2018屆中考數(shù)學復習 專題22 反證法、命題與定理試題（B卷含解析）

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1、 反證法、命題與定理 一、選擇題 1. （ 廣東茂名，7，3分）下列說法正確的是（ ） A．長方體的截面一定是長方形 B．了解一批日光燈的使用壽命適合采用的調(diào)查方式是普查 C．一個圖形和它平移后所得的圖形全等 D．多邊形的外角和不一定等于360° 【答案】C 【逐步提示】本題考查了長方體的截面形狀、抽樣調(diào)查與普查概念、圖形平移的特征以及多邊形外角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握截幾何體的角度、抽樣調(diào)查與普查的適用情境、以及圖形平移的特征以及多邊形外角和的性質(zhì). 【詳細解答】解：根據(jù)長方體的截面，最多可以經(jīng)過6個面，所以邊數(shù)最多的截面是六邊形，也可以是三

2、角形，不一定是長方形，選項A錯誤；檢測日光燈的使用壽命，帶有破壞性，因此調(diào)查一批日光燈的使用壽命適合采用抽樣調(diào)查，選項B錯誤；圖形的平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，因此平移前后圖形是全等的，選項C正確；任意多邊形的外角和總等于360°，選項D錯誤. 故選擇 C. 【解后反思】（1）在分析幾何體截面的邊數(shù)時，看截線可能經(jīng)過幾個面，即是幾邊形；（2）抽樣調(diào)查和普查的區(qū)別：一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用. 【關(guān)鍵詞】截一個

3、幾何體；普查與抽樣調(diào)查；圖形平移的特征；多邊形的外角和 2. （貴州省畢節(jié)市，11，3分）下列語句正確的是（ 　 ） A.對角線互相垂直的的四邊形是菱形 B.有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等 C.矩形的對角線相等 D.平行四邊形是軸對稱圖形 【答案】C 【逐步提示】本題考查特殊四邊形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定，軸對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理及軸對稱圖形的定義、常見的軸對稱圖形．可以逐項進行分析，或畫圖證明或畫圖舉反例排除不正確的語句． 【詳細解答】解：若四邊形僅是對角線互相垂直，而沒有互相平分這個條件，也不是菱形，故A錯；

4、兩個三角形有兩邊及一角對應相等，若這一角是其中一邊的對角，這兩個三角形也不一定全等，故B錯；矩形的對角線相等是矩形的性質(zhì)，C正確；平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故D錯，故選C． 【解后反思】本題容易因舉不出反例而誤認為A或B正確，因?qū)⑤S對稱與中心對稱的概念搞混而誤認為D正確． 【關(guān)鍵詞】 菱形的判定；全等三角形的判定；矩形的性質(zhì)；軸對稱圖形的概念； 3. （ 河北省，10，3分）如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡. 步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫??； 步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧，將弧于點D； 步驟3：連接AD，交BC延長線于點H. 下

5、列敘述正確的是（ ） A．BH垂直分分線段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD 【答案】A 【逐步提示】由尺規(guī)作圖的作法可得到相等的線段，進而根據(jù)垂直平分線性質(zhì)定理的判定定理可知直線BH是線段AD的垂直平分線，由此容易判斷選項A和C；對于選項B和D，用反證法可判斷它們都是不成立的. 【詳細解答】解：如圖，連接CD、BD，由步驟一可知CD=CA，由步驟二可知BD=BA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可知點C和點B都在線段AD的垂直平分線上，故直線BH是線段AD的垂直平分線，故選項A正確；若AC平分∠BAD，則∠BAC=∠

6、CAH. ∵直線BH是線段AD的垂直平分線，∴∠AHC=90°，∠ACH=90°－∠CAH=90°－∠BAC.∵∠ACH是△ABC的外角，∴∠ABC=∠ACH－∠BAC=90°－∠BAC－∠BAC=90°－2∠BAC.但已知中沒有“∠ABC=90°－2∠BAC” 這一條件，故“AC平分∠BAD”不一定成立，選項B不正確；S△ABC=BC·AH，故選項C不正確；當AB=AD時，AB=AD=BD，此時△ABD是等邊三角形，∠ABC=∠ABD=×60°=30°，但已知中沒有“∠ABC=30°”這一條件，故“AB=AD”不一定成立，選項D不正確 【解后反思】1.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直

7、平分線上的點到這條線段的兩個端點距離相等，根據(jù)其可得到相等的線段．其逆定理是：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，根據(jù)其可證明一個點是否在已知線段的垂直平分線上或一條直線是否為已知線段的垂直平分線．2.反證法時證明一個命題是假命題的常用方法. 【關(guān)鍵詞】 線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理；三角形的面積；反證法 4. （湖南常德，8，3分）某氣象臺發(fā)現(xiàn)：在某段時間里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知這段時間有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，則這一段時間有 A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【答案】B

8、 【逐步提示】“6天晚上是晴天”中除去早晨和晚上都是晴天，就是“早晨下雨天數(shù)”；“7天早晨是晴天”中除去早晨和晚上都是晴天，就是“晚上下雨天數(shù)”，而“早晨下雨天數(shù)”與“晚上下雨天數(shù)”的總和為9天． 【詳細解答】解：設(shè)有x天早晨和晚上都是晴天，則早晨下雨天數(shù)=6-x，晚上下雨天數(shù)＝7-x，據(jù)題意得7-x+6-x=9，解方程得x=2，這一段時間全部天數(shù)=9+x=9+2=11天．故選B． 【解后反思】：本題主要考查了邏輯推理能力，即思維和判斷能力．解題的關(guān)鍵是充分閱讀和理解題意，從中找出隱含條件．本題中“如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．” 隱含了“早晨和晚上都是晴天

9、”這一條件． 【關(guān)鍵詞】邏輯推理． 5. （湖南省衡陽市，11，3分）下列命題是假命題的是（ ） A.經(jīng)過兩點有且只有一條直線 B.三角形的中位線平行且等于第三邊的一半 C.平行四邊形的對角線相等 D.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 【答案】C 【逐步提示】本題考查了判定數(shù)學命題真假的方法，解題的關(guān)鍵是理解命題的題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)．結(jié)合“直線性質(zhì)公理”、“三角形中位線定理”、“平行四邊形性質(zhì)”、“圓的切線性質(zhì)定理”對各個選項逐項甄別判斷. 【詳細解答】解：根據(jù)性質(zhì)“平行四邊形的對角線互相平分”可判斷出C錯誤，故答案為C

10、 . 【解后反思】判斷一個命題的正確或錯誤，有兩種最常用的的方式：①將所給命題與已知的定理、公理、定義作比較，如果一致，則命題正確，否則，命題錯誤；②沿題設(shè)出發(fā)，舉一個例子說明該命題不成立即可判定該命題錯誤. 【關(guān)鍵詞】命題；假命題 6.(湖南省永州市，7，4分)對下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學原理運用錯誤的是( ) A．把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理 B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的原理 C．將自行車的車架設(shè)計為三角形形狀是

11、運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理 D．將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的原理 【答案】B 【逐步提示】本題考查了用數(shù)學原理解釋生活中的現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵在于正確理解數(shù)學原理的內(nèi)涵，再據(jù)此分別對各選項進行判斷． 【詳細解答】解：選項B中的原理是“兩點確定一條直線”，錯誤，故選擇B ． 【解后反思】“兩點之間線段最短”運用于縮短路程；“兩點確定一條直線”運用于“直”但不涉及到“短”， “垂線段最短”涉及到線段的大小比較；“三角形的穩(wěn)定性”運用于三點定形；“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”也即圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原位置重合． 【關(guān)鍵詞】直線公理；線段公理；三角形

12、的穩(wěn)定性；圓的對稱性 7. (湖南省岳陽市，7，3)下列說法錯誤的是 ( ) A. 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 C. 菱形的對角線相等 D. 平行四邊形是中心對稱圖形 【答案】C 【逐步提示】根據(jù)角平分線上性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行四邊形、菱形的性質(zhì)對各支項逐項加以分析。 【詳細解答】菱形的對角線互相垂直，但不一定相等，故選擇C． 【解后反思】對于這類性質(zhì)辨別是否正確的命題，關(guān)鍵在于正確熟練掌握圖形的相關(guān)性質(zhì)。 【關(guān)鍵詞】角平分線

13、上性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；平行四邊形、菱形的性質(zhì) 二、填空題 1. （江蘇省無錫市，15，2分）寫出命題“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命題：____． 【答案】如果3a＝3b，那么a＝b． 【逐步提示】本題考查了命題與逆命題的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到命題的題設(shè)和結(jié)論，本題中的這個命題題設(shè)為a＝b，結(jié)論是3a＝3b，交換題設(shè)和結(jié)論的位置，即可得到這個命題的逆命題． 【詳細解答】如果3a＝3b，那么a＝b. 【解后反思】互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做

14、原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題． 【關(guān)鍵詞】逆命題； 三、解答題 1. （廣東茂名，18，7分）某同學要證明命題“平行四邊形的對邊相等.”是正確的，他畫出了圖形，并寫出了如下已知和不完整的求證. 已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形. 求證：AB=CD， . （1）補全求證部分； （2）請你寫出證明過程. 證明： 【逐步提示】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添設(shè)輔助線，構(gòu)造一組全等三角形.（1）平行四邊形的對邊有2組，除了AB=CD，還有另一組BC=DA；（2）連接AC，利用ASA證△ABC≌△CDA，

15、從而得出BC=DA. 【詳細解答】解： （1）BC=DA （2）如圖，連接AC. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，BC∥DA， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC. ∵AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴AB=CD，BC=DA. 【解后反思】（1）本題也可以連接BD，證明△ABD≌△CDB，得出結(jié)論；（2）本題證明過程，要防止出現(xiàn)直接利用“平行四邊形的對邊相等”得出結(jié)論的錯誤證法. 【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定與性質(zhì) 2. （江蘇省南京市，21，8分）用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”． 如圖，∠BAE、∠CBF、

16、∠ACD 是△ABC 的三個外角． 求證∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°． 證法1：∵ ▲ ， ∴ ∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°． ∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)． ∵ ▲ ， ∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°． 請把證法1 補充完整，并用不同的方法完成證法2． 【逐步提示】本題考查了三角形的外角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是運用平角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進行角度是轉(zhuǎn)化．原來的證法是用三角形的三個內(nèi)角所在的三個平角之和減去三角形的內(nèi)角和；而新的證明方法是要通過平行線把三

17、個外角集中到一個頂點圍成一個周角進行證明． 【詳細解答】∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°． ∠1＋∠2＋∠3＝180°． 證法2：如圖，過點A 作射線AP，使AP∥BD． ∵ AP∥BD， ∴ ∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP． ∵ ∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°， ∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°． 【解后反思】證明三角形的外角和是360°，方法很多．解題的突破口是如何通過轉(zhuǎn)化得到360°，可以運用平角或者互補的兩個角，也可以運用周角，還可以運用三角形的外角性質(zhì)（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）和三角形的內(nèi)角和證明． 【關(guān)鍵詞】三角形；與三角形有關(guān)的線段、角；三角形的內(nèi)角和；三角形的外角和；化歸思想 5