2019版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十六章 二次根式試題 （新版）新人教版

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1、第十六章二 次 根 式 1.二次根式的相關(guān)概念 (1)正確理解二次根式的概念要把握以下幾點(diǎn): 二次根式是從形式上定義的,必須含有二次根號; 在二次根式中,被開方數(shù)可以是數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式,但必須注意:因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根,都必須滿足被開方數(shù)(式)是非負(fù)數(shù); 根指數(shù)是2; 形如b(a0)的式子也是二次根式.【例1】要使二次根式有意義,x必須滿足()A.x2B.x2C.x2【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.根據(jù)題意,得x-20,解得x2.(2)正確理解最簡二次根式:被開方數(shù)中不含分母,也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)或整式;被開方數(shù)中每個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1.【例2】下列二次根式中的最簡二次根式是(

2、)A.B.C.D.【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.=2,=2,=,而是最簡二次根式.1.要使代數(shù)式有意義,則x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是2.下列屬于最簡二次根式的是()A.B.C.D. 2.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),正數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)數(shù).我們已學(xué)過的非負(fù)數(shù)有如下形式: (1)任何一個數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù),即|a|0. (2)任何一個數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù),即a20. (3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即0(a0). 即若a為實(shí)數(shù),則a2,|a|,(a0)均為非負(fù)數(shù). 非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì): (1)非負(fù)數(shù)的最小值為零. (2)有限個非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù). (3)若幾個非負(fù)數(shù)的和等

3、于零,則每個非負(fù)數(shù)都等于零.【例】若x,y為實(shí)數(shù),且|x+2|+=0,則(x+y)2 016的值為.【標(biāo)準(zhǔn)解答】根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的意義可知,|x+2|0,0,又因?yàn)閨x+2|+=0,因此|x+2|=0,=0,x+2=0,y-3=0,x=-2,y=3,(x+y)2 016=1.答案:11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足-1+|y+3|=0,則x+y的值為()A.-2B.2C.4D.-42.若+(y+2)2=0,則(x+y)2 014等于()A.-1B.1C.32 014D.-32 0143.化簡二次根式的技巧 (1)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù) 先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再把分子、分母乘以適當(dāng)?shù)臄?shù),把分母變成平方數(shù),

4、應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把分母中的數(shù)開出來.【例1】化簡:.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=. (2)被開方數(shù)為單項(xiàng)式 先把單項(xiàng)式寫成數(shù)或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數(shù)或字母開出來.【例2】化簡:.【標(biāo)準(zhǔn)解答】=2ab2. (3)被開方數(shù)為多項(xiàng)式 先把多項(xiàng)式分解因式成數(shù)或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數(shù)或字母開出來.【例3】化簡:.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=2x2y.(4)被開方數(shù)是分式 把分式的分母和分子乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)或字母,把分母變成平方數(shù)(式),應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把分母中的數(shù)或字母開出來.【例4】化簡:.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=.1.化簡的結(jié)果是()A.4 B.2 C.3 D.

5、22.化簡:=.3.若=3-x,則x的取值范圍是. 4.二次根式的有關(guān)運(yùn)算 (1)二次根式的乘除運(yùn)算有兩種策略:一是先把它們都化成最簡二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法則化簡.要根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選擇,單純的乘除混合運(yùn)算,一般采用第二種方法.【例1】計(jì)算的結(jié)果是()A. B.4 C. D.2【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.=4. (2)二次根式的加減運(yùn)算,可以簡記為“一化,二找,三合并”,即把二次根式化成最簡二次根式;找出被開方數(shù)相同的根式;合并被開方數(shù)相同的二次根式.(被開方數(shù)不同的不能合并)【例2】計(jì)算-3= .【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=2-3=2-=.答案: (3)二次根式的混合運(yùn)算,首先要搞清楚運(yùn)算的順

6、序,其次是認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),能利用運(yùn)算律或公式的,要優(yōu)先考慮使用運(yùn)算律或公式(或公式的逆用),簡化運(yùn)算.在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律、運(yùn)算法則、公式及因式分解、約分、通分等方法對二次根式同樣適用.【例3】計(jì)算:=.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=-=9-1=8.答案:81.計(jì)算:-2等于.2.計(jì)算的結(jié)果是.3.計(jì)算:(+)2-=.5.數(shù)學(xué)思想在解答二次根式題目中的應(yīng)用 (1)轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是將不易解決的問題變成我們?nèi)菀捉鉀Q的問題,從而達(dá)到將抽象轉(zhuǎn)化為具體,復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單的一種數(shù)學(xué)思想.如例1中,將復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化成積的乘方的形式,再利用平方差公式知識求解.【例1】計(jì)算(1+)2 012(1-)2 01

7、3.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=(1+)2 012(1-)2 012(1-)=(1-)=(-1)2 012(1-)=1-. (2)分類討論思想 有的數(shù)學(xué)問題可能有幾種情況,在未具體指明哪種情況時(shí),需要對各種情況進(jìn)行討論,確保“不重不漏”.【例2】已知|a|=2,=4,且ab0,則a+b的值為.【標(biāo)準(zhǔn)解答】|a|=2,則a=2, =4,則|b|=4,b=4.又ab0,則當(dāng)a=2時(shí),b=-4.當(dāng)a=-2時(shí),b=4.于是a+b=-2或2. (3)整體思想 整體思想就是化零為整,化分散為集中的一種思想方法.有的題目直接代入計(jì)算比較繁瑣,且比較容易出錯.仔細(xì)觀察所求的代數(shù)式發(fā)現(xiàn)可以變形,整體代入計(jì)算可起到化繁為簡

8、的目的.【例3】當(dāng)x=-,y=+時(shí),求x2+xy+y2的值.【標(biāo)準(zhǔn)解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy,又x+y=2,xy=-1.于是x2+xy+y2=(2)2-(-1)=9. (4)數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.” 本例利用數(shù)形結(jié)合思想,通過觀察和分析可從數(shù)軸上獲取一些信息,然后結(jié)合二次根式的性質(zhì)解決問題.【例4】實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡 -.【標(biāo)準(zhǔn)解答】通過觀察數(shù)軸可以看到a0.于是a-b0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.1.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,則

9、+ 化簡后為()A.7B.-7C.2a-15D.無法確定2.已知x=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x+2y的值.答案解析：1.二次根式的相關(guān)概念【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選A.由二次根式有意義的條件得2-3x0,x,故選A.2.【解析】選A.因?yàn)锽.,被開方數(shù)中含有分母,C.=,D.=3.2.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選A.+|y+3|=0,x-1=0,y+3=0;x=1,y=-3,原式=1+(-3)=-2.2.【解析】選B.+(y+2)2=0,解得(x+y)2 014=(1-2)2 014=1.3.化簡二次根式的技巧【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選B.=2.2.【解析】=2.答案:2 3.【解析】0,3-x0,即x3.答案:x34.二次根式的有關(guān)運(yùn)算【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】原式=3-2=3-=2.答案:22.【解析】原式=5.答案:53.【解析】(+)2-=5+2-2=5.答案:55.數(shù)學(xué)思想在解答二次根式題目中的應(yīng)用【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選A.由數(shù)軸可知5a10,+=a-4+11-a=7.2.【解析】x=1-,y=1+,x-y=(1-)-(1+)=-2,xy=(1-)(1+)=-1.x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2)2-2(-2)+(-1)=7+4.9