概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案(高等教育出版社) (浙江大學(xué))(盛驟、謝式千、潘承毅)

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1、- 第一章 概率論的根本概念 [四] 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C) = P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= .[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少. 記A表"4只全中至少有兩支配成一對(duì)〞 則表"4只人不配對(duì)〞 ∵ 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。 要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有 [十四] 。 解：由 由乘法公式，得

2、 由加法公式 [十七] 10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求以下事件的概率。 〔1〕二只都是正品〔記為事件A〕 法一：用組合做 在10只中任取兩只來(lái)組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)根本結(jié)果，每種取法等可能。 法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)根本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。 法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來(lái)作。 記A1，A2分別表第一、二次取得正品。 〔2〕二只都是次品〔記為事件B〕 法一： 法二： 法三： 〔3〕一只是正品，一只是次品〔記為事件C〕 法一： 法二： 法三： 〔4〕第二

3、次取出的是次品〔記為事件D〕 法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作， 法二： 法三： [二十二] 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，假設(shè)第一次及格則第二次及格的概率也為P；假設(shè)第一次不及格則第二次及格的概率為〔1〕假設(shè)至少有一次及格則他能取得*種資格，求他取得該資格的概率?！?〕假設(shè)他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。 解：Ai={他第i次及格}，i=1,2 P (A1)=P (A2|A1)=P， 〔1〕B={至少有一次及格} 所以 ∴ 〔2〕 〔*〕 由乘法公式，有P (A1A2)= P (A1) P (A2| A1)

4、= P2 由全概率公式，有 將以上兩個(gè)結(jié)果代入〔*〕得 .[二十四] 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求〔1〕第一次取到的零件是一等品的概率。〔2〕第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。 解：設(shè)Bi表示"第i次取到一等品〞i=1，2 Aj表示"第j箱產(chǎn)品〞j=1,2，顯然A1∪A2=SA1A2=φ 〔1〕〔B1= A1B +A2B由全概率公式解〕。 〔2〕 〔先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解

5、〕 第二章 隨機(jī)變量及其分布 [一] 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以*表示取出的三只球中的最大，寫出隨機(jī)變量*的分布律 解：*可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表 *： 3，4，5 P： .[三] 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以*表示取出次品的只數(shù)，〔1〕求*的分布律，〔2〕畫(huà)出分布律的圖形。 解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)*可能為0，1，2個(gè)。 P * 1 2 O 再列為下表 *： 0，1，2 P： [五] 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有

6、一扇是翻開(kāi)的。有一只鳥(niǎo)自開(kāi)著的窗子飛入了房間，它只能從開(kāi)著的窗子飛出去。鳥(niǎo)在房子里飛來(lái)飛去，試圖飛出房間。假定鳥(niǎo)是沒(méi)有記憶的，鳥(niǎo)飛向各扇窗子是隨機(jī)的。 〔1〕以*表示鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，求*的分布律。 〔2〕戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥(niǎo)，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說(shuō)是確實(shí)的，試求Y的分布律。 〔3〕求試飛次數(shù)*小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于*的概率。 解：〔1〕*的可能取值為1，2，3，…，n，… P {*=n}=P {前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去} =， n=1，2，…… 〔2〕Y的可能取

7、值為1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飛了出去}= P {Y=2}=P {第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去} = P {Y=3}=P {第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去} = 同上， 故 [九] 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)歷收無(wú)次品承受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)承受這批產(chǎn)品，假設(shè)產(chǎn)品的次品率為10%，求 〔1〕這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能承受的概率 〔2〕需作第二次檢驗(yàn)的概率 〔3〕這批產(chǎn)品按第

8、2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被承受的概率 〔4〕這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率 〔5〕這批產(chǎn)品被承受的概率 解：*表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故*~B〔10，0.1〕，Y~B〔5，0.1〕〔近似服從〕 〔1〕P {*=0}=0.910≈0.349 〔2〕P {*≤2}=P {*=2}+ P {*=1}= 〔3〕P {Y=0}=0.95≈0.590 〔4〕P {0<*≤2，Y=0}({0<*≤2}與{ Y=2}獨(dú)立) = P {0<*≤2}P {Y=0} =0.581×0.5900.343 〔5

9、〕P {*=0}+ P {0<*≤2，Y=0} ≈0.349+0.343=0.692 18.[十七] 設(shè)隨機(jī)變量*的分布函數(shù)為， 求〔1〕P (*<2), P {0<*≤3}, P (2<*<)；〔2〕求概率密度f(wàn)* (*). 解：〔1〕P (*≤2)=F*(2)= ln2， P (0<*≤3)= F*(3)－F*(0)=1， 〔2〕 22.[二十] *種型號(hào)的電子的壽命*〔以小時(shí)計(jì)〕具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子〔設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立〕。任取5只，問(wèn)其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少. 解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為 令Y表示"

10、任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)〞。則， [二十一] 設(shè)顧客在*銀行的窗口等待效勞的時(shí)間*〔以分計(jì)〕服從指數(shù)分布，其概率密度為： *顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過(guò)10分鐘他就離開(kāi)。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到效勞而離開(kāi)窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P〔Y≥1〕。 解：該顧客"一次等待效勞未成而離去〞的概率為 因此 .[二十三] 設(shè)*～N〔3.22〕 〔1〕求P (2<*≤5)，P(－4)<*≤10)，P{|*|>2}，P (*>3) ∵ 假設(shè)*～N〔μ，σ2〕，則P (α<*≤β)=φφ ∴P (2<*≤5) =φφ=φ(1)－φ(－0.5)

11、 =0.8413－0.3085=0.5328 P (－4<*≤10) =φφ=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996 P (|*|>2)=1－P (|*|<2)= 1－P (－2< P<2 ) = =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (*>3)=1－P (*≤3)=1－φ=1－0.5=0.5 〔2〕決定C使得P (* > C )=P (*≤C) ∵P (* > C

12、 )=1－P (*≤C)= P (*≤C) 得 P (*≤C)==0.5 又 P (*≤C)=φ∴C =3 32.[二十九] 設(shè)*～N〔0，1〕 〔1〕求Y=e*的概率密度 ∵*的概率密度是 Y= g (*)=e*是單調(diào)增函數(shù) 又 *= h (Y ) =lnY 反函數(shù)存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = ma*[g (－∞), g (+∞)]= ma*(0, +∞)= +∞ ∴Y的分布密度為： 〔2〕求Y=2*2+1的概率密度。 在這里，Y=2*2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒(méi)有一般的結(jié)論可用。

13、 設(shè)Y的分布函數(shù)是FY〔y〕， 則 FY (y)=P (Y≤y)=P (2*2+1≤y) = 當(dāng)y<1時(shí)：FY (y)=0 當(dāng)y≥1時(shí)： 故Y的分布密度ψ(y)是： 當(dāng)y≤1時(shí)：ψ(y)=[FY (y)]' = (0)' =0 當(dāng)y>1時(shí)，ψ(y)=[FY (y)]' = = 〔3〕求Y=| * |的概率密度。 ∵Y的分布函數(shù)為 FY (y)=P (Y≤y )=P ( | * |≤y) 當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y (y)=0 當(dāng)y≥0時(shí)，F(xiàn)Y (y)=P (| * |≤y )=P (－y≤*≤y

14、)= ∴Y的概率密度為： 當(dāng)y≤0時(shí)：ψ(y)=[FY (y)]' = (0)' =0 當(dāng)y>0時(shí)：ψ(y)=[FY (y)]' = 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 .[一] 在一箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗(yàn)：〔1〕放回抽樣，〔2〕不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量*，Y如下： 試分別就〔1〕〔2〕兩種情況，寫出*和Y的聯(lián)合分布律。 解：〔1〕放回抽樣情況 由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。 P (*=i, Y=j)=P (*=i)P (Y=j) P (*=0, Y=0 )= P (*=0, Y=1 )= P (*

15、=1, Y=0 )= P (*=1, Y=1 )= 或?qū)懗? * Y 0 1 0 1 〔2〕不放回抽樣的情況 P{*=0, Y=0 }= P {*=0, Y=1 }= P {*=1, Y=0 }= P {*=1, Y=1 }= 或?qū)懗? * Y 0 1 0 1 .[二] 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以*表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求*，Y的聯(lián)合分布律。 * Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 解：〔*，Y〕

16、的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i+j≥2，聯(lián)合分布律為 P{*=0, Y=2 }=P {*=1, Y=1 }= P {*=1, Y=2 }=P {*=2, Y=0 }= P {*=2, Y=1}=P {*=2, Y=2}= P {*=3, Y=0}=P {*=3, Y=1}= P {*=3, Y=2}=0 [三] 設(shè)隨機(jī)變量〔*，Y〕概率密度為 〔1〕確定常數(shù)k。 〔2〕求P {*<1, Y<3} 〔3〕求P (*<1.5} 〔4〕求P (*+Y≤4} 分析：利用P{(*, Y)∈G}=再化為累次積分，其中 解：〔1〕∵，∴ 〔2〕

17、 〔3〕 y 〔4〕 [六] 設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為 *=y y 求邊緣概率密度。 * o 解: [七] 設(shè)二維隨機(jī)變量〔*，Y〕的概率密度為 〔1〕試確定常數(shù)c。〔2〕求邊緣概率密度。 解: l= y o y=*2 * [十六] 第1題中的隨機(jī)變量*和Y是否相互獨(dú)立。 解：放回抽樣的情況 P{*=0, Y=0 } = P{*=0}·P {Y=0}= P{*=0, Y=1 } = P{*=0}P {Y=1}= P {*=1, Y=0 }= P{*=1}P {Y=0}= P{*=1, Y=1 } = P{*=1}P {Y=1

18、}= 在放回抽樣的情況下，*和Y是獨(dú)立的 不放回抽樣的情況： P{*=0, Y=0 } = P{*=0}= P{*=0}= P{*=0, Y=0 } + P {Y=0, *=1 }= P{*=0}·P {Y=0}= P{*=0, Y=0 }≠P{*=0}P {Y=0} ∴*和Y不獨(dú)立 第四章 [六] 設(shè)隨機(jī)變量*的分布為 * －2 0 2 Pk0.4 0.3 0.3 求 E(*)， E(3*2+5) 解：E(*)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E(*2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E(3*2+5) =

19、 3E(*2)+ E(5)= 8.4+5=13.4 [十] 一工廠生產(chǎn)的*種設(shè)備的壽命*〔以年計(jì)〕服從指數(shù)分布，概率密度為 工廠規(guī)定出售的設(shè)備假設(shè)在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。假設(shè)工廠出售一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元。試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏 利的數(shù)學(xué)期望。 解：一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為 故設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利 則 故 [二十一]〔1〕設(shè)隨機(jī)變量*1，*2，*3，*4相互獨(dú)立，且有E (*i )=i, D (*i )=5－i, i=1,2,3,4。設(shè)Y=2 *1－*2+3*3－*4，求E (Y)，D (Y)。 〔2〕設(shè)隨機(jī)變量*，Y

20、相互獨(dú)立，且*～N〔720，302〕，Y～N〔640，252〕，求Z1=2*+Y，Z2=*－Y的分布，并求P {*>Y }, P {*+Y>1400} 解：〔1〕利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°，3°有 E (Y)=2E (*1)－E (*2)+3 E (*3)－E (*4)=7 利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2°，3°有 D (Y)=22 D (*1)+ (－1)2 D (*2)+32 D (*3)+()2 D (*4)=37.25 〔2〕根據(jù)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知 Z1～N〔· ，·〕，Z2～N〔· ，·〕 而E Z1=2E*+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (*)+ D (Y)= 4225 E Z2=E*－EY=720－640=80, D (Z2)= D (*)+ D (Y)= 1525 即 Z1～N〔2080，4225〕， Z2～N〔80，1525〕 P{*>Y }= P{*－Y >0}= P{Z2>0}=1－P{Z2 ≤0} = P{*+Y >1400}=1－P{*+Y≤1400} 同理*+Y～N〔1360，1525〕 則P {*+Y >1400 }=1－P {*+Y ≤1400 } = . z.