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1、
提分專練(五) 與全等三角形有關(guān)的中檔計算題與證明題
|類型1| 全等三角形與等腰三角形的結(jié)合問題1.如圖T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求證:(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
圖T5-1
2.[2017·蘇州] 如圖T5-2,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù).
圖T5-2
3.[2017·呼和浩特] 如圖T5-3,等腰三角形ABC中,B
2、D,CE分別是兩腰上的中線.
(1)求證:BD=CE;
(2)設(shè)BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當(dāng)△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.
圖T5-3
4.如圖T5-4,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求證:AD=BE;
(2)求∠AEB的度數(shù).
圖T5-4
|類型2| 全等三角形與直角三角形的結(jié)合問題
5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC
3、,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于點H,請你添加一個適當(dāng)條件 ,使△AEH≌△CEB.?
圖T5-5
6.如圖T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點D,過點D作DE⊥AB于點E.
(1)求證:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的長.
圖T5-6
|類型3| 全等三角形與等腰直角三角形的結(jié)合問題
7.已知:如圖T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點.
(1)求證:△ACE≌△BCD;
4、
(2)求證:2CD2=AD2+DB2.
圖T5-7
8.如圖T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延長CA至點E,使AE=AC;延長CB至點F,使BF=BC.連接AD,AF,DF,EF,延長DB交EF于點N.
(1)求證:AD=AF;
(2)求證:BD=EF.
圖T5-8
參考答案
1.證明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,
∴∠FAE=∠BCE.
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(ASA).
5、
(2)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2CD.
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC,∴AF=2CD.
2.[解析] (1)用ASA證明兩三角形全等;(2)利用全等三角形的性質(zhì)得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性質(zhì):等邊對等角,即可求出∠C的度數(shù),進(jìn)而得到∠BDE的度數(shù).
解:(1)證明:∵AE和BD相交于點O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
6、
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
3.解:(1)證明:∵AB,AC為等腰三角形的兩腰,
∴AB=AC.
∵BD,CE分別是兩腰上的中線,
∴AE=AD.
在△AEC與△ADB中,
∴△AEC≌△ADB,
∴BD=CE.
(2)四邊形DEMN為正方形.
4.解:(1)證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴AC=BC,DC=EC,
∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BC
7、E,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
(2)∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.
5.AE=EC(答案不唯一) [解析] 根據(jù)垂直關(guān)系,可以判斷△AEH與△CEB有兩對對應(yīng)角相等,所以只需要找它們的一對對應(yīng)邊相等就可以了.
∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為
8、D,E,
∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,
在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,
又∠AHE=∠DHC,
∴∠EAH=∠BCE.
所以根據(jù)AAS可添加AH=CB或EH=EB;
根據(jù)ASA可添加AE=CE.
故答案為AH=CB或EH=EB或AE=CE等.
6.解:(1)證明:∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠ACD=∠AED=90°.
又∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED.
(2)∵△ACD≌△AED,
∴DE=CD=1.
∵∠B=30°,∠DEB=
9、90°,
∴BD=2DE=2.
7.證明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD2+AE2=DE2.
由(1)知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2,
又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.
8.證明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.
∵∠BCD=90°,
∴∠ACD=135°.
∴∠ABF=∠ACD,
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.
在△ABF和△ACD中,
∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.
(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC.
∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠BAD.
在△AEF和△ABD中,
∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.
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