高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓：64 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例 Word版含解析

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1、 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·泉州模擬)在下列各圖中，兩個變量具有相關關系的是(　　) (1)　　　　(2)　　　　(3)　　　(4) A．(1)(2)　　　　 B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3) D　[(1)是函數(shù)關系，(4)不具有相關關系，排除A，B，C，故選D.] 2．(2019·肇慶模擬)如圖是相關變量x，y的散點圖，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程y＝b1x＋a1，相關系數(shù)為r1；方案二：剔除點(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＝b

2、2x＋a2，相關系數(shù)為r2.則(　　) A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1 C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0 D　[根據(jù)相關變量x，y的散點圖知，變量x，y具有負線性相關關系，且點(10,21)是離群值； 方案一中，沒剔除離群值，線性相關性弱些，成負相關； 方案二中，剔除離群值，線性相關性強些，也是負相關． 所以相關系數(shù)－1＜r2＜r1＜0.故選D.] 3．(2019·石家莊二模)現(xiàn)行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男、女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖： 根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個統(tǒng)計結論是不正確的

3、(　　) A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量 B．樣本中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量 C．樣本中的男生偏愛兩理一文 D．樣本中的女生偏愛兩文一理 D　[由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，男生偏愛兩理一文，女生中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故選D.] 4．對具有線性相關關系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實數(shù)的值是(　　) A. B. C. D. B　[依

4、題意可知樣本點的中心為，則＝×＋，解得＝.] 5．(2019·中原六校聯(lián)考)某醫(yī)療所為了檢查新開發(fā)的流感疫苗對甲型H1N1流感的預防作用，把1 000名注射疫苗的人與另外1 000名未注射疫苗的人半年的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種疫苗不能起到預防甲型H1N1流感的作用”，并計算得P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法正確的是(　　) A．這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的有效率為1% B．若某人未使用疫苗則他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感 C．有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的作用” D．有1%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N

5、1流感的作用” C　[因為P(χ2≥6.635)≈0.01，這說明假設不合理的程度為99%，即這種疫苗不能起到預防甲型H1N1流感的作用不合理的程度約為99%，所以有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的作用”，故選C.] 二、填空題 6．(2019·湖南衡陽聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 則________同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性

6、相關性． 丁　[r越大，m越小，線性相關性越強．] 7．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x/個 10 20 30 40 50 加工時間y/min 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________． 68　[由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 設表中的“模糊數(shù)字”為a， 則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.] 8．某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把50

7、0名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結論中，正確結論的序號是________． ①有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預防感冒的有效率為95%；④這種血清預防感冒的有效率為5%. ①　[χ2≈3.918＞3.841，而P(χ2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”．要注意我們檢驗的假設是否成

8、立和該血清預防感冒的有效率是沒有關系的，不是同一個問題，不要混淆．] 三、解答題 9．經(jīng)調(diào)查，3個成年人中就有一個高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經(jīng)國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調(diào)查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如表所示． 年齡x 28 32 38 42 48 52 58 62 收縮壓y (單位：mm Hg) 114 118 122 127 129 135 140 147 其中＝，＝－，x＝17 232， xiyi＝47 384. (1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出

9、y關于x的線性回歸方程＝x＋；(，的值精確到0.01) (3)若規(guī)定，一個人的收縮壓為標準值的0.9～1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標準值的1.06～1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.12～1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群．一位收縮壓為180 mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？ [解]　(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示． (2)＝＝45， ＝＝129， ∴＝＝＝≈0.91， ＝－＝129－0.91×45＝88.05， ∴回歸直線方程＝0.91x＋88.05. (3)根據(jù)回歸直線方程的預測，年

10、齡為70歲的老人標準收縮壓為0.91×70＋88.05＝151.75(mgHg)， ∵≈1.19， 且1.12＜1.19＜1.20， ∴收縮壓為180 mmHg的70歲老人屬于中度高血壓人群． 10．(2019·清華大學附中三模)手機廠商推出一款6寸大屏手機，現(xiàn)對500名該手機使用者(200名女性、300名男性)進行調(diào)查，對手機進行評分，評分的頻數(shù)分布表如下： 女性 用戶 分值區(qū)間 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 20 40 80 50 10 男性 用戶 分值區(qū)間 [50,60) [60,70

11、) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 45 75 90 60 30 (1)完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大小(不計算具體值，給出結論即可)； (2)把評分不低于70分的用戶稱為“評分良好用戶”，能否有90%的把握認為是否是評分良好用戶與性別有關？ 參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如下圖所示： 　　　女性用戶　　

12、　　　　　　男性用戶 由圖可得女性用戶的波動小，男性用戶的波動大． (2)由題可得2×2列聯(lián)表如下： 女性用戶 男性用戶 合計 評分良好用戶 140 180 320 不是評分良好用戶 60 120 180 合計 200 300 500 則χ2＝＝≈5.208>2.706， 所以有90%的把握認為是否是評分良好用戶與性別有關． 1．(2019·衡水中學調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2

13、A．變量x，y之間呈負相關關系 B．可以預測，當x＝20時，＝－3.7 C．m＝4 D．該回歸直線必過點(9,4) C　[由－0.7<0，得變量x，y之間呈負相關關系，故A正確；當x＝20時，＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正確；由表格數(shù)據(jù)可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝(6＋m＋3＋2)＝，則＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C錯；由m＝5，得＝＝4，所以該回歸直線必過點(9,4)，故D正確．故選C.] 2．(2019·大連模擬)在對具有線性相關的兩個變量x和y進行統(tǒng)計分析時，得到如下數(shù)據(jù)： x 4 m 8 10 12 y 1 2 3 5

14、 6 由表中數(shù)據(jù)求得y關于x的回歸方程為＝0.65x－1.8，則(4,1)，(m,2)，(8,3)這三個樣本點中落在回歸直線下方的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．0個 B　[由表中數(shù)據(jù)，得 ＝×(4＋m＋8＋10＋12)＝， ＝×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4， 代入回歸方程＝0.65x－1.8中， 得3.4＝0.65×－1.8， 計算得出m＝6. 所以x＝4時，＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，點(4,1)在回歸直線＝0.65x－1.8上方；x＝6時，＝0.65×6－1.8＝2.1＞2， 點(6,2)在回歸直線＝0.65x－1.8下方； x＝8時，＝

15、0.65×8－1.8＝3.4＞3，點(8,3)在回歸直線＝0.65x－1.8下方． 綜上，(4,1)，(6,2)，(8,3)這三個樣本點中落在回歸直線下方的有2個．故選B.] 3．針對時下的“韓劇熱”，某校團委對“學生性別和喜歡韓劇是否有關”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有95%的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至少有________人． P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18　[設男生人數(shù)為x，由題意可得列聯(lián)表如下： 喜歡韓

16、劇 不喜歡韓劇 總計 男生 x 女生 總計 若有95%的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關， 則k≥3.841，即k＝＝≥3.841， 解得x≥12.697. 因為各部分人數(shù)均為整數(shù)，所以x是18的倍數(shù)，所以若有95%的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至少有18人．] 4．(2019·莆田二模)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響．該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．

17、現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i＝1,2，…，12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． 令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)： (xi－)2 (yi－)2 20 66 770 200 460 4.20 ·(ui－)2 (ui－)· (yi－) (vi－)2 (xi－)· (vi－) 3 125 000 21 500 0.308 14 (1)設{ui}和{yi}的相關系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關系數(shù)為r2，請從

18、相關系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型； (2)(ⅰ)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)； (ⅱ)若下一年銷售額y需達到90億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元． 附：①相關系數(shù)r＝， 回歸直線＝＋x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝－； ②參考數(shù)據(jù)：308＝4×77，≈9.486 8，e4.499 8≈90. [解]　(1)由題意，r1＝＝＝＝＝0.86，r2＝＝＝＝≈0.91， 則|r1|<|r2|，因此從相關系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好． (2)(ⅰ)先建立v關于x的線性回歸方程， 由y＝eλx

19、＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx， 由于λ＝＝≈0.018≈0.02， t＝－λ＝4.20－0.018×20＝3.84， 所以v關于x的線性回歸方程為＝0.02x＋3.84， 所以ln ＝0.02x＋3.84，則＝e0.02x＋3.84； (ⅱ)下一年銷售額y需達到90億元，即y＝90， 代入＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84， 又e4.4998≈90， 所以4.499 8≈0.02x＋3.84， 所以x≈＝32.99， 所以預測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元． 1．(多選題)獨立性檢驗中，為了調(diào)查變量X與變量Y的關系，經(jīng)過計

20、算得到P(χ2≥6.635)＝0.01，表示的意義是(　　) A．有99%的把握認為變量X與變量Y沒有關系 B．有1%的把握認為變量X與變量Y有關系 C．有99%的把握認為變量X與變量Y有關系 D．有1%的把握認為變量X與變量Y沒有關系 CD　[獨立性檢驗中，由P(K2≥6.635)＝0.01，它表示的意義是：有1%的把握認為變量X與變量Y沒有關系，D正確；即有99%的把握認為變量X與變量Y有關系，C正確．故選CD.] 2．已知由一組樣本數(shù)據(jù)確定的回歸直線方程為＝1.5x＋1，且＝2，發(fā)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)(2.2,2.9)與(1.8,5.1)誤差較大，去掉這兩組數(shù)據(jù)后，重新求得回歸直線的斜率為1，那么當x＝4時，y的估計值為________． 6　[已知＝2，則＝1.5×2＋1＝4，由題意知去掉兩組數(shù)據(jù)后中心沒變，設重新求得的回歸直線方程為＝x＋b，將樣本點的中心(2, 4)代入得b＝2，因而當x＝4時，y的估計值為6.]