴CBCA=CECB,即CB2=CE·CA. 由∠ABD=2∠BCD, 易得∠BAC=∠BCD,則△BAE∽△DCB. 設(shè)AE=7a,則CB=12a. 由CEBC=BCAC=BEAB,得CE=9a,BE=214. 由勾股定理,得AE=354=7a.解得a=54. ∴AC=16a=20. 10