（貴陽(yáng)專用）2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對(duì)訓(xùn)練

《（貴陽(yáng)專用）2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對(duì)訓(xùn)練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（貴陽(yáng)專用）2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對(duì)訓(xùn)練（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二部分　專題六　 1．如圖，直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D． (1)求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式； (2)若點(diǎn)P在直線y＝－x＋2上，且S△ACP＝S△BDP，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)∵直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點(diǎn)， ∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得a＝－1，b＝－1， ∴A(－1,3)，

2、B(3，－1)． ∵點(diǎn)A(－1,3)在反比例函數(shù)y＝圖象上， ∴k＝－1×3＝－3， ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－. (2)設(shè)點(diǎn)P(n，－n＋2)． ∵A(－1,3)，∴C(－1,0)． ∵B(3，－1)，∴D(3,0)． ∴S△ACP＝AC·|xP－xA|＝×3·|n＋1|， S△BDP＝BD·|xB－xP|＝×1·|3－n|. ∵S△ACP＝S△BDP，∴×3·|n＋1|＝×1·|3－n|， 解得n＝0或n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)． (3)存在．設(shè)M(m,0)(m＞0)， ∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA2＝(m＋1)2＋9，MB2＝(m－3)2

3、＋1，AB2＝32， ∵△MAB是等腰三角形，∴①當(dāng)MA＝MB時(shí)， ∴(m＋1)2＋9＝(m－3)2＋1，∴m＝0(舍)； ②當(dāng)MA＝AB時(shí)，∴(m＋1)2＋9＝32， ∴m＝－1＋或m＝－1－(舍)， ∴M(－1＋，0)； ③當(dāng)MB＝AB時(shí)，(m－3)2＋1＝32， ∴m＝3＋或m＝3－(舍)， ∴M(3＋，0)． 則滿足條件的M(－1＋，0)或(3＋，0)． 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y＝3x－4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y＝也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，連接BC． (1)求k的值； (2)判斷△ABC的形狀

4、，并求出它的面積； (3)若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得△PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)如答圖1，過(guò)點(diǎn)A分別作AQ⊥y軸于Q點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)． 答圖1 ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AQ＝AN. 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a)， ∵點(diǎn)A在直線y＝3x－4上， ∴a＝3a－4，解得a＝2， 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)． ∵雙曲線y＝也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，∴k＝4. (2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)． ∵直線y＝3x－4與y軸的交點(diǎn)為C，∴C(0，－4)， ∴

5、AB2＋BC2＝(4－2)2＋22＋42＋(－4)2＝40， AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△ABC＝AB·BC＝×2×4＝8. (3)存在．如答圖2，假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)M，使得△PAM是等腰直角三角形． 答圖2 ∴∠PAM＝90°＝∠OAB， AP＝AM，連接BM.∵k＝4， ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. ∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM. 在△AOP和△ABM中， ∴△AOP≌△ABM(ASA)， ∴∠AOP＝∠ABM， ∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°， ∴點(diǎn)

6、M的橫坐標(biāo)為4，∴M(4,1)． 則在雙曲線上存在一點(diǎn)M(4,1)，使得△PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形． 3．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于點(diǎn)P(n，2)，與x軸交于點(diǎn)A(－4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱． (1)求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式； (2)求證：點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)； (3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說(shuō)明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴AO＝BO. ∵A(－4,0)，∴B(4,0)． ∵PB

7、⊥x軸于點(diǎn)B，∴P(4,2)． 把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m＝8， ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. 把A，P兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式可得解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1. (2)證明：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴OA＝OB． ∵PB⊥x軸于點(diǎn)B，∴∠PBA＝∠COA＝90°， ∴PB∥CO，∴點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)． (3)存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形． 理由如下： ∵點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)，∴BC＝AP＝PC， ∴BC和PC是菱形的兩條邊． 由y＝x＋1可得C(0,1)． 如答圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，分別連接

8、PD，BD， 答圖 ∴D(8,1)，且PB⊥CD， ∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4， ∴PB與CD互相垂直平分，即四邊形BCPD為菱形， ∴存在滿足條件的點(diǎn)D，其坐標(biāo)為(8,1)． 4．(2018·金華)如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y＝與y＝(x＞0,0＜m＜n)的圖象上，對(duì)角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4. (1)當(dāng)m＝4，n＝20時(shí)． ①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式． ②若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由． (2)四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時(shí)m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不

9、能，試說(shuō)明理由． 解：(1)①如答圖1.∵m＝4， ∴反比例函數(shù)y＝的解析式為y＝. ∵當(dāng)x＝4時(shí)，y＝1，∴B(4,1)， ∴當(dāng)y＝2時(shí)，2＝，解得x＝2，∴A(2,2)． 設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b， 將A(2,2)，B(4,1)兩點(diǎn)分別代入， 得解得 ∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋3. ②四邊形ABCD是菱形． 理由如下：如答圖2，由①知，B(4,1)， ∵BD∥y軸，∴D(4,5)． ∵點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，∴P(4,3)． ∵當(dāng)y＝3時(shí)，由y＝得x＝， 由y＝得x＝， ∴PA＝4－＝，PC＝－4＝，∴PA＝PC． ∵PB＝PD，∴四邊形ABC

10、D為平行四邊形， ∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形． 　　　　 圖1　　　　　　　　　圖2 答圖 (2)四邊形ABCD能成為正方形． 理由：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)， 則PA＝PB＝PC＝PD(設(shè)為t，t≠0)， ∵當(dāng)x＝4時(shí)，y＝＝， ∴B(4，)， ∴A(4－t，＋t)，C(4＋t，＋t)， ∴(4－t)(＋t)＝m，∴t＝4－， ∴C(8－，4)，∴(8－)×4＝n，∴m＋n＝32. ∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為＋2t＝＋2(4－)＝8－， ∴D(4,8－)，∴4(8－)＝n，∴m＋n＝32. 5．如圖，已知一次函數(shù)y1＝k1x＋b的圖象與x軸，y軸分別交于A，B

11、兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y2＝的圖象分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)D(2，－3)，OA＝2. (1)求一次函數(shù)y1＝k1x＋b與反比例函數(shù)y2＝的解析式； (2)直接寫(xiě)出k1x＋b－≥0時(shí)自變量x的取值范圍； (3)動(dòng)點(diǎn)P(0，m)在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|PC－PD|的值最大時(shí)，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)∵點(diǎn)D(2，－3)在反比例函數(shù)y2＝的圖象上， ∴k2＝2×(－3)＝－6，∴y2＝－. 如答圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E. 答圖 ∵OA＝2，∴A(－2,0)， ∵A(－2,0)，D(2，－3)在y1＝k1x＋b的圖象上， ∴解得 ∴y1＝－x－. (2)由圖可得，當(dāng)k1x＋

12、b－≥0時(shí)，x≤－4或0＜x≤2. (3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．理由如下： 由解得或 ∴C(－4，)， 如答圖，作C(－4，)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)C′(4，)，延長(zhǎng)C′D交y軸于點(diǎn)P， ∴由C′和D的坐標(biāo)可得，直線C′D解析式為y＝x－， 令x＝0，則y＝－， ∴當(dāng)|PC－PD|的值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－)． 6．如圖1，直線y＝kx＋b與雙曲線y＝(x＞0)相交于點(diǎn)A(1，m)，B(4，n)，與x軸相交于C點(diǎn)． (1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及直線y＝kx＋b的解析式； (2)求△ABO的面積； (3)如圖2，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA＋PB的和最??？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

13、并求出P點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)∵點(diǎn)A(1，m)，B(4，n)在雙曲線y＝(x＞0)上， ∴m＝4，n＝1， ∴A(1,4)，B(4,1)， ∴解得 ∴直線y＝kx＋b的解析式為y＝－x＋5. (2)如答圖1，設(shè)直線AB與y軸交于D點(diǎn)，由(1)知，直線AB的解析式為y＝－x＋5， ∴C(5,0)，D(0,5)， ∴OC＝5，OD＝5. ∴S△AOB＝S△COD－S△AOD－S△BOC＝×5×5－×5×1－×5×1＝. (3)存在，理由：如答圖2， 作點(diǎn)B(4,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′(4，－1)，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，連接BP，在x軸上取一點(diǎn)Q，連接AQ，BQ. ∵點(diǎn)

14、B與點(diǎn)B′關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴點(diǎn)P，Q是BB′中垂線上的點(diǎn)，∴PB′＝PB，QB′＝QB，在△AQB′中，AQ＋B′Q＞AB′， ∴AP＋BP的最小值為AB′. ∵A(1,4)，B′(4，－1)， ∴直線AB′的解析式為y＝－x＋， 令y＝0，則0＝－x＋， 解得x＝， ∴P(，0)． 7．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，且A(－6,0)，D(－2，－8)． (1)求拋物線的解析式； (2)點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，不與點(diǎn)A，C重合，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交于AC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)； (3)

15、在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)2－8，把A(－6,0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a＝. ∴拋物線的解析式為y＝(x＋2)2－8， 即y＝x2＋2x－6. (2)如答圖，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2＋2x－6＝－6，則C(0，－6)． 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b， 把A(－6,0)，C(0，－6)分別代入得 解得∴直線AC的解析式為y＝－x－6. 設(shè)P(x，x2＋2x－6)(－6＜x＜0)，則E(x，－x－6)． ∴PE＝－x－6－(x2＋2x－6

16、)＝－x2－3x＝－(x＋3)2＋， ∴當(dāng)x＝－3時(shí)，PE的長(zhǎng)度有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，－)． (3)存在． 如答圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－2，設(shè)M(－2，t)． ∵A(－6,0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72， AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t＋6)2. 當(dāng)AC2＋AM2＝CM2，△ACM為直角三角形， 即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t＋6)2， 解得t＝4，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為(－2,4)； 當(dāng)AC2＋CM2＝AM2時(shí)，△ACM為直角三角形， 即72＋(－2)2＋(t＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，

17、解得t＝－8，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，－8)； 當(dāng)CM2＋AM2＝AC2時(shí)，△ACM為直角三角形， 即(－2)2＋(t＋6)2＋(－2＋6)2＋t2＝72， 解得t1＝－3＋，t2＝－3－，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，－3＋)或(－2，－3－)． 綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2,4)或(－2，－8)或(－2，－3＋)或(－2，－3－)． 8．(2018·泰安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象交x軸于點(diǎn)A(－4,0)，B(2,0)，交y軸于點(diǎn)C(0,6)，在y軸上有一點(diǎn)E(0，－2)，連接AE. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸

18、上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值； (3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)， ∴解得 ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－x＋6. (2)由A(－4,0)，E(0，－2)可得AE所在的直線解析式為y＝－x－2， 過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如答圖， 設(shè)D(m，－m2－m＋6)， 則點(diǎn)F(m，－m－2)， ∴DF＝－m2－m＋6－(－m－2)＝－m2－

19、m＋8， ∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝·DF·AG＋·DF·EH＝×DF·(AG＋HE)＝×DF×4＝2×(－m2－m＋8)＝－(m＋)2＋， ∴當(dāng)m＝－時(shí)，S△ADE最大，最大值為. (3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)． 【解法提示】y＝－x2－x＋6的對(duì)稱軸為直線x＝－1， 設(shè)P(－1，n)，又E(0，－2)，A(－4,0)， 可得PA＝，PE＝， AE＝＝2， 當(dāng)PA＝PE時(shí)，＝， 解得n＝1，此時(shí)P(－1,1)； 當(dāng)PA＝AE時(shí)，＝2， 解得n＝±，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，±)； 當(dāng)PE＝AE時(shí)，＝2， 解得n＝－2

20、±， 此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－2±)， 綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)． 9．如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(－3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD． (1)求拋物線的解析式． (2)若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE＝PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． (3)在(2)的條件下，作PF⊥x軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(－3,0)，

21、 ∴　解得 即拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3. (2)由(1)知，拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3， ∴C(0，－3)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(－1，－4)， ∴E(－1,0)．設(shè)直線BD的解析式為y＝mx＋n， ∴　解得 ∴直線BD的解析式為y＝－2x－6. 設(shè)點(diǎn)P(a，－2a－6)．∵C(0，－3)，E(－1,0)， 根據(jù)勾股定理得，PE2＝(a＋1)2＋(－2a－6)2，PC2＝a2＋(－2a－6＋3)2. ∵PC＝PE， ∴(a＋1)2＋(－2a－6)2＝a2＋(－2a－6＋3)2， 解得a＝－2，∴y＝－2×(－2)－6＝－2， ∴P(－2，－2)．

22、(3)如答圖，作PF⊥x軸于F，∴F(－2,0)． 設(shè)M(d,0)，∴G(d，d2＋2d－3)，N(－2，d2＋2d－3)． ∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，∴必有FM＝MG， ∴|d＋2|＝|d2＋2d－3|， 解得d＝或， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)，(，0)，(，0)或(，0)． 10．(2018·岳陽(yáng))已知拋物線F：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為(－，0)． 　　　　　　　　　　　　圖1　　　　　　　圖2 (1)求拋物線F的解析式； (2)如圖1，直線l：y＝x＋m(m＞0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2

23、)(點(diǎn)A在第二象限)，求y2－y1的值(用含m的式子表示)； (3)在(2)中，若m＝，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2. ①判斷△AA′B的形狀，并說(shuō)明理由； ②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，A′，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(－，0)，∴解得 ∴拋物線F的解析式為y＝x2＋x. (2)將y＝x＋m代入y＝x2＋x，得x2＝m， 解得x1＝－，x2＝，∴y1＝－＋m， y2＝＋m，∴y2－y1＝(＋m)－ (－＋m)＝(m＞0)． (3)如答圖，∵m＝，∴點(diǎn)A的

24、坐標(biāo)為(－，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，2)．∵點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(，－)． ①△AA′B為等邊三角形． 理由如下： ∵A(－，)，B(，2)，A′(，－)， ∴AA′＝，AB＝，A′B＝，∴AA′＝AB＝A′B， ∴△AA′B為等邊三角形． ②存在．∵△AA′B為等邊三角形， ∴以點(diǎn)A，B，A′，P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)如答圖． a．當(dāng)A′B為對(duì)角線時(shí)，有 解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)． b．當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有 解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)． c．當(dāng)AA′為對(duì)角線時(shí)，有 解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－2)． 綜上所述，平面

25、內(nèi)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，A′，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，(－，)或(－，－2)． 11．(2018·永州)如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E(0,3)． 圖1　 　　　　　圖2 (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)已知點(diǎn)F(0，－3)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG＋FG最小？如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB，拋物線相交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M，N都在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè))，當(dāng)MN最大時(shí)，求△P

26、ON的面積． 解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋4. 把(0,3)代入得3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1， 故拋物線的表達(dá)式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 如答圖1，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EG＋FG的值最?。? ∵E(0,3)，∴E′(2,3)， 易得直線E′F的解析式為y＝3x－3， 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3×1－3＝0，∴G(1,0)． 圖1　　　　　 圖2 (3)如答圖2，過(guò)N作NH⊥x軸于H，交AB于Q，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于D， ∵A(1,4)，B(3,0)， ∴直線AB的解析式為y＝－2x

27、＋6， 設(shè)N(m，－m2＋2m＋3)， 則Q(m，－2m＋6)(1＜m＜3)， ∴NQ＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3. ∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM. ∵∠ADB＝∠QMN＝90°， ∴△QMN∽△ADB， ∴＝，即＝， ∴MN＝－(m－2)2＋.∵－＜0， ∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN有最大值． 過(guò)N作NI⊥y軸于I，∵∠IPN＝∠ABD， ∠NIP＝∠ADB＝90°，∴△NIP∽△ADB， ∴＝＝＝，∴PI＝NI＝m， ∴OP＝OI－PI＝－m2＋2m＋3－m＝－m2＋m＋3，∴S△PON＝OP·IN＝(－m2＋m＋3)·m，當(dāng)m＝2時(shí)，S△

28、PON＝×(－4＋3＋3)×2＝2. 12．(2018·東營(yíng))如圖，拋物線y＝a(x－1)(x－3)(a>0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC． (1)求線段OC的長(zhǎng)度； (2)設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式； (3)在(2)的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，a(x－1)(x－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝3，即A(1,0)，B(3,0)， ∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OB

29、C， ∴OC∶OB＝OA∶OC，∴OC2＝OA·OB＝3，則OC＝. (2)∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為Rt△OBM斜邊BM的中線，∴OC＝BC，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為. 又∵OC＝，點(diǎn)C在x軸下方，∴C(，－)． 設(shè)直線BM的解析式為y＝kx＋b， 把點(diǎn)B(3,0)，C(，－)代入， 得解得 ∴直線BM的解析式為y＝x－. 又∵點(diǎn)C(，－)在拋物線上， ∴將C(，－)代入拋物線的解析式， 解得a＝， ∴拋物線的解析式為y＝x2－x＋2. (3)存在． 如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，x2－x＋2)， 則Q(x，x－)， ∴PQ＝x－－(x2－x＋2)＝－x2＋3x－3， ∴當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大， ∴S△BCP＝PQ(3－x)＋PQ(x－)＝PQ＝－x2＋x－， 當(dāng)x＝－＝時(shí)，S△BCP有最大值，則四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)． 17