浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期末復(fù)習(xí)五 特殊平行四邊形試題 （新版）浙教版

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1、 期末復(fù)習(xí)五 特殊平行四邊形 復(fù)習(xí)目標(biāo) 要求 知識(shí)與方法 了解 矩形、菱形、正方形的概念 理解 矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì) 運(yùn)用 用矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)圖形的論證和計(jì)算等問題 必備知識(shí)與防范點(diǎn) 一、必備知識(shí)： 1． 矩形的性質(zhì)及判定： （1）矩形的 個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線 ；矩形既是 對(duì)稱圖形，又是 對(duì)稱圖形，它至少有 條對(duì)稱軸． （2）有一個(gè)角是 的 是矩形；有 個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的

2、 是矩形． 2． 菱形的性質(zhì)及判定： （1）菱形的 條邊都相等；菱形的對(duì)角線 ，并且每條對(duì)角線平分 ． （2）一組 相等的 是菱形；四條邊相等的四邊形是 ；對(duì)角線 的平行四邊形是菱形． 3． 正方形的性質(zhì)及判定： （1）正方形的 個(gè)角都是直角，四條邊都 ；正方形的對(duì)角線 ，并且 ，每條對(duì)角線平分一組

3、． （2）有一組 相等，并且有一個(gè)角是 的平行四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的 是正方形；有一個(gè)角是直角的 是正方形． 二、防范點(diǎn)： 1． 矩形、菱形、正方形的判定書寫要規(guī)范； 2． 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)可從邊、角、對(duì)角線、整體四個(gè)角度去考慮. 例題精析 考點(diǎn)一 矩形、菱形的性質(zhì) 例1 （1）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)ED到H使DH=BM，連結(jié)AM，AH，則以下四個(gè)結(jié)論：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AM

4、H是等邊三角形；④S四邊形ABMD=AM2． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) （2）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，則矩形ABCD的面積是 . 反思：（1）由已知BM＝DH聯(lián)想△BMA≌△DHA，而全等的關(guān)鍵是證∠ABM＝∠ADH＝∠BED. （2）根據(jù)AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，故△EFB′是等邊三角形，由此得出∠A′B′E=30°，再由直角三角形的性質(zhì)得出

5、A′B′=AB=2，即可得解. 考點(diǎn)二 矩形、菱形的判定 例2 已知：線段AB，BC，∠ABC=90°． 求作：矩形ABCD． 以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)： 甲：①以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧； ②以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧； ③兩弧在BC上方交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖1）． 乙：①連結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)M； ②連結(jié)BM并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使MD=MB，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖2）． 對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（ ） A． 甲正確，乙錯(cuò)誤 B． 乙正確，

6、甲錯(cuò)誤 C． 甲、乙均正確 D． 甲、乙均錯(cuò)誤 例3 已知，一張矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為9cm和3cm，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）： （1）求證：四邊形AECF是菱形； （2）求折痕EF的長(zhǎng). 反思：熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及判定，能夠利用矩形、菱形的性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問題. 考點(diǎn)三 矩形、菱形、正方形綜合 例4 如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝10，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝2，連結(jié)CF，BF. （1）若DG＝2，求證：四邊形EF

7、GH為正方形； （2）若AE＝x，求△EBF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并判斷是否存在x，使△EBF的面積是△CGF面積的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）求△GCF面積的最小值. 反思：（1）證第（1）小題圖形不準(zhǔn)，要抓住△GDH≌△HAE（HL），證明∠GHE＝90°；（2）解第（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造△FNG≌△HAE，△FEM≌△HGD；（3）求△GCF面積的最小值要抓住GC邊上的高不變，GC最小只要DG最大，DH＝4，∴GH ＝HE最大，∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，△GCF的面積取最小. 考點(diǎn)四 特殊平行四邊形拓展探究 例5

8、如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM. 【探究展示】（1）證明：AM＝AD＋MC； （2）AM＝DE＋BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由； 【拓展延伸】（3）若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明. 反思：（1）常規(guī)輔助線：“中點(diǎn)＋平行”構(gòu)造全等，角平分線構(gòu)造全等；（2）證“一條線段＝兩線段和”類型常用截長(zhǎng)補(bǔ)短法；（3）第（1）小題也可過E作EH⊥AM于H，再證HM＝CM得證. 校內(nèi)練習(xí) 1．如圖，在

9、菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)∠A＝x°，則∠FPC的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 2．如圖所示，點(diǎn)B，C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點(diǎn)A，D是x軸上兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k的值為 . 3．（南充中考）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結(jié)論是 .（填序號(hào)） 4． 已知：如圖，△

10、ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且AD＝BC＝4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有不同形狀的四邊形嗎？寫出所拼四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)（不要求寫計(jì)算過程，只需寫出結(jié)果） 5． 如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB． （1）求證：△BCP≌△DCP； （2）求證：∠DPE=∠ABC； （3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖2），若∠ABC=58°，則∠DPE= 度． 6． 如圖，在正方形ABCD中，DE與HG相交于點(diǎn)O.

11、 （1）如圖1所示，若∠GOD＝90°，①求證：DE＝GH；②連結(jié)EH，求證：GD＋EH≥DE； （2）如圖2所示，若∠GOD＝45°，AB＝4，HG＝2，求DE的長(zhǎng). 參考答案 期末復(fù)習(xí)五 特殊平行四邊形 【必備知識(shí)與防范點(diǎn)】 1. （1）四 相等 中心 軸 兩 （2）直角 平行四邊形 三 平行四邊形 2. （1）四 互相垂直平分 一組對(duì)角 （2）鄰邊 平行四邊形 菱形 互相垂直 3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 對(duì)角 （2）鄰邊 直角 矩形 菱形 【例題精析】 例1 （1

12、）在菱形ABCD中，∵AB=BD，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BDF=∠C=60°，∵BE=CF，∴BC-BE=CD-CF，即CE=DF，在△BDF和△DCE中，DF=CE，∠BDF=∠C=60°，BD=CD，∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小題正確；∴∠DBF=∠EDC，∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小題正確；∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，∴∠DEB=∠ABM，又∵AD∥BC，∴∠AD

13、H=∠DEB，∴∠ADH=∠ABM，在△ABM和△ADH中，AB=AD，∠ABM=∠ADH，BM=DH，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，∴△AMH是等邊三角形，故③小題正確；∵△ABM≌△ADH，∴△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，又∵△AMH的面積=AM·AM=AM2，∴S四邊形ABMD=AM2，故④小題正確，綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè). 故選D. （2）16 例2 C 例3 （1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF. ∵矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A

14、和C重合，∴∠CEF=∠AEF，AE=CE，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF. ∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵AE=EC，即四邊形AECF的四邊相等. ∴四邊形AECF為菱形. （2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF，∴在Rt△BCF中，設(shè)BF=xcm，則CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，則CF=5，BF=4，由面積可得：·AC·EF=AF·BC，即·3·EF=5×3，∴EF=cm. 例4 （1）在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EF

15、GH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和Rt△EAH中，HG=HE，DG=AH，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形； （2）過F作FM⊥AB，垂足為M，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)GE，∴FN⊥CD，∵CD∥AB，∴∠DGE=∠MEG，∵GH∥EF，∴∠HGE=∠FEG，∴∠DGH=∠MEF，在Rt△HDG和Rt△FME中，∠D=∠M=90°，∠DGH=∠FEM，HG=FE，∴Rt△HDG≌Rt△FME，∴DH=MF，∵AH=2，∴DH=MF=4，∵AE=x，∴BE=10-x. ∴S△EBF=BE·FM=

16、2（10-x）=20-2x.同理可證Rt△AHE≌Rt△NFG，∴FN=AH=2，∵AH=2，AE=x，∴HE=HG==，∴DG===，∴CG=10-，∴S△GCF=CG·FN=10-，若△EBF的面積是△CGF面積的2倍，則20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程無解，所以不存在x，使△EBF的面積是△CGF面積的2倍. （3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，△GCF的面積取最小，最小值為10-2. 例5 （1）證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC. ∴∠DAE=∠ENC. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE. ∴∠ENC

17、=∠MAE. ∴MA=MN. 在△ADE和△NCE中，∠DAE=∠CNE，∠AED=∠NEC，DE=CE，∴△ADE≌△NCE（AAS）. ∴AD=NC. ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC. （2）AM=DE+BM成立.證明：過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖2所示. ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC. ∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°. ∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE. 在△ABF和△ADE中，∠FAB=∠EAD，AB=AD，∠ABF=∠D，∴△ABF≌△ADE（ASA）. ∴BF=DE，∠F=∠AED. ∵AB∥

18、DC，∴∠AED=∠BAE. ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM. ∴∠F=∠FAM. ∴AM=FM. ∴AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AM＝AD＋MC仍成立；（2）AM＝DE＋BM不成立. 【校內(nèi)練習(xí)】 1. D 2. 3. ①② 4. 圖1是矩形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)相等，均為2；圖2是平行四邊形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為4和4；圖3是平行四邊形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為2和2；圖4是一般的四邊形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為2和. 5. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和

19、△DCP中， BC=DC，∠BCP=∠DCP，PC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS）； （2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∵∠1=∠2（對(duì)頂角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC； （3）與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°． 6. （1）①作平行四邊形DGHM，則GH=DM，GD=MH，GH∥DM，∴∠GOD=∠MDE=90°，∴∠MDC+∠EDC=90°，∵∠ADE+∠ED

20、C=90°，∴∠MDC=∠ADE，在△ADE和△CDM中，∠ADE=∠MDC，∠A=∠DCM=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDM，∴DE=DM，∴DE=GH； ②∵DM=DE，∠EDM=90°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=DM=DE，∵M(jìn)H+EH≥EM，GD=MH，∴EH+GD≥EM，∴GD+EH≥DE；（2）過點(diǎn)D作DN∥GH交BC于點(diǎn)N，則四邊形GHND是平行四邊形，∴DN=HG，GD=HN，∵∠C=90°，CD=AB=4，HG=DN=2，∴CN==2，∴BN=BC-CN=4-2=2，作∠ADM=∠CDN，DM交BA延長(zhǎng)線于M，在△ADM和△CDN中，∠ADM=∠CDN，AD=DC，∠MAD=∠C=90°，∴△ADM≌△CDN（ASA），∴AM=NC，DM=DN，∵∠GOD=45°，∴∠EDN=45°，∴∠ADE+∠CDN=45°，∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，在△MDE和△NDE中，MD=ND，∠MDE=∠NDE，DE=DE，∴△MDE≌△NDE（SAS），∴EM=EN，即AE+CN=EN，設(shè)AE=x，則BE=4-x，在Rt△BEN中，22+（4-x）2=（x+2）2，解得x=，∴DE===. 10