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1、專項突破練7 二次函數(shù)壓軸題
1.(2018四川達州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時,以高出進價的50%標價.已知按標價的九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同.
(1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元?
(2)若該型號自行車的進價不變,按(1)中的標價出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價多少元時,每月獲利最大?最大利潤是多少?
解(1)設(shè)進價為x元,則標價是1.5x元,由題意得
1.5x×0.9×8-8x=(
2、1.5x-100)×7-7x,
解得x=1000,1.5×1000=1500(元),
答:進價為1000元,標價為1500元;
(2)設(shè)該型號自行車降價a元,利潤為w元,由題意得w=51+a20×3(1500-1000-a),
=-320(a-80)2+26460,
∵-320<0,∴當a=80時,w最大=26460,
答:該型號自行車降價80元出售每月獲利最大,最大利潤是26460元.
2.(2018福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)
3、若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
解(1)設(shè)AB=xm,則BC=(100-2x)m,
根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,
當x=5時,100-2x=90>20,不合題意舍去;
當x=45時,100-2x=10,答:AD的長為10m.
(2)設(shè)AD=xm,
∴S=12x(100-x)=-12(x-50)2+1250,
當a≥50時,則x=50時,S的最大值為1250;
當0
4、綜上所述,當a≥50時,S的最大值為1250;當0
5、0,c=3,解得a=-1,c=3,
二次函數(shù)的解析是為y=-x2+2x+3.
(2)若四邊形POP'C為菱形,則點P在線段CO的垂直平分線上,
圖1
如圖1,連接PP',則PE⊥CO,垂足為E,
∵C(0,3),
∴E0,32,
∴點P的縱坐標32,當y=32時,
即-x2+2x+3=32,
解得x1=2+102,x2=2-102(不合題意,舍),∴點P的坐標為2+102,32.
圖2
(3)如圖2,
P在拋物線上,設(shè)P(m,-m2+2m+3),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得3k+3=0,b=3,解得k=-1,b=
6、3.
直線BC的解析為y=-x+3,過點P作x軸的垂線,交BC于點Q,交x軸于點F,
設(shè)點Q的坐標為(m,-m+3),
PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.
當y=0時,-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,
S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=12AB·OC+12PQ·OF+12PQ·FB
=12×4×3+12(-m2+3m)×3
=-32m-322+758,
當m=32時,四邊形ABPC的面積最大.
當m=32時,-m2+2m+3=154,即P點的坐標為32,154.
當點P的坐標為3
7、2,154時,四邊形ACPB的最大面積值為758.
4.(2018湖南懷化)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;
(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標;
(3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
解(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),
即y=ax2-2ax-3a,
∴-2a=2,解得a
8、=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3;
當x=0時,y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,
把A(-1,0),C(0,3)代入得-p+q=0,q=3,解得p=3,q=3,∴直線AC的解析式為y=3x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴頂點D的坐標為(1,4),
作B點關(guān)于y軸的對稱點B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0),
∵MB=MB',
∴MB+MD=MB'+MD=DB',此時MB+MD的值最小,而BD的值不變,
∴此時△BDM的周長最小,
易得直線DB'的解析式為y=x+3,
9、
當x=0時,y=x+3=3,
∴點M的坐標為(0,3).
(3)存在.
過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設(shè)為y=-13x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直線PC的解析式為y=-13x+3,
解方程組y=-x2+2x+3,y=-13x+3,解得x=0,y=3或x=73,y=209,則此時P點坐標為73,209;
過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設(shè)為y=-13x+b,
把A(-1,0)代入得13+b=0,解得b=-13,
∴直線PC的解析式為y=-13x-13,
解方
10、程組y=-x2+2x+3,y=-13x-13,解得x=-1,y=0或y=103,y=-139,則此時P點坐標為103,-139,綜上所述,符合條件的點P的坐標為73,209或103,-139.
5.(2018上海)在平面直角坐標系xOy中(如圖).已知拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)和點B0,52,頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)求線段CD的長;
(3)將拋物線平移,使其頂點C移到原點O的位置,這時點P落在點E的位置,如果點M在y軸上,且以O(shè),D,
11、E,M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標.
解(1)把A(-1,0)和點B0,52代入y=-12x2+bx+c得-12-b+c=0,c=52,解得b=2,c=52,
∴拋物線解析式為y=-12x2+2x+52.
(2)∵y=-12(x-2)2+92,
∴C2,92,拋物線的對稱軸為直線x=2,
如圖,設(shè)CD=t,
則D2,92-t,
∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P2+t,92-t,
把P2+t,92-t代入y=-12x2+2x+52得-12(2+t)2+2(2+t)+52=92-t,
整
12、理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴線段CD的長為2.
(3)P點坐標為4,92,D點坐標為2,52,
∵拋物線平移,使其頂點C2,92移到原點O的位置,∴拋物線向左平移2個單位,向下平移92個單位,
而P點4,92向左平移2個單位,向下平移92個單位得到點E,
∴E點坐標為(2,-2),設(shè)M(0,m),
當m>0時,12·m+52+2·2=8,
解得m=72,此時M點坐標為0,72;
當m<0時,12·-m+52+2·2=8,解得m=-72,此時M點坐標為0,-72;
綜上所述,M點的坐標為0,72或0,-72.
6.(2018廣西南寧)如圖,拋物
13、線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A,C,E三點,其中A(-3,0),C(0,4),點B在x軸上,AC=BC,過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點,且CM=BN,連接MN,AM,AN.
(1)求拋物線的解析式及點D的坐標;
(2)當△CMN是直角三角形時,求點M的坐標;
(3)試求出AM+AN的最小值.
解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得9a+15a+c=0,c=4,解得a=-16,c=4,
∴拋物線解析式為y=-16x2+56x+4;
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OB=OA=3,∴B(3,0),
∵B
14、D⊥x軸交拋物線于點D,
∴D點的橫坐標為3,
當x=3時,y=-16×9+56×3+4=5,
∴D點坐標為(3,5).
(2)在Rt△OBC中,BC=OB2+OC2=32+42=5,
設(shè)M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB,
∴當CMCO=CNCB時,△CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,即4-m4=m+15,解得m=169,此時M點坐標為0,169;
當CMCB=CNCO時,△CMN∽△CBO,
則∠CNM=∠COB=90°,即4-m5=m+14,解得m=119,此時M點坐標為0,119;
綜上所述,M點的坐標為0,169或0,119.
(3)連接DN,AD,如圖,
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OC平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO,
∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC,
∵DB=BC=AC=5,CM=BN,
∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN,
∴AM+AN=DN+AN,
而DN+AN≥AD(當且僅當點A,N,D共線時取等號),
∴DN+AN的最小值=62+52=61,
∴AM+AN的最小值為61.
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（課標通用）甘肅省2019年中考數(shù)學總復習優(yōu)化設(shè)計 專項突破練7 二次函數(shù)壓軸題
