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思維教學(xué)（四）：諸法歸一一以貫之
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《論語(yǔ)》中孔子多次提到“一以貫之”。子曰：“參乎，吾道一以貫之。”曾子曰：“唯?！弊映觯T(mén)人問(wèn)曰：“何謂也？”曾子曰：“夫子之道，忠恕而已矣?！弊釉唬骸百n也！汝以予為多學(xué)而識(shí)之者與？”對(duì)曰：“然，非與？”曰：“非也。予一以貫之。”任何學(xué)科的學(xué)習(xí)都不能僅靠“多學(xué)而識(shí)之”（學(xué)了很多然后記住它），而應(yīng)該“一以貫之”（用一種原則去貫穿它）。當(dāng)然，這個(gè)“一”有不同的層次，抽象的程度越高，可貫穿的東西就越多
2、。解題也是一樣，要尋求“一”去貫穿一個(gè)問(wèn)題、一類問(wèn)題、一切問(wèn)題。也就是要做兩件事，諸法歸一和一以貫之，前者是抽象概括，從特殊到一般，后者是邏輯推理，從一般到特殊，這兩樣正是最重要的兩大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。試舉一例，看如何在解題中進(jìn)行“諸法歸一”和“一以貫之”的引導(dǎo)。（2018卷27題）問(wèn)題呈現(xiàn)：如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．方法歸納：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用格畫(huà)平行線等方法解決此類問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠
3、CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問(wèn)題解決：（1）直接寫(xiě)出圖1中tan∠CPN的值為 ____________________；（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造格求∠CPN的度數(shù)．師：格中可以確定的是什么數(shù)量？一般利用什么求值？生：格點(diǎn)線段的長(zhǎng)可以利用勾股定理求值。師：圖1中的∠CPN與什么格點(diǎn)線段有關(guān)？生：∠CPN是CE、DN相交而成的。師：三角函數(shù)值要在什么圖形中求呢？生：
4、當(dāng)然是在直角三角形中啦！師：你有什么想法嗎？生：構(gòu)造直角三角形。師：圖1中的關(guān)鍵條件和關(guān)鍵圖形是什么？生：關(guān)鍵是CE、DN兩條線，因?yàn)樗鼈儧Q定∠CPN的大小。師：原圖模型不完整，需要進(jìn)行完形構(gòu)造，是如何構(gòu)造的？生：把CE和DN其中一條線段平移，與另一條線段組成直角三角形。師：為什么要平移呢？生：保持夾角不變呀。師：很好，按照這個(gè)思路畫(huà)出圖形，除了題中的畫(huà)法，如果不受格限制，看你還能想到多少種。生：師：還有其它畫(huà)法嗎？生：……好像沒(méi)有了。師：誰(shuí)能用一句話提煉概括一下剛才的幾種構(gòu)造方法共同點(diǎn)？生：把其中一條線段平移使之與另一條線段拼成一個(gè)直角三角形。師：是把圖中任意一條線段平移嗎？生：……必須是格
5、點(diǎn)線段，否則不好計(jì)算長(zhǎng)度。師：真的沒(méi)有其它方法了？看看我這樣行不？你發(fā)現(xiàn)了什么？生：可以同時(shí)平移兩條線段，構(gòu)成格點(diǎn)三角形，就能把∠CPN通過(guò)平行線轉(zhuǎn)化到格點(diǎn)直角三角形中，從而求出∠CPN的三角函數(shù)值。師：那么有多少種構(gòu)造方法呢？生：……似乎是無(wú)數(shù)種！師：對(duì)啊，若沒(méi)有格大小的限制，可以有無(wú)數(shù)種構(gòu)造方法，只要把兩條格點(diǎn)線段平移拼成直角三角形就行，那么較簡(jiǎn)單的方法是什么？生：一條線段不動(dòng)，把另一條線段平移與它一端重合，就可以組成格點(diǎn)直角三角形，這樣把所求角進(jìn)行一次轉(zhuǎn)化就可以了，否則所求角要進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化。師：后面的問(wèn)題還難嗎？請(qǐng)畫(huà)出較簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法。然后，絕大部分同學(xué)輕松地畫(huà)出了多種不同的構(gòu)造圖形（注意下為什么平移CM而不是CP）。如第（3）小題：在探討第（1）小題時(shí)，是諸法歸一，解決后面的問(wèn)題時(shí)，是一以貫之，圖形雖不一樣，構(gòu)造方法完全一樣。
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思維教學(xué)(四)：諸法歸一一以貫之
