第三講 最短距離問題

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1、word 第三講 最短距離問題 一、知識梳理 幾何模型1 條件：如圖，、是直線同旁的兩個定點． 問題：在直線上確定一點，使的值最?。? 方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點， 如此的值最小 幾何模型2 條件：如圖，、是直線異側(cè)的兩個定點．且A、B到距離不相等 問題：在直線上確定一點，使的值最大 方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，如此的值最小 二、方法歸納 對于幾何模型1，近年來，除了常見的“一個動點〞外，出現(xiàn)了“兩個動點〞、“三個動點〞等變式問題的問題，而解決此類問題的關(guān)鍵在于：找點關(guān)于線的對稱點，實現(xiàn)“折〞轉(zhuǎn)“直〞。 對于幾何模型2，近年出現(xiàn)的中考題

2、都是直接應(yīng)用。 三、課堂精講例題 〔一〕、題中出現(xiàn)一個動點。 例1、在正方形ABCD中，點E為BC上一定點，且BE=10,CE=14,P為BD上一動點，求PE+PC最小值。 【難度分級】A類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗使學生掌握幾何模型1的應(yīng)用 〖解題思路〗作關(guān)于對稱點,可以證明在上， 易求 解：作關(guān)于對稱點 四邊形ABCD是正方形 在上，且 即是的最小值 【搭配課堂訓練題】 1、：拋物線的對稱軸為x=-1與軸交于兩點，與軸交于點其中、 〔1〕求這條拋物線的函數(shù)表達式． 〔2〕在對稱軸上存在一點P，使得的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標 【

3、難度分級】A類 〖試題來源〗2009年中考真題。 〖答案〗 解：〔1〕由題意得解得 ∴此拋物線的解析式為 〔2〕連結(jié)、.因為的長度一定，所以周長最小，就是使最小.點關(guān)于對稱軸的對稱點是點，與對稱軸的交點即為所求的點. 設(shè)直線的表達式為如此 解得 ∴此直線的表達式為 把代入得 ∴點的坐標為 例2：：直線與軸交于A，與軸交于D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為〔1，0〕． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標． 【難度分級】A類 〖試題來源〗2009眉山中考數(shù)學真題 〖選題意圖〗使學生

4、掌握幾何模型2的應(yīng)用 〖解題思路〗直接應(yīng)用幾何模型2，由于B是C關(guān)于對稱軸的對稱點，所以連接AB，如此AB與對稱軸的交點M即為所求。 〔1〕將A〔0，1〕、B〔1，0〕坐標代入得解得 ∴拋物線的解折式為 〔2〕拋物線的對稱軸為 ∵B、C關(guān)于x＝對稱∴MC＝MB 要使最大，即是使最大 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時的值最大易知直線AB的解析式為∴由得∴M〔，－〕 〔二〕、題中出現(xiàn)兩個動點。 例3、如圖：在△ABC中,,,M、N分別AB,AC上動點,求BN+MN+MC最小值 【難度分級】B類 〖試題來源〗2

5、003年余中學保送生測試題 〖選題意圖〗①使學生體會如何實現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握雙動點問題的解題方法 〖解題思路〗當題中出現(xiàn)兩個定點和兩個動點時,應(yīng)作兩次定點關(guān)于動點所在直線的對稱點.利用兩點之間線段最短求出最值。 解:作關(guān)于對稱點,關(guān)于對稱點, 有 (當、運動到、時等號成立), 、 為正三角形 【搭配課堂訓練題】 1、州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險〞著稱于世．著名的大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客．小民設(shè)計了兩種方案，圖9是方案一的示意圖〔與直線垂

6、直，垂足為〕，到、的距離之和，圖10是方案二的示意圖〔點關(guān)于直線的對稱點是，連接交直線于點〕，到、的距離之和． 〔1〕求、，并比擬它們的大??； 〔2〕請你說明的值為最??； 〔3〕擬建的到高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖11所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最小．并求出這個最小值． 【難度分級】B類 〖試題來源〗2009年自治州中考真題。 〖答案〗 解:⑴圖9中過B作BC⊥AP,垂足為C,如此PC=40,又AP=10, ∴AC=30 在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30

7、 ∴BC=40 ∴BP= S1= ⑵圖10中，過B作BC⊥AA′垂足為C，如此A′C=50， 又BC=40 ∴BA'= 由軸對稱知：PA=PA' ∴S2=BA'= ∴﹥ (2)如 圖10，在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'為最小 〔3〕如 圖12，過A作關(guān)于X軸的對稱點A', 過B作關(guān)于Y軸的對稱點B'，連接A'B',交X軸于點P, 交Y軸于點Q,如此P,Q即為所求 A'B'= ∴所求四邊形的周長為 例4、如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,假設(shè)AC,AB

8、是各有一個動點M,N,求BM+MN最小值. 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學生體會如何實現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②使學生掌握，在由“折〞轉(zhuǎn)“直〞的過程中，如何做到最短。 〖解題思路〗 解：作關(guān)于的對稱點, 在上運動,當運動到時,即 ，最短為 【搭配課堂訓練題】 如圖，在銳角中，，的平分線交于點分別是和上的動點，如此的最小值是________． 【難度分級】B類 〖試題來源〗2009年省中考真題。 〖答案〗4 〔三〕、題中出現(xiàn)三個動點時 例5、如圖，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分別為AB,BC,AC上動

9、點,求PE+PF最小值 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學生體會如何實現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握三動點問題的解題方法 〖解題思路〗 當題中出現(xiàn)三個動點時,在求解時應(yīng)注意兩點,(1)作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,(2)同時要考慮點點,點線,線線之間的最短問題. 解：作關(guān)于所直線的對稱點, 如此 , 因為在上運動,故當和、垂直時，最短,且 【搭配課堂訓練題】 12．如圖，∠AOB=45°，角有一動點P ，PO=10，在AO，BO上有兩動點Q，R，求△PQR周長的最小值。 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題。 〖答案〗 在任取一點,過

10、做、的對稱點、 如此有 由對稱性易知為等腰三角形 又因為，所以為等腰直角三角形 在中，, 所以的最小周長為： 〔四〕、綜合壓軸 例6、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD〔不含B點〕上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. ⑴ 求證：△AMB≌△ENB； ⑵①當M點在何處時，AM＋CM的值最??； ②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由； ⑶ 當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長. 【難度分級】C類 〖試題來源〗2010中考真題 〖選題意圖〗強化應(yīng)用 〖解題思路〗 〔1〕由題意

11、得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45，容易證出△AMB≌△ENB； 〔2〕①根據(jù)“兩點之間線段最短〞，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最??； ②根據(jù)“兩點之間線段最短〞，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長〔如圖18〕； 〔3〕作輔助線，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°， 設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長 解：⑴∵△ABE是等邊三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠MBA＝∠

12、NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB〔SAS〕. ⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小. ②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等邊三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根據(jù)“兩點之間線段最短〞，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長 ⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F， ∴∠EBF＝90°－

13、60°＝30°. 設(shè)正方形的邊長為x，如此BF＝x，EF＝. 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴〔〕2＋〔x＋x〕2＝. 解得，x＝〔舍去負值〕. ∴正方形的邊長為. 【搭配課堂訓練題】 1、如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為 ，，，延長AC到點D,使CD=,過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E. 〔1〕求D點的坐標； 〔2〕作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF，假設(shè)過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式； 〔3〕設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA

14、到達A點，假設(shè)P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短?！惨螅汉喪龃_定G點位置的方法，但不要求證明〕 【難度分級】C類 〖試題來源〗2009中考真題 〖答案〗 解：〔1〕∵，， ∴． 設(shè)與軸交于點． 由可得． 又， ∴． ∴，． 同理可得． ∴． ∴點的坐標為． 〔2〕由〔1〕可得點的坐標為． 由， 可得軸所在直線是線段的垂直平分線． ∴點關(guān)于直線的對稱點在軸上． ∴與互相垂直平分． ∴． ∴四邊形為菱形，且點為其對稱中心． 作直線． 設(shè)與分別交于點、點．可證． ∴． ∵，

15、 ∴． ∵， ∴． ∴直線將四邊形分成周長相等的兩個四邊形． 由點，點在直線上， 可得直線的解析式為． 〔3〕確定點位置的方法：過點作于點．如此與軸的交點為所求的點． 由， 可得， ∴． 在中，． ∴點的坐標為．〔或點的位置為線段的中點〕 四、鞏固練習 根底訓練題〔A類〕 1、如圖，AC、BD為正方形ABCD對角線，相交于點O,點E為BC邊的中點，正方形邊長為2cm,在BD上找點P，使EP+CP之和最小，且最小值為________。 【答案】 2、〔1〕如圖22，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，如此PB+PE的最小

16、值為； 〔2〕幾何拓展：如圖23, △ABC中，AB=2，∠BAC=30,假設(shè)在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小， 這個最小值為； 【答案】 1、 2、 3、如如下圖，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形，在對角線上有一點，使的值最小，如此這個最小值為〔〕 A．B． C．3 D． 【答案】A 4、直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，如此當PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為〔〕 A、B、 C、D、3 【答案】C 提高訓練〔B類〕 1、如圖

17、，在直角坐標系中，點A的坐標為〔-2，0〕，連結(jié)OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB. 〔1〕求點B的坐標； 〔2〕求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式； 〔3〕在〔2〕中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最??？假設(shè)存在，求出點C的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.〔注意：此題中的結(jié)果均保存根號〕 【解析】:〔1〕過點B作BD⊥軸于點D，由可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。. ∴OD=1，DB= ∴點B的坐標是〔1，〕. 〔2〕設(shè)所求拋物線的解析式為，由可得： 解得： ∴所求拋物線解析式為

18、 〔3〕存在. 由配方后得： ∴拋物線的對稱軸為=－1. 〔也寫用頂點坐標公式求出〕 ∵OB=2，要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小. ∵點O與點A關(guān)于直線=－1對稱，有CO=CA. △ BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA. ∴當A、C、B三點共線，即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時，BC+CA最小，此時△BOC的周長最小. 設(shè)直線AB的解析式為 解得： ∴直線AB的解析式為 當=－1時， ∴所求點C的坐標為〔－1，〕. 2、如圖，拋物線的頂點P的坐標為，交x軸于A、B兩點，交y軸于點． 〔1〕求拋物線的表達式． 〔2〕把△ABC繞AB的

19、中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC． 判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由． 〔3〕試問在線段AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小， 假設(shè)存在，請寫出點F的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由． 【解析】 解：〔1〕由題意知 解得， ∴拋物線的解析式為 〔2〕設(shè)點A〔，0〕，B〔，0〕，如此， 解得 ∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝ ∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AC＝BD，BC＝AD ∴四邊形ADBC是平行四邊形 又∵∠ACB＝90°．∴四邊形ADBC是矩形 〔3〕延長BC至N，使．假設(shè)

20、存在一點F，使△FBD的周長最?。? 即最?。? ∵DB固定長．∴只要FD+FB最?。帧逤A⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN． ∴當N、F、D在一條直線上時，F(xiàn)D+FB最小 ． 又∵C為BN的中點， ∴〔即F為AC的中點〕． 又∵A〔－1，0〕，C〔0，－〕 ∴ 點F的坐標為F〔，〕 ∴ 存在這樣的點F〔，〕，使得△FBD的周長最小． 綜合遷移〔C類〕 1、如圖，點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線上． (1) 求a的值與點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標； (2) 平移拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點

21、B的對應(yīng)點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點． ① 當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式； ② 當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？假設(shè)存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；假設(shè)不存在，請說明理由． 【解析】(1) 將點A(-4，8)的坐標代入，解得． 將點B(2，n)的坐標代入，求得點B的坐標為(2，2)， 如此點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標為(2，-2)． 直線AP的解析式是． 令y=0，得．即所求點Q的坐標是(，0)． (2)① 設(shè)將拋物線向左平移m個單位，如此平移后A′，B

22、′的坐標分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點A′關(guān)于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-m，-8)． 直線A′′B′的解析式為． 要使A′C+CB′最短，點C應(yīng)在直線A′′B′上， 將點C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得． 故將拋物線向左平移個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為． ②左右平移拋物線，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短； 第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短． 第二種情況：設(shè)拋物線向左平

23、移了b個單位，如此點A′和點B′的坐標分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)． 因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′(-b，2)， 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 點A′關(guān)于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-b，-8)， 直線A′′B′′的解析式為．要使A′D+DB′′最短，點D應(yīng)在直線A′′B′′上，將點D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，解得． 故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為． 2、定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經(jīng)過的頂點．設(shè)的對稱軸分別交于點，點是點關(guān)于直線

24、的對稱點． 〔1〕如圖30，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，得到：，點的坐標為，如此①的值等于______________； ②四邊形為〔 〕 A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形 〔2〕如圖31，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，點的坐標為，求的面積； 〔3〕如圖32，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，，點是直線上的動點，求點到點的距離和到直線的距離之和的最小值． 【解析】 (1) －2；D； (2) ∵：y＝a(x－2)2＋c－1，而〔0，c〕在上，可得a＝． ∴DB＝〔4a＋c〕－〔c－1〕＝2，∴＝2． 〔3〕當點在點的右側(cè)時〔如圖33〕， 設(shè)AC與BD交于點N，拋物線，配方得， 其頂點坐標是〔1，2〕，∵AC＝2，∴點C的坐標為． ∵過點， ∴解析式為，∴B〔， ∴D〔， ∴，∵點與點關(guān)于直線對稱， ∴，且 ∴四邊形ABCD是菱形．∴PD＝PB． 作交于點，如此PD＋PH＝PB＋PH． 要使PD＋PH最小，即要使PB＋PH最小， 此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高． ∵＝1，＝，，∴＝， 故是等邊三角形． ∴∴最小值為． 當點在點的左側(cè)時〔如圖34〕，同理，最小值為． 綜上，點到點的距離和到直線的距離之和 的最小值為． 25 / 25