2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題31 圓的基本性質(zhì)試題（A卷含解析）

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1、 專題31 圓的基本性質(zhì) 一、選擇題 1. （ 山東聊城，9，3分）如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是弧CD上一點(diǎn)，且，連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，則∠E的度數(shù)為 A、45° B、50° C、55° D、60° 【答案】B 【逐步提示】第一步先利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)求出ACD的度數(shù)，第二步利用等弧所對的圓周角相等求出∠DCE，第三步利用三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和求出∠E的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)?，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-105

2、°=75°，又因?yàn)?，所以∠DCE=∠BAC=25°，又因?yàn)椤螦DC=∠DCE+∠E，所以∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°，故選擇B . 【解后反思】本題考查了圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系解決問題．等弧所對的圓周角相等；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和. 【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì) ；圓心角、圓周角定理；與三角形有關(guān)的線段、角；； 2.（ 山東泰安，10，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交圓O于點(diǎn)F，則∠BAF等于（ ） A

3、O C B F 第10題圖 A．12．5° B．15° C．20° D．22．5° 【答案】B 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及等邊三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圓的有關(guān)性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)判定三角形的形狀．連接OB，由四邊形ABCO是平行四邊形，可知，再由半徑相等可得△ABO為等邊三角形，由OF⊥OC可得OF⊥AB，從而知道∠BOF的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可以計算出∠BAF的度數(shù)． 【詳細(xì)解答】解：連接OB，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OB＝OA，∴

4、△ABO為等邊三角形，∴∠AOB＝60°．又∵OF⊥OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOB＝30°，∴∠BAF＝∠BOF＝15°．故選擇B . A O C B F 第10題圖 【解后反思】(1)圓周角定理能有效地把圓心角與圓周角聯(lián)系起來即在同圓或等圓中圓周角的度數(shù)等于同弧或等弧所對的圓心角的一半；(2)圓中任意兩條半徑和弦組成的三角形都是等腰三角形．此題利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，并結(jié)合圓中半徑都相等，得到一個等邊三角形，從而求得一個60°的角，這是解決問題的關(guān)鍵所在． 【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形；圓心角、圓周角定理． 3. （ 山東泰安

5、，17，3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點(diǎn)D，連接AE，則的值等于（ ） O C A B E D 第17題圖 A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 【答案】D 【逐步提示】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握有關(guān)的性質(zhì)及圖形之間的聯(lián)系．因?yàn)榭梢灾馈鰽DE∽△CDB，面積比就等于相似比的平方．所以求出相似比即可．因?yàn)锳B是⊙O的直徑，∠B＝30°，可知BC＝ABcos30°，再

6、找出AE與AB的關(guān)系就可以了．因?yàn)镃E平分∠ACB，連接BE可知△AEB為等腰直角三角形，AE＝ABcos45°．這樣就知道了，問題解決． O C A B E D 第17題圖 【詳細(xì)解答】解：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴BC＝ABcos30°＝．∵ CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∵∠BCE＝∠BAE，∴∠BAE＝45°，∴AE＝ABcos45°＝，∴＝，∵∠BCE＝∠BAE，∠ADE＝∠CDB，∴△ADE∽△CDB，∴ 故答案為D . 【解后反思】求兩個三角形的

7、面積關(guān)系首先判斷兩個三角形是否相似，如果相似可以用相似三角形的性質(zhì)：兩個相似三角形面積比等于相似比的平方去解決．此題解題的關(guān)鍵是利用直徑所對的圓周角是直角得到兩個直角三角形，然后通過特殊角的三角形函數(shù)值找到線段AE與BC的等量關(guān)系． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理 ；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì) 4. （ 山東濰坊，9，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A（8，0）．與y軸分別交于點(diǎn)B（0，4）與點(diǎn)C（0，16）．則圓心M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（ ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及圖形與

8、坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用勾股定理進(jìn)行解答．過點(diǎn)M作MN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，連接OM、BM，先利用垂徑定理求出BN的長度，再利用勾股定理求出⊙M的半徑，然后利用勾股定理求OM的長度. 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)M作MN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，連接OM、BM， 由A（8，0）、B（0，4）、C（0，16）可得：OA=8，BC=16－4=12. ∴MN=OA=8，BN=BC=6 ∴在Rt△MNB中，BM=，即⊙M的半徑為10. ∴ON=10. 在Rt△OMN中， . 故選擇D . 【解后反思】垂徑定理與勾股定理聯(lián)系密切，解此類題時需注意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行解答.

9、 【關(guān)鍵詞】垂徑定理；勾股定理；平面直角坐標(biāo)系； 5. （ 山東省煙臺市，10，3分）如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC=40°，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，與量角器外沿交于點(diǎn)D.若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（ ） 【答案】D 【逐步提示】由于不明確等腰三角形的邊和腰，所以要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)BC為底邊時，當(dāng)BC為腰時，分別求出∠BCD的度數(shù)，即可求解. 在求解過程中要注意：點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)等于2∠BCD的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：

10、∵∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上. 分兩種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)BC為底邊時，∠BCD=∠ABC=40°， ∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是40°2=80°， 當(dāng)BC為腰時，∠BCD==70°， ∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是70°2=140°， 故選擇D . 【解后反思】解此題的關(guān)鍵是掌握圓心角、圓周角定理和等腰三角形的定義和性質(zhì)． 1.圓周角定理的推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 2.已知頂角求底角的方法：底角＝． 3.解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，然后利用圓周角定理以及推論

11、求解，特別地，當(dāng)有直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一性質(zhì)；或是當(dāng)有直角時，往往要用到90°的圓周角所對的斜邊是直徑.． 4.沒有明確等腰三角形的底或腰時，一定要注意分類討論．分類討論是一種重數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問題時，常常需要通過分類討論解決問題.分類要依據(jù)一個標(biāo)準(zhǔn)，且要做到不重不漏. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形；圓周角；??；分類討論思想； 6.(浙江杭州，8，3分)如圖，已知AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓周上(不與A．C重合)，點(diǎn)D在AC的延長線上，連結(jié)BD交⊙O于點(diǎn)E．若∠AOB＝3∠ADB，則( ) A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE

12、＝DO D．DE＝OB 第8題圖 第7題圖 【答案】D． 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判斷，解題的關(guān)鍵是充分利用半徑相等、等腰三角形的兩底角相等及等角對等邊等有關(guān)性質(zhì)．由四個選項(xiàng)中都是線段DE與相關(guān)線段的大小比較，且題目中條件為角之間的倍數(shù)關(guān)系，這樣就聯(lián)想到通過三角形之間的邊角關(guān)系來探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系了：不妨連接OE，首先由OB＝OE，得到∠B＝∠OEB；再由三角形的外角性質(zhì)，得到∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，加上已知條件∠AOB＝3∠ADB，就不難推導(dǎo)出∠DOE＝∠D，最后由等角對等邊，得到DE＝EO＝OB． 【解析】連接

13、OE，如下圖． ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB． ∵∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，∠AOB＝3∠ADB， ∴∠B＝∠OEB＝2∠D． ∴∠DOE＝∠D． ∴DE＝EO＝OB． 故選擇D． 【解后反思】本題是一道探究題，由兩個角之間的3倍關(guān)系去探索線段DE與圖中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系．如何充分利用已知條件與圖形中隱含的條件，是解題的關(guān)鍵．連接OE后，就容易利用圓的半徑相等，加上等腰三角形的性質(zhì)與判定定理及三角形的外角性質(zhì)，得到圖中兩組相等的角及這兩組角的對邊也相等的結(jié)論，從而就探究出DE與圓的半徑相等的正確結(jié)論了． 【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)和判定

14、；三角形的外角性質(zhì) 7.(浙江金華，9，3分)足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在( ) （第9題圖） A E C D B A.點(diǎn)C B.點(diǎn)D或點(diǎn)E C.線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) D.線段CD(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) 【答案】C 【逐步提示】認(rèn)真審題確定解題思路，過A．B．D三點(diǎn)作圓，可以根據(jù)圓內(nèi)角、圓周角及圓外角的性質(zhì)確定各射點(diǎn)到球門AB的張角，比較各張角的大小，確定答

15、案． 【解析】連接EB．AD．DB．AC．CB，作過點(diǎn)A．B．D的圓，可以確定點(diǎn)E在圓上，點(diǎn)C在圓外，根據(jù)圓周角及圓外角的性質(zhì)可以確定∠AEB=∠ADB>∠ACB,所以最好的射點(diǎn)是線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn)，故選擇C. 【解后反思】解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造圓，然后根據(jù)圓周角、圓內(nèi)角及圓外角的性質(zhì)確定各張角的大小，進(jìn)而得出結(jié)論． 【關(guān)鍵詞】圓周角；“網(wǎng)格”數(shù)學(xué)題型 8.(淅江麗水，10，3分)如圖，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，若BC=4,AD=，則AE的長是 A.3 B.2 C.1 D.1.2 【答案】 【逐步提示】確定AC

16、=BC，△CBE∽△DAE，根據(jù)相似比判斷各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)是否正確． 【解析】由題意得AC=BC=4,BD=，△CBE∽△DAE，所以AE：BE=DE：CE=AD：CB=：4=，所以BE˙DE=AE˙CE，若AE=3,則BE=15>,錯誤；若AE=2,則BE=10>,錯誤；若AE=1,則BE=5,DE=,CE=4-1=3,此時滿足BE˙DE=AE˙CE，故AE=1；若AE=1.2,則BE=6>,錯誤,故選擇C. 【解后反思】根據(jù)題意確定圖形中各線段間的關(guān)系，然后根據(jù)已知條件對所給選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證得出正確的結(jié)論． 【關(guān)鍵詞】圓；相似三角形的性質(zhì)；驗(yàn)證法；； 9.（四川達(dá)州，7，3分）

17、如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為 第7題圖 A. B.2 C. D. 【答案】C 【逐步提示】本題主要考查了圓中有關(guān)計算.解題的關(guān)鍵是把∠OBC的正切值轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．解題是：如圖，連接CD，則CD是⊙A的直徑，且∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中可求得tan∠ODC. 【詳細(xì)解答】解：連接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直徑，∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中，OD==4，∴tan∠ODC=＝故選擇C. 【解后反思】解答這類問題時，往往將坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度，進(jìn)而化歸

18、到直角三角形中，應(yīng)用三角函數(shù)定義求得三角函數(shù)值． 求銳角三角函數(shù)的方法：（1）直接定義法；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）借助三角函數(shù)關(guān)系求值． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理及推論；三角函數(shù) 10. （ 四川樂山，7，3分）如圖4，C、D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，若CA=CD，且∠ACD=40°，則∠CAB= ( )． A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B． 【逐步提示】欲求∠CAB，在Rt△ABC中，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，所以只需知道∠ABC的度數(shù)，在⊙O 中，∠ABC=∠ADC，這樣在等腰三角形ACD中，由∠ACD=40

19、°可得解． 【詳細(xì)解答】解：∵CA=CD，并且∠ACD=40°，∴∠ADC=70°．在⊙O中，∵AB為直徑，∠ACB=90°，∵∠ABC與∠ADC是⊙O中的圓周角，∴∠ABC=∠ADC=70°，∴∠CAB=∠ACB-∠ABC= 90°-70=20°，故選擇B． 【解后反思】對于圓的有關(guān)性質(zhì)的考查，一般會將圓周角、圓心角，弧、弦、弦心距等量之間的關(guān)系合并考查，解題的關(guān)鍵是明確相關(guān)性質(zhì)．本題涉及到的有：①在同圓（或等圓）中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等；②直徑其所對的圓周角是90°． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形性質(zhì)；圓周角定理 11. （

20、四川省自貢市，5，4分）如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A=45°，∠AMD=75°，則∠B的度數(shù)是 A．15° B．25° C．30° D．75° 【答案】C 【逐步提示】∠B為圓周角，可以考慮將其轉(zhuǎn)移，再利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系求解即可. 【詳細(xì)解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=30°，∴∠B=30°，故選擇C. 【解后反思】求角度數(shù)問題，通常手段就是轉(zhuǎn)移和分解，本題在第一步是將角分解求出∠C，再利用轉(zhuǎn)移的方法求出∠B. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和；圓心角、圓周角定理 二、填空題 1. .（ 山東青島，11，3分）如

21、圖，AB是⊙O的直徑，C , D是⊙O上的兩點(diǎn)， 若∠BCD = 28° ,則∠ABD= °. 【答案】62 【逐步提示】∠ABD和∠ACD都是弧AD所對的圓周角，故只要求出∠ACD的度數(shù)即可； 根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”可知∠ACB＝90°，進(jìn)而由∠BCD的度數(shù)可求得∠ACD的度數(shù)，問題得解. 【詳細(xì)解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°，∴∠ACD＝90°-28°=62°，∴∠ABD＝62°，故答案為62. 【解后反思】與圓周角有關(guān)的知識點(diǎn)有：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是圓的直徑；同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A

22、周角等于圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】 圓周角；圓周角定理 2. （ 山東省棗莊市，15，4分）如圖，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC，BD，若AC＝2，則tan D＝ ． A B D C O E 【答案】 【逐步提示】本題考查了有關(guān)圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用直徑所對圓周角為直角及同弧所對圓周角相等把∠D與直角三角形聯(lián)系起來．連接BC，利用直徑所對圓周角為直角，解Rt△ABC，然后利用同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得tan D的值． 【詳細(xì)解答】解：連接BC，∵AB為⊙O直徑，∠ACB＝90°，又∵AB＝2r＝6，∴B

23、C＝＝＝，∵＝，∴∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝＝＝ ，故答案為 . A B D C O E 【解后反思】在圓中解決與角有關(guān)的問題時，常用的是弧、弦、圓心角的對應(yīng)關(guān)系和圓周角定理，從而實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角與圓周角的互換．若如涉及到三角函數(shù)，通常利用直徑所對圓周角為直角，或構(gòu)造垂徑定理三角形求解． 【關(guān)鍵詞】 圓心角、圓周角定理；銳角三角函數(shù)值的求法 3. (重慶A，15，4分)如圖，OA，OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC. 若∠AOB=120°，則∠ACB=_______度. 【答案】60 【逐步提示】∠AOB與

24、∠ACB是同弧()所對的圓心角和圓周角，則∠ACB=∠AOB. 【解析】∵∠AOB=120°，∠AOB所對的弧為，所對的圓周角為∠ACB，∴∠ACB=∠AOB=×120°=60°. 故答案為60. 【解后反思】在圓中，同弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 4. (重慶B，15，4分)如圖，CD是⊙O的直徑，若AB⊥CD，垂足為B，∠OAB=40°，則∠C等于　　度． 【答案】25 【逐步提示】利用直角三角形的兩個銳角互余，由∠OAB的度數(shù)可求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系求解． 【解析】∵AB⊥CD，

25、∠OAB=40°，∴∠AOB=50°. ∵∠C與∠AOB分別為所對的圓周角和圓心角，∴∠C=∠AOB=25°. 故答案為25． 【解后反思】在圓中，求角的度數(shù)時，首先要考慮要求的角是圓周角還是圓心角，再根據(jù)圓心角、圓周角的性質(zhì)定理求解. 在同圓中，同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和；圓心角、圓周角定理 5. （ 四川省巴中市，16，3分）如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠OBC=550，則∠A= . 【答案】350. 【逐步提示】本題考查了圓心角、圓周角定理及其推論，解題的關(guān)鍵是理解并能熟練運(yùn)用圓心角、圓周角定理及其推論，在⊙O中

26、，弧BC所對的圓心角和圓周角分別是∠BOC和∠BAC，在△BOC中，OB=OC，由∠OBC=550，可以求得圓心角∠BOC的度數(shù)，從而求得圓周角∠A的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=550，∴∠BOC=700 ， ∴∠A=∠BOC=350，故答案為350 . 【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理； 6. （ 四川省成都市，23，4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AH⊥BC于點(diǎn)H，若AC＝24

27、，AH＝18，⊙O的半徑OC＝13，則AB＝ ． H A O C B M H A O C B 【答案】． 【逐步提示】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是利用直徑所對圓周角為直角及同弧所對圓周角相等，構(gòu)造相似三角形．延長CO交⊙O于點(diǎn)E，連接AM，證明△AMC∽△HBA，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的值． 【詳細(xì)解答】解：延長CO交⊙O于點(diǎn)M，連接AM．∵CM是⊙O的直徑，∴∠MAC＝90°，∵AH⊥BC，∴∠MAC＝∠AHB＝ 90°，又∵∠M＝∠B，∴△AMC∽△HBA，∴＝，∵CM＝2OC＝26，即＝

28、，∴AB＝＝． 【解后反思】在有關(guān)圓的問題中，有直徑通常作直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形；有弧、弦中點(diǎn)，通常連弧、弦中點(diǎn)與圓心，應(yīng)用垂徑定理；有切線，連過切點(diǎn)的半徑． 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 ；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì) 7. （ 四川南充，15，3分）如圖是由兩個長方形組成的工件平面圖(單位，mm)，直線l是它的對稱軸，能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是 mm. 【答案】50 【逐步提示】本題考查的圓內(nèi)接四邊形，是垂徑定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答． 根據(jù)已知條件得到CM=30，AN=40，根據(jù)勾股定理列

29、方程得到OM=40，由勾股定理得到結(jié)論． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)圓心為O,由題意知，點(diǎn)O在l上。 連接AO，CO， ∵直線l是它的對稱軸， ∴CM=30，AN=40， ∵CM2+OM2=AN2+ON2， ∴302+OM2=402+（70﹣OM）2， 解得：OM=40， ∴OC= =50， ∴能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是50mm． 故答案為：50． 【解后反思】垂徑定理和勾股定理在解決圓的計算問題時，經(jīng)常結(jié)合起來使用，一般需要先作輔助線構(gòu)造出直角三角形． 【關(guān)鍵詞】 勾股定理；垂徑定理；構(gòu)造法 8 （ 四川省雅安市，16，3分）如圖，在△ABC中，AB

30、 =AC = 10，以 AB 為直徑的⊙0與BC交與點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連OD交BE于點(diǎn)M，且MD=2，則BE的長為 . 【答案】8 【逐步提示】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用垂徑定理求出BM的長. 由題意，可得OD平行于AC,即OD垂直BE,在Rt△OBM中求得BM的長，即可求出BE的長. 【詳細(xì)解答】解：∵AB =AC=10，∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵AB為⊙O的直徑，∴BE⊥AC,∴OD⊥BE,∴BM=ME,∵M(jìn)D=2，∴OM=OD-MD=5-2=3，∴BM

31、=,∴BE=2BM=8，故答案為 8 . 【解后反思】圓中涉及弦長的計算，往往構(gòu)造半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形進(jìn)行求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì) ；平行線的判定；平行線的性質(zhì) ；勾股定理；垂徑定理；圓心角、圓周角定理 9. （ 四川省宜賓市，13，3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)P(1,1)為圓心、為半徑作圓，則該圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 . 【答案】(0，3) 、（0，-1） 【逐步提示】如圖，圓與y軸有兩個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)間的距離即是圓的弦AB的長.根據(jù)垂徑定理可求出半弦長AC及BC，由于點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，1）可證四邊形ODEC是正方形，DE=

32、CE=CO=OD=1.由圖知OA=AC+OC,OB=BC-CO,兩交點(diǎn)坐標(biāo)可求. 【詳細(xì)解答】解：如圖，作EC⊥y軸于點(diǎn)C，ED⊥x軸于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1），所以ED=CE=OD=OC=1.在直角三角形AEC中，CE=1,AE=,所以AC=,所以O(shè)A=AC+CO=3,OB=BC-CO=1,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-1）.故答案為：（0，3），（0，-1）. 【解后反思】這是垂徑定理在直角坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)用.關(guān)鍵要結(jié)合圖象找出反應(yīng)坐標(biāo)的線段及求出線段的長度.易錯點(diǎn)是忽視點(diǎn)的坐標(biāo)的符號及寫錯橫、縱坐標(biāo)的位置. 【關(guān)鍵詞】 直角坐標(biāo)系；點(diǎn)的坐標(biāo)；垂徑定理及應(yīng)用

33、 三、解答題 1. ．(山東臨沂，23，9分) 如圖，A，P，B，C是圓上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延長線相交于點(diǎn)D． (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)若∠PAC=90°，AB=，求PD的長． 【逐步提示】(1)由圓周角定理得出∠ABC=∠APC=∠CPB=∠BAC=60°，再由等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，進(jìn)一步得出△ABC是等邊三角形．(2)由∠PAC=90°，∠ACB=60°，可得∠D=30°；由直角三角形的性質(zhì)可得DC的長，得出BD的長；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠PBC=90°，則∠PBD=90°；在Rt△PBD中

34、，解直角三角形求出PD的長． 【詳細(xì)解答】解：(1)證明：∵A，P，B，C是圓上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC． 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴AC=BC，且∠BAC=60°， ∴△ABC是等邊三角形．………………………………………………4分 (2)解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=BC=． ∵∠PAC=90°，∴∠D=30°． ∴DC=2AC=， ∴BD=．………………………………………………………6分 ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠PAC=90°，

35、 ∴∠PBC=90°，∴∠PBD=90°． 在Rt△PBD中， PD===4．………………………………………………9分 【解后反思】(1)圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等；(2)等邊三角形的判定：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 【一題多解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=BC=． ∵∠PAC=90°，∴∠D=30°． ∴DC=2AC=，AD=6， ∴BD=． ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠PAC=90°， ∴∠PBC=90°，∴∠PBD=90°． 在Rt△PBD和Rt△CAD中，∠D是公共

36、角， ∴Rt△PBD∽Rt△CAD， ∴=， 即=， ∴PD=4． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理；等邊三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形 2. （ 山東濰坊，21，8分）正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，如圖所示，在劣弧上取一點(diǎn)E，連接DE、BE，過點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點(diǎn)G. 求證：（1）四邊形EBFD是矩形； （2）DG=BE. 【逐步提示】本題是一道圓與四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圓的基本性質(zhì)得到題目所需的條件，再進(jìn)行證明. （1）要證明四邊形BEDF是矩形，需證明有三個角是直角，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等及正

37、方形的性質(zhì)，得到∠BED=∠BFD=90°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得第三個直角即可.（2）根據(jù)圓周角與它所對弧的關(guān)系求得∠AFD=45°，則△DFG為等腰直角三角形，再根據(jù)矩形的對邊相等得到BE=DG. 【詳細(xì)解答】證明：（1）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四邊形EBFD是矩形. （2）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴的度數(shù)是90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFG=45°， ∴DG=DF，

38、 又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG. 【解后反思】看到求與圓有關(guān)的角，應(yīng)考慮如下幾點(diǎn)（1）同弧或等弧所對的圓周角相等；（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；（3）圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半（4）圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)等。 【關(guān)鍵詞】 圓的有關(guān)性質(zhì)；圓周角定理；矩形的判定；正方形的性質(zhì) 3. （山東淄博，23，9分）已知，點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2(a＞0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，），直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M，F(xiàn)在同一個圓上，圓心Q的縱坐標(biāo)為. （1）求a的值； （2）當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

39、（3）當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N. 求證：MF=MN+OF. 【逐步提示】本題考查二次函數(shù)，圓，勾股定理，垂徑定理，數(shù)形結(jié)合思想，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，并能據(jù)題意畫出有關(guān)圖形，能數(shù)形結(jié)合地解決問題. （1）由垂徑定理的逆定理，知圓心Q在弦OF的垂直平分線上. （2）點(diǎn)Q為OM的中點(diǎn)，由此可先得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求點(diǎn)Q的坐標(biāo). （3）設(shè)M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），利用勾股定理求出MF即可解決問題． 【詳細(xì)解答】解：（1）圓心Q的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為， ∴=1. 解得a=1. （2）由（1）知二次函數(shù)的解析式為y= x2. 當(dāng)O

40、，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為. 將y=代入y= x2，得x=. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)或(－，). 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)或(－，). （3）設(shè)M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0). ∵F(0，)，∴MN+OF= n2+. MF== n2+. ∴MF=MN+OF． 【解后反思】知道圓心在任意弦的垂直平分線上是解決（1）題的關(guān)鍵；知道圓心是直徑的中點(diǎn)是解（2）的關(guān)鍵；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離是解決（3）題的關(guān)鍵. 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)，圓，勾股定理，垂徑定理，數(shù)形結(jié)合思想 4. （ 四川省成都市，20，10分）如圖在Rt△ABC中，∠ABC＝90

41、°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接BD、BE． ⑴求證：△ABD∽△AEB； ⑵當(dāng)＝時，求tanE； ⑶在⑵的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF＝2，求⊙C的半徑． A C E B F D 【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識的綜合應(yīng)用．⑴利用直徑所對圓周角是直角，求得∠DBE＝∠ABC＝90°，然后通過∠ABD＝∠CBE，∠E＝∠CBE，得到∠E＝∠ABD即可證明△ABD∽△AEB；⑵過B作BH⊥AE于點(diǎn)H，根據(jù)題意設(shè)AB＝4x，BC＝3x，利用勾股定

42、理及三角形面積公式在Rt△ABC中，求出AC、高BH及HE的長，再在Rt△BEH中，運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求出tanE；⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的值，再利用△EFM∽△EBH，把EM，F(xiàn)M用含x的式子表示出來，在Rt△AFM中利用勾股定理列方程求解． 【詳細(xì)解答】解：⑴∵DE為⊙C的直徑，∴∠DBE＝90°，∵∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBE，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠E，∴∠ABD＝∠E，又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB． ⑵過B作BH⊥AE交AE于點(diǎn)H． ∵＝，設(shè)AB＝4x，BC＝3x，∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝5x，CE＝3x，

43、∵S△ABC＝AC·BH＝AB·BC，∴AC·BH＝AB·BC，∴BH＝＝，∴AH＝＝＝，∴HE＝AC＋CE－AH＝5x＋3x－＝， ∴tanE＝＝． A C E B F D H ⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M． ∵AF平分∠BAC，∴＝＝＝2，∴＝，∵BH∥FM，∴△EFM∽△EBH，∴＝＝＝，∴EM＝EH＝，F(xiàn)M＝BH＝，∴AM＝AE－ME＝，在Rt△AFM中AM2＋FM2＝AF2，即()2＋()2＝22，解得x＝，∴⊙C的半徑r＝3x＝． A C E B F D M H 【解后反思】（1）圓中涉及到直角問題時，通常運(yùn)用直徑所對圓周角是直角構(gòu)造

44、直角三角形； （2）在解決直角三角形求值問題時，通常運(yùn)用面積法已知三邊求斜邊上的高； （3）求線段的長度有以下常用的方法：用勾股定理——適用于直角三角形；用相似三角形——適用于有相似三角形的圖形中． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；圓心角、圓周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)；方程與函數(shù)思想 5. （四川達(dá)州，22，8分）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長線于點(diǎn)E，連接BD并延長交AE于點(diǎn)F. (1)求證：AE?BC=AD?AB； (2)若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長.

45、 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握圓的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形求線段AF的長.解題的思路是：（1）證明△ADE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可證；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB，由已知可依次求得OD，AD，DG，AG，BG..由已知有△BDG∽△BFA，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例易求AF. 【詳細(xì)解答】解：（1）證明：∵AB是直徑，∴∠C＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°. ∵AE是⊙O的切線，∴∠OAE＝90°. ∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°. ∴∠AOE＝∠ABC，∠OAE∠C. ∴△ADE∽△BCA，∴＝.

46、即AE?BC=AD?AB. （2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB， 在Rt△AOD中，OA＝AB＝5，sin∠BAC=， ∴OD＝5×＝3，AD＝＝4. 在Rt△ADG中，DG＝AD?sin∠BAC=4×=， ∴AG＝. ∴BG＝10-＝. ∵∠BGD＝∠BAF＝90°，∠DBG＝∠FBA， ∴△BG∽△BFA. ∴＝. ∴＝. ∴AF＝. 【解后反思】求線段的長度有以下常用的方法：用勾股定理——適用于已知兩邊的直角三角形中；用相似三角形的性質(zhì)——適用于有相似三角形的圖形中，銳角三角函數(shù)求線段的長度——適用于已知一邊及一角的三角函數(shù)值． 【關(guān)鍵詞】圓的切線的性質(zhì)定理；圓

47、周角定理的推論；相似三角形的性質(zhì)和判定；解直角三角形 6. （四川省廣安市，25，9分）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E.點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD，交線段EO于點(diǎn)F，若AB＝BF. （1）求證：AB是⊙O的切線；（3分） （2）若CF＝4，DF＝，求⊙O的半徑r及sinB.（6分） 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)及切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法及解直角三角形的方法.（1）連接OD，利用等邊對等角，通過角的轉(zhuǎn)換，得出∠OAF 與∠BAF的和為90°，從而證明AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ODF中利用勾股定理可求得

48、r的長，從而可求OF的長，在Rt△ABO中利用勾股定理可求得BO的長，從而求出sinB. 【詳細(xì)解答】證明：連接AO、DO. ∵D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)， ∴∠EOD＝90°. ∵AB＝BF，OA＝OD＝r， ∠BAF＝∠BFA＝∠OFD，∠OAD＝∠ADO ∴∠BAF＋∠DAO＝∠OFD＋∠ADO＝90°即∠BAO＝90° ∴AB是⊙O的切線. （2）∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝， 在Rt△OFD中，OF2＋OD2＝DF2即r2＋(4－r)2＝（）2即r1＝3,r2＝1（舍去） ∴半徑r＝3 ∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，∴BO＝BF＋FO＝

49、AB＋1 在Rt△ABO中，AB2＋AO2＝BO2即AB2＋32＝（AB＋1）2 ∴AB＝4，BO＝5 ∴sinB＝. 【解后反思】判別直線是圓的切線有兩種方法，如果直線與圓有交點(diǎn)，則連接交點(diǎn)與圓心，證明半徑垂直于直線即可；如果直線與圓沒有交點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證垂線段等于圓的半徑即可. 【關(guān)鍵詞】切線的判定；銳角三角函數(shù)；勾股定理；方程思想 7 （四川省涼山州，27，8分）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，于，與及的延長線交于點(diǎn)、，且. （1）求證：； （2）如果，，求的值. 【逐步提示】（1）根據(jù)等弧等條件找出兩組相等的角，證明兩個三角

50、形相似；（2）通過相似三角形的性質(zhì)將∠CAD轉(zhuǎn)化為∠AEB，在Rt△AEC中考慮tan∠AEB，從而求出tan∠CAD. 【詳細(xì)解答】解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于，∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE；∵，∴∠BAE=∠ACD，∴△ADC∽△EBA. （2）∵△ADC∽△EBA，∴ ，∠AEB=∠CAD；∵是的中點(diǎn)，∴AB=AC=8，∴ ，即 ，又AE⊥AC，∴∠BAC=90°，∴tan∠CAD=tan∠AEB= 【解后反思】題中∠CAD并沒有處于一個直角三角形中，三角函數(shù)值不易求，所以就必須將∠CAD轉(zhuǎn)化為與之相等的∠AEB，這樣做是因?yàn)椤?/p>

51、AEB是Rt△AEC的一個銳角，容易通過三角函數(shù)的概念求出三角函數(shù)值.同時本題也可以采用以下方法構(gòu)造直角三角形：連接AO并延長與相交于點(diǎn)M，連接DM，則∠AMD=∠ACD且△AMD為直角三角形（∠ADM=90°），如圖所示. 【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)； 8 （ 四川省雅安市，24，10分）如圖1，AB是⊙O的直徑，E是 AB 延長線上一點(diǎn)，EC切⊙0于點(diǎn)C，連接AC，OP⊥AO交AC于點(diǎn)P，交EC的延長線于點(diǎn) D. (1)求證：△PCD是等腰三角形； (2)CG⊥AB于H點(diǎn), 交⊙O于G點(diǎn),過B點(diǎn)作BF∥EC, 交⊙O于點(diǎn)F, 交

52、CG于Q點(diǎn)，連接AF，如圖2，若sinE =,CQ =5,求 AF的值. 【逐步提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、切線的判定、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及圓中長度計算的方法． (1) 連接OC，則OC垂直DE,可證∠3=∠4=∠5，即△PCD是等腰三角形；（2）連接BC，證CQ=BQ=5，因BF∥EC,得sin∠ABF=sinE =,求得QH=3，BH=4，設(shè)⊙0的半徑為 r，在Rt△OCH中用勾股定理求出r,再在Rt△ABF中，用銳角三角函數(shù)定義求出AF的長. 【詳細(xì)解答】解：(1)證明：如圖1所示，連接OC ∵EC切⊙0于點(diǎn)

53、C ∴OC⊥DE，∴∠1 +∠3 =90° ① 又∵OP⊥OA,∴∠2 +∠4=90° ② ∵OA=OC,∴∠1 =∠2 ③ 由①②③可得，∠3 =∠4 又∵∠4 =∠5，∴∠3=∠5，∴DP =DC， 即△PCD為等腰三角形. (2)解：如圖2所示，連接BC ∵EC切⊙0于C點(diǎn) ∴∠1 +∠2 =90°① 又∵OC = OB ∴∠2 =∠3 ② ∵CG⊥AB, ∴∠3 +∠4=9O°③ 由①②③可得，∠1 =∠4 ④ ∵BF∥DE,∴∠5 =∠1 ⑤ 由④⑤，得∠4 =∠5， ∴CQ =BQ， 又∵CQ =5,∴BQ=5, ∵BF∥DE,∴∠ABF=∠E, 又∵sinE =, ∴sin∠ABF=, 即QH=3，BH=4， 設(shè)⊙0的半徑為 r，在Rt△OCH中，， 解得r=10，∴AB=20， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AFB= 90°, ∴sin∠ABF==,∴AF=12. 【解后反思】（1）圓中遇到切線條件，連接切點(diǎn)和圓心構(gòu)造直角是常見的輔助線； （2）圓中線段長度計算常用的方法有：①用勾股定理求解；②用銳角三角函數(shù)定義求解；③用相似三角形求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；平行線的性質(zhì)；勾股定理；切線的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義 22