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1、第十七章空間向量與立體幾何高考數(shù)學高考數(shù)學知識清單2.設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3;aba1b1+a2b2+a3b3=0.3.設A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),則=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).這就是說,一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標.AB4.兩個向量的夾角及兩點間的距離公式(1)已知a=
2、(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則|a|=,|b|=,cos=(a,b0).(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|=,這就是空間兩點間的距離公式.5.空間距離(1)點面距離公式:P為平面外一點,a、n分別為平面的斜向量(O)和法向量,d為P到的距離,則d=|a|cos|=;2a222123aaa2b222123bbb112233222222123123a ba ba baaabbbABAB AB222121212(xx )(yy )(zz )OP|a n |n |(2)線面距離轉化為點面距離;(3)面面距離轉化為點面距離;(4)異面直線的距離公式:設n為
3、異面直線l1、l2的公垂線上的方向向量,a為l1、l2上兩點的連線向量(a與n不共線),d為l1、l2的距離,則d=|a|cos|=.6.空間角的計算(1)異面直線所成角公式:設a、b分別為異面直線l1、l2的方向向量,為異面直線所成的角,則cos=|cos|=.|a n |n |a b|a |b|(2)線面角公式:設l為平面的斜線,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與成的角,則sin=|cos|=.(3)面面角公式:設n1、n2分別為平面、的法向量,二面角為,則=或=-(需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補),其中cos=.|a n |a | n |1212nn|n | |n | 用空間向量
4、求解空間角的方法用空間向量求解空間角的方法用空間向量求角的大小的常用方法:(1)線線角:設兩異面直線a,b所成的角為,m,n分別是a,b的方向向量,則有cos=|cos|=.(2)直線與平面所成的角:設直線AB與平面所成的角為,平面的法向量為n,則有sin=|cos|=.注意,直線和平面所成角的取值范圍為.|m n |m|n |AB|n |n |ABAB0,2方法技巧方法(3)二面角:設二面角的平面角為,兩個半平面的法向量分別為m,n,求出cos=,根據(jù)圖形判斷是銳角、直角,還是鈍角,從而得出與是相等還是互補.m n|m|n |例(2017江蘇蘇北四市期中)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平
5、面ABCD,ABC=BAD=90,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點.(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點N在線段AD上,且AN=,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求的值.45解析(1)因為PA平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因為BAD=90,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),因為M為PC的中點,所以M(1,1,2).則=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos=,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.BMAPAPBMAP BM|AP|BM|0 ( 1)0 1 4 246 6363(2)因為AN=,所以N(0,0)(04),則=(-1,-1,-2),易得=(0,2,0),=(2,0,-4),設平面PBC的法向量m=(x,y,z),則即MNBCPBm0,m0,BCPB2y0,2x4z0.令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一個法向量.因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,所以|cos|=,解得=1,所以的值為1.45MN|m|m|MNMN2| 22|5(1)5 45
高考數(shù)學一輪復習 第十七章 空間向量與立體幾何課件
