廣西柳州市2019年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練06 分類討論思想

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1、專題訓(xùn)練(六) [分類討論思想] 1.[2017·聊城]如圖ZT6-1是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是 (　　) 圖ZT6-1 A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 2.[2017·義烏]如圖ZT6-2,∠AOB=45°,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個,則x的值是　　　　.? 圖ZT6-2 3.[2017·齊齊哈爾]如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=

2、10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是　　　　.? 圖ZT6-3 4.[2017·綏化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=12BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為　　　　.? 5.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為　　　　　.? 6.[2017·眉山]如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,已知A(3,0),且M1,-83是拋

3、物線上一點. 圖ZT6-4 (1)求a,b的值; (2)連接AC,設(shè)點P是y軸上任一點,若以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標(biāo); (3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動點(不與O,A重合),過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于點H.設(shè)ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式. 7.[2017·煙臺]如圖ZT6-5①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E. 圖ZT6-5 (1)求拋物線的表達(dá)式. (2)如圖ZT6-5②,點P是直線E

4、O上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值. (3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 8.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

5、 圖ZT6-6 (1)如圖ZT6-6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線. (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù). (3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長. 參考答案 1.B　[解析] 由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有2個,以點A為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有1個,∴滿足條件的有3個. 2.0

6、或42-4或4

7、行四邊形較長的對角線的長是10或413或273. 4.30°或90°或150°　[解析] 應(yīng)分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖①,AD=12BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°;(2)若角A不是頂角,當(dāng)三角形是銳角三角形時,如圖②,則在△ACD中,AD=12BC=12AC,所以頂角為30°;若三角形是鈍角三角形,如圖③,則∠ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°. 5.3或65　[解析] 由題意知,點P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,故點P為BD的中點,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC

8、=3; (2)如圖所示, 若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=15CD=65. 綜上所述,PE的長為3或65. 6.解:(1)由題意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83, 解得a=23,b=-43. (2)由(1)得,拋物線的關(guān)系式為y=23x2-43x-2,當(dāng)x=0時,y=-2,∴C(0,-2). ∵以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,∴分三種情況: ①若AC=AP(如圖①), 由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);

9、②若CA=CP(如圖②), ∵AC=OA2+OC2=32+22=13, ∴P2(0,-2+13),P3(0,-2-13); ③若AP=PC(如圖③),設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=54, ∴P40,54. 綜上所述,符合條件的點P有4個,坐標(biāo)分別為P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54. (3)設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點D,交AC于點E, ∵拋物線y=23x2-43x-2的對稱軸為直線x=1, ∴D(1,0). 又∵tan∠OAC=DEDA=OCO

10、A, ∴DE2=23, ∴DE=43. ∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA, ∴DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2, ∴DH=23|t-1|. 分兩種情況: ①當(dāng)0

11、B=4,∴A(-3,0). 設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1). 將點C的坐標(biāo)代入得-3a=2, 解得a=-23, ∴拋物線的解析式為y=-23x2-43x+2. (2)∵點E在CD上,∴yE=2. 將y=2代入拋物線的解析式,得-23x2-43x+2=2,解得x=0或x=-2. ∴E(-2,2). ∴EC=OC=2,∴∠COE=45°. ∵PG∥y軸, ∴∠PGH=∠COE=45°. 又∵PH⊥OE, ∴PH=22PG. 設(shè)直線OE的解析式為y=kx,將點E的坐標(biāo)代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直線OE的解析式為y=-x. 設(shè)點P的坐標(biāo)為m,-2

12、3m2-43m+2,則點G的坐標(biāo)為(m,-m). ∴PG=-23m2-43m+2+m=-23m2-13m+2. ∴l(xiāng)=22×-23m2-13m+2=-23m2-26m+2=-23m+142+49248. ∴l(xiāng)的最大值為49248. (3)拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=-1.設(shè)點N的坐標(biāo)為(-1,n),點M的坐標(biāo)為(x,y). ①當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標(biāo)公式可知-1+x2=0-32,解得x=-2. 將x=-2代入拋物線的解析式得y=2. ∴M(-2,2). ②當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標(biāo)公式可知-3+x2=-1+02, 解得x=2

13、. 將x=2代入拋物線的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103. ∴M2,-103. ③當(dāng)AN為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標(biāo)公式可知0+x2=-1+(-3)2,解得x=-4. 將x=-4代入拋物線的解析式得y=-103. ∴M-4,-103. 綜上所述,點M的坐標(biāo)為(-2,2)或2,-103或-4,-103. 8.解:(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°, ∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40°,∠

14、CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)①當(dāng)AD=CD時,如圖①,∠ACD=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. ②當(dāng)AD=AC時,如圖②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. ③當(dāng)AC=CD時,如圖③,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去. ∴∠ACB=96°或114°. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴BCBA=BDBC,設(shè)BD=x, ∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1, ∵△BCD∽△BAC, ∴CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-12×2=6-2. 11