數(shù)學第一部分 方法、思想解讀 第3講 分類討論思想、轉化與化歸思想（2） 理

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1、二、轉化與化歸思想二、轉化與化歸思想-2-轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學問題的解決,離不開轉化與化歸,如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題的轉化等.-3-1.轉化與化歸思想的含義轉化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而得到解決的一種思想方法.2.轉化與化歸的原則(1)熟悉化原則;(2)簡單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價性原則.3.常見的轉化與化歸的方法(1)直接轉化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結合法;(4)構造法;(5)坐

2、標法;(6)類比法;(7)特殊化方法;(8)等價問題法;(9)補集法.-4-應用一應用二應用三應用四應用一應用一特殊與一般的轉化特殊與一般的轉化 -5-應用一應用二應用三應用四思維升華1.當問題難以入手時,應先對特殊情形進行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關系,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略.2.數(shù)學題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.-6-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練1在定圓C:x2+y2=4內(nèi)過點P(-1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A,

3、B和M,N,則 的取值范圍是 .-7-應用一應用二應用三應用四應用二應用二命題的等價轉化命題的等價轉化 例2若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為16.轉化一 若只根據(jù)f(x)圖象關于直線x=-2對稱,得零點對稱,條件轉化為f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求導完成,恐有因式分解的障礙.轉化二 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱,當x取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移2個單位,得函數(shù)y=f(x+2)的圖象關于直線x=-2對稱,當(x+2)取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,于是

4、,函數(shù)的解析式只能含(x+2)的偶次方.-8-應用一應用二應用三應用四解析: (法一)函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=-2對稱,f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.-9-應用一應用二應用三應用四故f(x)的最大值為16.(法二)據(jù)已知可設f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,據(jù)f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,則f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-(x+2)2-52+1

5、6,故最大值為16.思維升華將已知條件進行轉換,有幾種轉換方法就有可能得出幾種解題方法.-10-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練2若關于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,則實數(shù)a的取值范圍是(-,-8.解析:(法一)設t=3x,則原命題等價于關于t的一元二次方程t2+(4+a)t+4=0有正解,所以a-8,即實數(shù)a的取值范圍是(-,-8.-11-應用一應用二應用三應用四(法二)設t=3x,得t2+(4+a)t+4=0.所以a-8,即實數(shù)a的取值范圍是(-,-8.-12-應用一應用二應用三應用四應用三應用三常量與變量的轉化常量與變量的轉化 例3已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,

6、g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,則實數(shù)x的取值范圍為 .-13-應用一應用二應用三應用四解析: 由題意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.對-1a1,恒有g(x)0,即(a)0對x(0,+)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為(-,-10,+).思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉化可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題;將證明

7、不等式問題轉化為函數(shù)的單調性與最值問題;將方程的求解問題轉化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.-16-應用一應用二應用三應用四突破訓練突破訓練4已知函數(shù)f(x)=3e|x|.若存在實數(shù)t-1,+),使得對任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解 因為當t-1,+),且x1,m時,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命題等價轉化為:存在實數(shù)t-1,+),使得不等式t1+ln x-x對任意x1,m恒成立.所以函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù).又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得對任意x1,m

8、,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.-17-應用一應用二應用三應用四且函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù),所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.-18-1.在應用化歸與轉化的思想方法去解決數(shù)學問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換.2.轉化與化歸思想在解題中的應用(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數(shù)的轉化、通過正弦、余弦定理實現(xiàn)邊角關系的相互轉化.(2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉化.(3)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(4)在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調性、極值(最值)、切線問題,轉化為其導函數(shù)f(x)構成的方程、不等式問題求解.