第五專題 矩陣地數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對特征根)

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1、word 第五專題 矩陣的數(shù)值特征 （行列式、跡、秩、相對特征根、數(shù)、條件數(shù)） 一、行列式 已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA| 證明一：參照課本194頁，例4.3. 證明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性質；從而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘積，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘積，所以二者相等。 二、矩陣的跡 矩陣的跡相對其它數(shù)值特征簡單些，然而，它在許多領域，如數(shù)值計算，逼近論，以及統(tǒng)計估計等都有相當多的應用，許多量的計算都會

2、歸結為矩陣的跡的運算。下面討論有關跡的一些性質和不等式。 定義：，etrA=exp(trA) 性質： 1.，線性性質； 2.； 3.； 4.； 5.為向量； 6.; 從Schur定理（或Jordan標準形）和（4）證明； 7.,則,且等號成立的充要條件是A=0； 8.,則，且等號成立的充要條件是A=B（）； 9.對于n階方陣A，若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0（從Schur定理或Jordan標準形證明）。 若干基本不等式 對于兩個m×n復矩陣A和B，tr(AHB)是m×n維酉空間上的積，也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的積，利用Cauch

3、y-schwarz不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：對任意兩個m×n復矩陣A和B |tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB) 這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時 0≤|tr(AB)|≤ 定理：設A和B為兩個n階Hermite陣,且A≥0，B≥0，則 0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) λ1(B)表示B的最大特征值。 證明： tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≥0，又因為 A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/

4、2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A) =λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) 推論：設A為Hermite矩陣，且A>0，則 tr(A)tr(A-1)≥n 另外，關于矩陣的跡的不等式還有很多，請參考《矩陣論中不等式》。 三、矩陣的秩 矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關矩陣秩的一些性質和不等式。 定義：矩陣A的秩定義為它的行（或列）向量的最大無關組所包含的向量的個數(shù)。記為rank(A) 性質： 1.； 2.； 3.； 4.，其中X列滿秩，Y行滿秩

5、（消去法則）。 定理（Sylvester）：設A和B分別為m×n和n×l矩陣，則 Sylveste定理是關于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的《矩陣論中不等式》，三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。 四、相對特征根 定義：設A和B均為P階實對稱陣，B>0，方程 |A-λB|=0的根稱為A相對于B的特征根。 性質：|A-λB|=0等價于|B-1/2AB-1/2-λI|=0 (因為B>0，所以B1/2>0) 注：求A相對于B的特征根問題轉化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣，所以

6、特征根為實數(shù)。 定義：使(A-λiB)li=0的非零向量li稱為對應于λi的A相對于B的特征向量。 性質： ① 設l是相對于λ的A B-1的特征向量，則 A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l) B-1l 為對應λ的A相對于B的特征向量 （轉化為求A B-1的特征向量問題）。 ② 設l是相對于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，則 B-1/2AB-1/2l=λl 可得 A (B-1/2l)=λB(B-1/2l) 則B-1/2l 為對應λ的A相對于B的特征向量 （轉化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題）。 五、向量數(shù)與矩陣

7、數(shù) 向量與矩陣的數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量數(shù)。 1. 向量數(shù)定義：設V為數(shù)域F上的線性空間，若對于V的任一向量x，對應一個實值函數(shù)，并滿足以下三個條件： （1）非負性 ，等號當且僅當x=0時成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。 則稱為V中向量x的數(shù)，簡稱為向量數(shù)。定義了數(shù)的線性空間定義稱為賦線性空間。 例1. ，它可表示成，， 就是一種數(shù)，稱為歐氏數(shù)或2-數(shù)。 證明： （i）非負性 ， 當且僅當時，即x＝0時，＝0 （ii）齊次性 （iii）三角不等式 ， 根據(jù)H?

8、lder不等式： ， 2. 常用的向量數(shù)（設向量為） 1-數(shù)：； ∞-數(shù)：； P-數(shù)： （p>1, p=1, 2,…,∞,）; 2-數(shù)：; 橢圓數(shù)(2-數(shù)的推廣): ，A為Hermite正定陣. 加權數(shù)：， 當， 證明：顯然滿足非負性和齊次性 （iii） ，， 應用H?lder不等式 即 3. 向量數(shù)的等價性 定理 設、為的兩種向量數(shù)，則必定存在正數(shù)m、M，使得 ，（m、M與x無關），稱此為向量數(shù)的等價性。 同時有 注： （1）對某一向量X而言，如果它的某一種數(shù)?。ɑ虼螅?，那么它的其它數(shù)也?。ɑ虼?/p>

9、）。 （2）不同的向量數(shù)可能大小不同，但在考慮向量序列的收斂性問題時，卻表現(xiàn)出明顯的一致性。 4、矩陣數(shù) 向量數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量，所以中任何一種向量數(shù)都可以認為是m×n階矩陣的矩陣數(shù)。 1. 矩陣數(shù)定義：設表示數(shù)域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A，均對應一個實值函數(shù)，并滿足以下四個條件： （1）非負性： ，等號當且僅當A=0時成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：,則稱為廣義矩陣數(shù)； （4）相容性：,則稱為矩陣數(shù)。 5. 常用的矩陣數(shù) （1）Frobenius數(shù)（F-數(shù)） F-數(shù)：

10、= = 矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn)，因而需要考慮矩陣數(shù)與向量數(shù)的協(xié)調性。 定義：如果矩陣數(shù)和向量數(shù)滿足 則稱這兩種數(shù)是相容的。 給一種向量數(shù)后，我們總可以找到一個矩陣數(shù)與之相容。 （2）誘導數(shù) 設A∈Cm×n，x∈, 為x的某種向量數(shù)， 記 則是矩陣A的且與相容的矩陣數(shù)，也稱之為A的誘導數(shù)或算子數(shù)。 （3）p-數(shù)：， ,x為所有可能的向量，， ， ，， 可以證明下列矩陣數(shù)都是誘導數(shù)： （1） 列（和）數(shù)； （2） 譜數(shù)； 的最大特征值稱為的譜半徑。 當A是Hermite矩陣時，是A的譜半徑。 注：譜數(shù)有許多良好的性質，因而經(jīng)常用

11、到。 （3） 行（和）數(shù) （ ，） 定理 矩陣A的任意一種數(shù)是A的元素的連續(xù)函數(shù)；矩陣A的任意兩種數(shù)是等價的。 定理 設A∈×n，x∈, 則和是相容的 即 證明：由于成立。 定理 設A∈×n，則是酉不變的，即對于任意酉矩陣U,V∈×n，有 證明： 定義 設A∈×n，A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜；特征值的模的最大值稱為A的譜半徑，記為ρ(A)。 定理 ρ(A)不大于A的任何一種誘導數(shù)，即 ρ(A)≤ 證明：設λ是A的任意特征值，x是相應的特征向量，即 Ax=λx 則 |λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||,

12、 ||x||≠0 即 |λ|≤||A|| 試證：設A是n階方陣，||A||是誘導數(shù)，當||A||<1時，I-A可逆，且有 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 證明： 若I-A不可逆，則齊次線性方程組 (I-A)x=0 有非零解x，即x=Ax，因而有 ||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x|| 但這是不可能的，故I-A可逆。 于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1 因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1|| ≤1+||A||﹒|| (I-

13、A)-1|| 即證 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 補充證明||I||=1： 由相容性可知： ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I|| 對于誘導數(shù)( ) 。 六、條件數(shù) 條件數(shù)對研究方程的性態(tài)起著重要的作用。 定義：設矩陣A是可逆方陣，稱||A||﹒||A-1||為矩陣A的條件數(shù)，記為cond(A)，即 cond(A)= ||A||﹒||A-1|| 性質： （1）cond(A) ≥1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導數(shù)的類型有關。 因cond(A)= ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I||=1 （2）con

14、d(kA)= cond(A)=cond(A-1)，這里k為任意非零常數(shù)。 當選用不用的數(shù)時，就得到不同的條件數(shù)，如： cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1 cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞ cond2(A)= ||A||2﹒||A-1||2=，其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù) 特別地，如果A為可逆的Hermite矩陣，則有 cond2(A)= 這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。 如果A為酉陣，則cond2(A)=1 例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A)，cond∞(A) 解： ||A||1=max{6;14

15、;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14; 故 ||A-1||1=17/4; ||A-1||∞=47/4; cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1=14×17/4=259/2; cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。 例 設線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆。討論當b有誤差δb時，解的相對誤差δx的大小。 解：因矩陣A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，設解的誤差為δx，由 A(x+δx)=b+δb 得 Aδx=δb或δx=A-1δb 得 （1） 又Ax=b，可得 ，或

16、 （2） 所以由（1）和（2），得 這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(A)密切相關；當右端b的相對誤差一定時，cond(A)越大，解的相對誤差就可能越大；cond(A)越小，解的相對誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(A)可以反映A的特性。 一般來說：條件數(shù)反映了誤差放大的程度，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)。條件數(shù)在最小二乘估計的穩(wěn)定性研究中有重要應用。 鑒于矩陣A的條件數(shù)數(shù)cond(A)有多種，但最常用的條件數(shù)是由譜數(shù)||A||2導出的，稱為譜條件數(shù)。在本章中，若無特別聲明，討論的條件數(shù)都是譜條件數(shù)。 譜條件數(shù)： 若A是m×n階矩陣，且rank(A) =t≤n，則A的條件數(shù)定義為 即最大奇異值與最小非零奇異值的商。 （3）其它性質 對任意酉矩陣Q，cond(QAQH)= cond(A-1)； 。 （因） 17 / 17